2023-2024学年福建省泉州市泉港区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市泉港区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式x−3x+4的值为0，则x的值是( )
A. x=3B. x=0C. x=−3D. x=−4
2.下列等式从左到右的变形中，正确的是( )
A. ab=a+mb+mB. ab+bb=aC. akbk=abD. ab=a2b2
3.在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+3的图象一定经过( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
4.已知直线y=−x+2经过M(1,y1)，N(3,y2)两点，则y1与y2的关系为( )
A. y1+y2=4B. y1>y2C. y1=y2D. y15.佳佳在射击训练后，对自己的射击成绩(单位：环)进行分析，方差的计算公式如下：s2=(6−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(11−9)2+(10−9)25，则下列说法正确的是( )
A. 样本的平均数是9B. 样本的众数是9C. 样本的中位数是9D. 样本的总数是9
6.若关于x的方程mx−2=1−xx−2有增根，则m的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
7.如图，在▱ABCD中，∠B=63°，则∠D的度数是( )
A. 117°
B. 63°
C. 37°
D. 27°
8.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )
A. 2
B. 2.2
C. 2.4
D. 2.5
9.参加“绿化家园”活动，已知乙班同学每小时比甲班多种2棵树，甲班同学种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同.设甲班每小时种x棵树，则列出的方程是( )
A. 20x=26x+2B. 20x=26x−2C. 20x+2=26xD. 20x=26x+2
10.在平面直角坐标系中，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)是反比例函数y=kx的图象上的两点，x1+x2=0，且x1A. y1y2C. y1+y2=0D. y1−y2=0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：2−(−1)0= ______．
12.在平面直角坐标系中，若点M(a+1,a+3)在y轴上，则a= ______．
13.在平面直角坐标系中，直线y=x+2经过M(1,m)，则m= ______．
14.一组由正整数组成的数据：2，3，4，5，a，6.若这组数据的众数为2，则a为______．
15.如图，将线段AB平移至CD，若点A(1,0)，B(4,m)，C(−2,1)，D(a,n)，则m−n的值为______．
16.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解分式方程：x−3x+2=x+2x+3．
18.(本小题8分)
化简求值：(1−2mm+1)÷1−m2m，其中m=2．
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，∠1=∠2.求证：四边形AECF是平行四边形．
20.(本小题8分)
下面是小东完成“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程：
作法：①作线段AC的垂直平分线EF交AC于点O；
②连结BO并延长，在延长线上截取OD=OB；
③连结AD，CD．
所以四边形ABCD为所求作的矩形．
(1)请根据小东的尺规作图，补全图形；(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
(2)求证：四边形ABCD是矩形．
21.(本小题8分)
为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛.现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用x表示，共分成五组：A组：0≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100.已知甲班20名学生的比赛成绩在D组中的数据是：84，83，84，80，84，82：乙班20名学生的比赛成绩是：55，68，70，76，72，76，79，79，75，79，82，87，87，82，86，81，92，98，96，100.将甲班抽取学生的比赛成绩的扇形统计图，甲、乙两班抽取学生的比赛成绩统计表绘制如下．
(1)请根据甲、乙两班抽取学生的比赛成绩统计表，直接写出a、b的值；
(2)请根据甲班抽取学生的比赛成绩的扇形统计图，求出m的值；
(3)你认为甲班与乙班，哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由．
22.(本小题10分)
某校科技创新兴趣小组设计了一个直线轨道机器人传递物资的实验.机器人甲从A点沿着直线轨道出发，5秒后机器人乙携带物资立即从A点出发，沿着同一直线轨道追寻机器人甲.当机器人乙出发10秒时，机器人甲以原来的速度原路返回，与机器人乙相遇时，停止运动进行物资传递.科技创新兴趣小组将机器人离A点的距离y(厘米)与机器人乙所用时间x(秒)之间绘制成函数图象，如图所示.(1)请求出机器人甲的速度和函数图象中n的值；
(2)求线段MN所在直线的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
23.(本小题10分)
根据如表所示素材，探索完成任务．
24.(本小题13分)
【阅读理解】求证：对于任意正实数a、b，a+b≥2 ab．
证明：∵( a− b)2≥0，
∴a−2 ab+b≥0，
∴a+b≥2 ab，(只有当a=b时，a+b=2 ab).
推论：在a+b≥2 ab(a、b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2 p；当a=b时，a+b有最小值2 p．
根据上述内容，回答下列问题：
问题1：若m>0，当m= ______时，m+16m有最小值为______．
问题2：已知x>2，试求出函数y=x+9x−2的最小值．
问题3：如图，已知点A(−2,0)、B(0,−3)，点P为双曲线y=6x在第一象限内的点.过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.试求出四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
25.(本小题13分)
如图，四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，AB=CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)已知AD⊥BD，P为BF的中点，点M是线段BD上一动点．
①当点M是线段BD的中点时，连结FM.求证：FM/​/BC；
②若∠DEB=2∠CDE，试求出FM+PM的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得：x−3=0，且x+4≠0，
解得：x=3，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：A、ab≠a+mb+m，故本选项错误，不符合题意；
B、ab+bb=a+1，故本选项错误，不符合题意；
C、akbk=ab，故本选项正确，符合题意；
D、ab≠a2b2，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
利用分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，分析求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了分式的基本性质．此题比较简单，注意熟练掌握性质是关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=2x+3的k>0，b>0，
∴函数图象一定经过第一、二、三象限．
故选：A．
先由k=2>0得到图象经过第一、三象限，再由b=3>0得到一次函数y=2x+3的图象经过的象限即可．
本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数性质是关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵直线y=−x+2经过M(1,y1)，N(3,y2)两点，且1<3，
∴y1>y2．
故选：B．
由k=−1<0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合1<3，即可得出y1>y2．
本题考查了一次函数的性质，牢记“当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：方差的计算公式如下：s2=(6−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(11−9)2+(10−9)25，则：
样本的平均数是9，故选项A说法正确，符合题意；
样本的众数是10，故选项B说法错误，不符合题意；
样本的中位数是10，故选项C说法错误，不符合题意；
样本的总数5，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：A．
根据方差的计算公式解答即可．
本题考查了方差，总体、个体、样本和样本容量，掌握相关定义是解答本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：方程两边都乘(x−2)，得
m=1−x
∵最简公分母(x−2)
∴原方程增根为x=2，
∴把x=2代入整式方程，得m=−1．
故选C．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=63°，
故选：B．
根据平行四边形的对角相等解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角相等解答．
8.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
9.【答案】D
【解析】解：甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种(x+2)棵树，
由题意可得：20x=26x+2，
故选：D．
根据甲班同学种20棵树与乙班种26棵树所用的时间相同，可以列出相应的分式方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
10.【答案】C
【解析】解：∵P(x1,y1)，Q(x2,y2)为反比例函数y=kx的图象上两点，
∵x1+x2=0，且x1∴P(x1,y1)，Q(x2,y2)不在同一象限，
当k>0时，P(x1,y1)在第三象限，Q(x2,y2)在第一象限，y1当k<0时，P(x1,y1)在第二象限，Q(x2,y2)在第四象限，y1>y2，
∵x1+x2=0，
∴x1=−x2，
∵k=x1y1=x2y2，
∴−x2y1=x2y2，
∴−y1=y2，即y1+y2=0，
故选项C正确．
故选：C．
由题意P(x1,y1)，Q(x2,y2)不在同一象限，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象的点的坐标适合解析式是关键．
11.【答案】1
【解析】解：2−(−1)0=2−1=1，
故答案为：1．
根据零指数幂及实数的运算法则进行计算即可．
本题考查实数的运算，以及零指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键．
12.【答案】−1
【解析】解：∵点M(a+1,a+3)在y轴上，
∴a+1=0，
解得：a=−1．
故答案为：−1．
直接利用y轴上坐标特点，则横坐标为零，进而得出a的值．
本题考查了点的坐标，熟知y轴上点的坐标特点是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】解：把点(1,m)代入y=x+2得，
m=1+2=3，
故答案为：3．
把点(1,m)代入y=x+2即可得答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是将点的坐标代入．
14.【答案】2
【解析】解：∵数据：2、3、4、5、a、b的众数为2，
∴a=2，
故答案为：2．
由众数为2，可得a=2．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
15.【答案】−1
【解析】解：因为线段CD由线段AB平移得到，
所以m−n=0−1=−1．
故答案为：−1．
根据图形平移的性质，得出A，C两点纵坐标差等于B，D两点的纵坐标差，据此可解决问题．
本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
16.【答案】15或53
【解析】解：如图，若点E在线段CD上时，过点D′作MN⊥AB，
∴四边形ADNM是矩形
∴AD=MN=5，AM=DN，
∵把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，
∴AD=AD′=5，AM=BM=3=DN，DE=D′E，
∴D′M= D′A2−AM2= 25−9=4，
∴D′N=MN−D′M=1，
∵D′E2=EN2+D′N2，
∴DE2=(3−DE)2+1，
∴DE=53
如图，点E在线段DC的延长线上，过点D′作MN⊥AB，
同理可求：D′M=4，DE=D′E，
∴D′N=4+5=9，
∵D′E2=EN2+D′N2，
∴DE2=(DE−3)2+81，
∴DE=15
故答案为：15或53
分两种情况讨论，由折叠的性质可得AD=AD′=5，AM=BM=3=DN，DE=D′E，由勾股定理可求D′M=4，再由勾股定理可求DE的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17.【答案】解：原方程去分母得：(x−3)(x+3)=(x+2)2，
整理得：x2−9=x2+4x+4，
即4x=−13，
解得：x=−134，
检验：当x=−134时，(x+2)(x+3)≠0，
故原方程的解是x=−134．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1−2mm+1)÷1−m2m
=1−2m+mm⋅m(1+m)(1−m)
=1−mm⋅m(1+m)(1−m)
=11+m，
当m=2时，原式=11+2=13．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴AF/​/EC，
∵在四边形ABCD是平行四边形，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由∠1=∠2可得AF/​/EC，又▱ABCD得到AE/​/CF，所以四边形AECF是平行四边形．
此题主要考查平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20.【答案】(1)解：如图，四边形ABCD即为所求．

(2)证明：∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】(1)根据要求作出图形；
(2)根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图−基本作图，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形．
21.【答案】解：(1)甲班A、B、C组人数之和为20×(5%+15%+20%)=8(人)，
D组数据重新排列为：80，82，83，84，84，84，
所以甲班成绩的中位数a=82+832=82.5，
乙班成绩的众数b=79，
故答案为：82.5，79；
(2)m%=1−5%−15%−20%−620×100%=30%，
即m=30；
(3)甲班学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
因为甲、乙班学生成绩的平均数相等，而甲班成绩的中位数大于乙班，
所以甲班高分人数多于乙班．
【解析】(1)根据中位数、众数的定义求解即可；
(2)根据百分比之和为1求解即可；
(3)根据平均数和中位数的定义求解即可．
本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22.【答案】解：(1)机器人甲的速度：300÷5=60(厘米/秒)，
机器人甲离A点的距离：y=60x+300，
当x=10时，n=60x+300=900，
(2)当x=12时，
机器人甲离A点的距离：y=900−60×(12−10)=780
∴M(10,900)，N(12,780)，
设MN所在的直线的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
10k+b=90012k+b=780，
解得k=−60b=1500，
∴线段MN所在的直线的解析式为y=−60x+1500(10≤x≤12)．
【解析】(1)根据“路程÷时间=速度”求出甲的速度，再根据“路程=时间×速度”求出函数的解析式；
(2)根据待定系数法求解．
本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】解：任务一：
设B种图书标价x元，则A种图书标价1.5x元．
根据题意，得5401.5x=540x−10，
解得x=18，
经检验：x=18是原方程的解，且符合题意，
此时1.5x=1.5×18=27，
所以A种图书标价27元，B种图书标价18元，
答：A种图书标价27元，B种图书标价18元；
任务二：
设购进A种图书m本，则购进B种图书(1000−m)本．
依题意得，18m+12(1000−m)≤16800，
∴m≤800，
又∵m≥700，
∴700≤m≤800，且m为整数，
∴m可取101个值，
∴A，B两种图书进货方案一共有101种；
任务三：
设获得的总利润为W元，
则W=(0.8×27−18)m+(18−12)(1000−m)
=−2.4m+6000，
∵−2.4<0，
∴W随m的减小而增大，
∵700≤m≤800，且m为整数，
∴当m=700时，W取最大值，此时购进B种图书1000−700=300(本)，
答：购进A种图书700本、B种图书300本才能获得最大利润．
【解析】任务一：设B种图书标价b元，则A种图书标价1.5b元，根据题意列方程并求解即可；
任务二：设购进A种图书a本，则购进B种图书(1000−a)本，根据题意列关于a的一元一次不等式并求解即可，a取值的个数就是A，B两种图书进货方案的种数；
任务三：设获得的总利润为W元，根据“总利润=(A种图书的售价−A种图书的进价)×A种图书的数量+(B种图书的售价−B种图书的进价)×B种图书的数量”写出W关于a的关系式，根据该函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值W的值最大，再求出此时(1000−a)的值即可．
本题考查一次函数和分式方程的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
24.【答案】4 8
【解析】解：问题1：由【阅读理解】知，当m=16m，即m=−4(舍去)或m=4时，m+16m有最小值2 m×16m=8，
故答案为：4；8；
问题2：y=x+9x−2
=(x−2)+9x−2+2；
由【阅读理解】知，当x−2=9x−2，即x=−1(舍去)或x=5时，(x−2)+9x−2有最小值2 (x−2)⋅9x−2=6，
∴当x=5时，函数y=x+9x−2有最小值6+2=8；
问题3：设点P(n,6n)，其中n>0，
∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴C(n,0)，D(0,6n)，
OD=6n，
∵A(−2,0)，
∴AC=n+2，
∵B(0,−3)，
∴OB=3，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC
=12AC⋅OD+12AC⋅OB
=12AC(OD+OB)
=12(n+2)⋅(6n+3)
=12(6+3n+12n+6)
=32(n+4n)+6，
只有当n=4n，即n=2时，S四边形ABCD有最小值12，
此时C(2,0)，D(0,3)，
∵A(−2,0)，B(0,−3)，
∴OA=OC=2，OB=OD=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
问题1：根据【阅读理解】可知，当m=16m时m+16m有最小值8，即可求出答案；
问题2：根据【阅读理解】右知，当x−2=9x−2时，(x−2)+9x−2有最小值6，可求出答案；
问题3：设点P(n,6n)，得出S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12(n+4n)+6，得出当n=2时，四边形的面积有最小值，再求出点C，D坐标，即可判断出四边形ABCD的形状．
此题主要考查了反比例函数的应用，菱形的判定与性质，掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵AD=2，BC=2，
∴AD=BC，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)①证明：如图1，

∵F是CD的中点，M是BD的中点，
∴FM是△BCD的中位线，
∴FM//BC；
②解：如图2，连接EF、ME，

由(1)得：四边形ABCD是平行四边形，
∴AE/​/DF，BE/​/DF，
∵E、F分别是AB、CD的中点，AB=CD，
∴AE=BE=DF=CF，
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形，
∴AD/​/EF，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∴BD垂直平分EF，
∴FM=EM，
∴FM+PM=EM+PM，
∴当点E、M、P三点共线时，FM+PM的值最小，其最小值为EP的长，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴EF=AD=2，
∵BE/​/DF，
∴∠DEB+∠CDE=180°，
∵∠DEB=2∠CDE，
∴3∠CDE=180°，
∴∠CDE=60°，
∵四边形BEDF是菱形，
∴∠EBF=∠CDE=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF=2，
∵P为BF的中点，
∴BP=12BF=1，EP⊥BF，
∴∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：EP= BE2−BP2= 22−12= 3，
∴FM+PM的最小值为 3．
【解析】(1)由两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论；
(2)①证FM是△BCD的中位线，即可得出结论；
②连接EF、ME，先证平行四边形BEDF是菱形，得出BD垂直平分EF，则FM=EM，推出当点E、M、P三点共线时，FM+PM的值最小，其最小值为EP的长，再证△BEF是等边三角形，得出BE=BF=EF=2，然后由等边三角形的性质得出BP=12BF=1，EP⊥BF，最后由勾股定理即可求出EP的长．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理、垂直平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．平均数
中位数
众数
甲班
81
a
95
乙班
81
80
b
如何确定图书销售单价及怎样进货以获取最大利润
素材一
某书店为了迎接“读书节”决定购进A，B两种新书，两种图书的进价分别是每本18元、每本12元．
素材二
已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元按标价购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本．
素材三
该书店准备用不超过16800元购进A，B两种图书共1000本，且A种图书不少于700本经市场调查后调整销售方案为：A种图书按照标价的8折销售，B种图书按标价销售．
问题解决
任务一
探求图书的标价
请运用适当方法，求出A，B两种图书的标价．
任务二
探究进货方案
A，B两种图书进货方案一共有多少种？
任务三
确定如何获得最大利润
书店应怎样进货才能获得最大利润？