2021-2022学年福建省泉州市泉港区三校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省泉州市泉港区三校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 函数的自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点的位置在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是

A. 对角线垂直 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对边平行

4. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是

A. 样本的容量是 B. 样本的中位数是
C. 样本的众数是 D. 样本的平均数是

5. 若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在菱形中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 已知关于的一次函数为，下列说法中错误的是

A. 函数图像与轴交于点
B. 若，则函数图像经过第一、三、四象限
C. 若函数图像经过原点，则
D. 无论为何实数，函数图像总经过

9. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形，点，点在边上，连接，把沿折叠，使点恰好落在边上点处，反比例函数的图象经过点，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的成绩分别是分、分、分，若依次按、、的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是______．
12. 已知菱形的周长为，一条对角线长为，另一条对角线长为______．
13. 已知一次函数、是常数，与的部分对应值如表，则不等式的解集是______．

14. 若点在一次函数的图象上，则代数式______．
15. 如图，点是正方形内一点，，，，则的长为______．
    
     

16. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的是______ ．
    ；
    ；
    是等边三角形；
    ．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 某校八年级班甲、乙两男生在次引体向上测试中有效次数如下：
    甲：，，，，；乙：，，，，；
    甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：
表格是______，______，______填数值
体育老师根据这次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是______班主任李老师根据去年比赛的成绩至少次才能获奖，决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是______．
如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为，那么乙同学次引体向上成绩的平均数______，中位数______，方差______填“变大”、“变小”或“不变”

18. 已知与成反比例，且当时，．
    求与的函数关系式；
    判断点是否在该函数图象上．
19. 已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，．
    若，，求的长；
    求证：四边形是菱形．
    
     

20. 如图所示，直线分别与轴，轴交于点，点是轴负半轴上一点，．
    求点和点的坐标；
    求经过点和的一次函数的解析式．
    
    
     

21. 如图所示，已知，，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为，且．
    当时，求反比例函数对应的值；
    当时，求反比例函数对应的取值范围．

22. 如图．在中，，为的平分线，为外角的平分线，，垂足为．
    求证：四边形是矩形．
    若连接，交于点，试判断四边形的形状直接写出结果，不需要证明．
    再添加一个什么条件时，可使四边形是正方形．并证明你的结论．
     

23. 一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图：
    快车的速度为______ ，点的坐标为______ ．
    慢车出发多少小时后，两车相距．

24. 已知在中，，点为射线上一动点点不与，重合，连接，以为边作菱形，且，连接．
    尝试探究：
    如图，当点在线段上，时，与的数量关系为______，的度数为______；
    类比延伸
    如图，当点在线段的延长线上，时，中与之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明，并求出的度数用含的式子表示；
    拓展应用
    如图，点在线段的延长线上，，，，请求出的长．

25. 模型建立，如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于求证：≌；
    模型应用：
    已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转度，得到线段，过点，作直线，求直线的解析式；
    如图，矩形，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：函数的自变量的取值范围是，
故选：．
根据分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：点的横坐标，纵坐标，
点在第二象限．
故选：．
应先判断出所求点的横坐标、纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】

【解析】解：正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
所以具有平行四边形所有的性质，即对边相等，对角相等，对边平行，
正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线只是相等不垂直．
故选：．
正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只是相等不垂直，故A选项错误．
本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．
 

4.【答案】

【解析】解：由题意知，这组数据为、、、，
所以这组数据的样本容量为，中位数为，众数为，平均数为，
故选：．
先根据方差的公式得出这组数据为、、、，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数和平均数，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
 

5.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
只需把各点横纵坐标相乘，不是的，该函数的图象就不经过此点，
四个选项中只有不符合．
故选：．
先把代入反比例函数的解析式求出，再把所给点的横纵坐标相乘，结果不是的，该函数的图象就不经过此点．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出 是解此题的关键．
根据菱形性质求出 ， ， ，根据勾股定理求出 ，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解： 四边形 是菱形，

， ， ，
， ，
， ， ，
由勾股定理得： ，
，
，
，
故选 A ．   

7.【答案】

【解析】解：连接，

垂直平分边，
，
又四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
又垂直平分边，
在四边形中，．
故选：．
根据垂直平分线的性质可得出、是等边三角形，从而先求得，，在四边形中，利用四边形的内角和为可求出的度数．
本题考查了菱形的性质及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及菱形四边形等的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：当时，，
函数图象与轴交于点，故说法错误，符合题意；
B.，
，
函数图象经过第一、三、四象限，故说法正确，不符合题意；
C.函数图象经过原点，
，
，故说法正确，不符合题意；
D.，
时，，
函数的图象总经过，故说法正确，不符合题意．
故选：．
令，即可求得函数图象与轴交于点，即可判断，根据二次函数的性质即可判断；把代入即可判断；把代入解析式求得，即可判断．
本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：连接，

由题意知，，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
故选：．
根据勾股定理得出即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据勾股定理得出．
 

10.【答案】

【解析】解：沿折叠，使点恰好落在边上点处，点，
，，
，，
，，
设点的坐标是，
则，，
，
，
解得，
点的坐标是，
反比例函数的图象经过点，
，
故选：．
根据翻折变换的性质，可得，；然后设点的坐标是，在中，根据勾股定理，求出的长度，进而求出的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，轴对称的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】分

【解析】解：根据题意得：
分；
即这个人的面试成绩是分．
故答案为分．
根据加权平均数的计算公式进行计算，即可得出答案．
本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：设菱形的对角线交于点，

菱形的周长为，
，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知，根据勾股定理即可求得的值，进而求出对角线的长．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，注意菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：根据表格可知，一次函数过点，且随着增大而减小，
不等式的解集是：，
故答案为：．
根据表格可知一次函数过点，且随着增大而减小，即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
，
原式．
故答案为：．
直接把点代入一次函数，求出的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：将绕着点顺时针旋转得到，连接，
则是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
将绕着点顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，点是中点，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
设，则，
由勾股定理得，，
为中点，
，
，
在中，由勾股定理得，，
四边形是矩形，
，
，故正确；
，，
，故错误；
，，
，故正确；
综上所述，结论正确是．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出正确，错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出正确．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的判定与性质的运用，设出、，然后用表示出相关的边更容易理解．
 

17.【答案】      甲的方差较小，比较稳定  乙的中位数是，众数是，获奖次数较多  不变  变小  变小

【解析】解：甲的成绩中，出现的次数最多，因此甲的众数是，即，
即，
将乙的成绩从小到大排列为，，，，，处在第位的数是，因此中位数是，即，
故答案为：，，．
甲的方差较小，比较稳定，乙的中位数是，众数是，获奖次数较多，
原平均数是，增加一次是，因此次的平均数还是，不变，
六次成绩排序为，，，，，，中位数是，比原来变小，方差变小，
故答案为：不变，变小，变小．
根据中位数、众数、平均数的计算方法分别计算结果，得出答案，
选择甲，只要看甲的方差较小，发挥稳定，选择乙由于乙的众数较大，中位数较大，成绩在中位数以上的占一半，获奖的次数较多，
加入一次成绩为之后，计算个数的平均数、众数、中位数，做出判断．
考查平均数、中位数、众数的意义和计算方法，明确各个统计量的意义，反映数据的特征以及计算方法是正确解答的关键．
 

18.【答案】解：设，
把，代入得，
解得，
与的函数关系式；
把 代入得，，
点在该函数的图象上．

【解析】根据题意可以设出函数关系式，把和的对应值代入函数解析式，通过方程即可求得的值；
然后把代入所求得的函数解析式，得到相应的的值即可判断．
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

19.【答案】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
即的长是；
证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形．

【解析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到的长，然后即可得到的长；
根据，，可以得到四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，可以得到，然后即可得到四边形是菱形．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：在直线中，令，则，得，
点坐标为；
令，则，
点坐标为．
，
，
，
点坐标为，
设过点，的一次函数的解析式为，
，
，
经过点和的一次函数的解析式为．

【解析】根据坐标轴上点的坐标特征即可求得点，坐标；
利用等腰三角形的性质得出坐标，然后根据待定系数法即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，求得直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
 

21.【答案】解：设直线的解析式为，
点，在一次函数的图象上，
，
解得，
直线的解析式为，
垂直于轴，垂足为，且．
的横坐标为，
把代入得，，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数为，
当时，，
当时，反比例函数对应的值为；
把代入得，，
当时，，
当时，反比例函数对应的取值范围是．

【解析】先求得直线的解析式，进而求得的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把代入，即可求得对应的值；
求得函数值为时所对应的的的值，即可得到当时，反比例函数对应的取值范围是．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
 

22.【答案】证明：在中，，为的平分线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
，
，
四边形为矩形；
四边形是平行四边形，
理由如下：由知，四边形为矩形，则，．
又，，
，，
四边形是平行四边形；
当时，四边形是正方形，
理由：，，为的平分线，
，
又四边形是矩形，
四边形是正方形．

【解析】由等腰三角形的性质可得，，又由为的外角的平分线，可得，又由，由矩形的判定可证四边形为矩形；
利用中矩形的对角线相等推知：；结合已知条件可以推知，又，则易判定四边形是平行四边形；
由等腰直角三角形的性质可得，即可证四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

23.【答案】解：  ，
设慢车出发小时后两车相距，
相遇前两车相距，
则：，
解得：，
相遇后两车相距，
则：，
解得：，
慢车出发或时两车相距，
答：慢车出发或时两车相距．

【解析】解：由图象可知：慢车的速度为：，
两车小时相遇，此时慢车走的路程为：，
快车的速度为：，
通过图象和甲、乙两车速度可知快车比慢车先到达终点，
慢车到达终点时所用时间为：，
点坐标为：，
故答案为：，；

有图象信息先求出慢车速度，再根据相遇时慢车走的路程，从而求出快车走的路程，再根据速度路程时间，求出快车速度，然后根据快车修好比慢车先到达终点可知点是慢车到达终点时所用时间即可；
分两车相遇前和相遇后两种情况讨论即可．
本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是弄清图象拐点处的意义，根据题意进行运算．
 

24.【答案】 

【解析】解：菱形中，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
故答案为：，；

中与之间的数量关系仍然成立．
证明：，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
，
；

如图，连接，

，，四边形是菱形，
，四边形是正方形，
，
由的结论，可得由可得，，
，
，
在中，，
，
．
由证明≌，根据全等三角形的性质即可求解；
由证明≌，根据全等三角形的性质即可求解；
连接，由可得，，在中由勾股定理即可求得，由正方形的性质即可得的长．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
在和中，

≌；
如图，过作轴于点，

直线与轴交于点，与轴交于点，
令可求得，令可求得，
，，
同可证得≌，
，，
，
，且，
设直线解析式为，把点坐标代入可得，解得
直线解析式为，
的坐标为，
，
如图，当时，，
点在的中垂线上，即点横坐标为
点坐标；

如图，当时，，

设点的坐标为，则点坐标为，由，得，
点坐标；
如图，当时，时，同理可求得点坐标，

综上所述：点坐标为：，，

【解析】由条件可求得，利用可证明≌；
过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
分三种情况考虑：如图所示，当时，，可得点在的中垂线上，即点横坐标为，易得点坐标；如图所示，当时，，设点的坐标为，表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；如图所示，当时，时，同理求出的坐标．
本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．