2021-2022学年福建省泉州市德化县、惠安县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年福建省泉州市德化县、惠安县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 若分式无意义，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 新型冠状病毒是目前已知的第种可以感染人的冠状病毒，经研究发现，它的单细胞的平均直径约为米，该数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若反比例函数的图形位于第二四象限，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列特殊四边形不是轴对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形

6. 已知菱形的对角线，相交于点，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别为、、，则顶点的坐标是(    )

A.  B.  C.   D.

8. 在一次献爱心的捐款活动中，八年级班名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9. 若一次函数的值随的增大而减小，则该一次函数的图象可能经过的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用、分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 约分：______．
12. 将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为______．
13. 甲、乙两位同学在次定点投篮训练中每次训练投个，各次训练成绩投中个数的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为与，则______填“”、“”、““中的一个

14. 如图，在矩形中，的平分线交于点，连接若，，则______．

15. 已知、、是反比例函数图象上的三个点，当时，的取值范围是______．
16. 如图，点是矩形内一点，连结、、、，设、、、的面积分别为、、、，以下四个判断：
    当时，、、三点共线
    存在唯一一点，使
    不存在到矩形四条边距离都相等的点
    若，则
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，已知正方形中，，与的交点为求证：．

20. 年月日时分，神舟十四号载人飞船成功发射，标志着中国空间站计划进入了一个新时代，学校团委组织了“中国梦航天情”系列竞赛活动．下表是八年级甲，乙两个班级各项目比赛成绩单位：分．

如果根据三项成绩的平均分计算最后成绩，请你通过计算，说明甲、乙两班谁将获胜？
如果将知识竞赛、演讲比赛、板报评比按：：的比例确定最后成绩，请你通过计算，说明甲乙两班谁将获胜？

21. 如图，反比例函数图象上、两点的坐标分别为，．
    求反比例函数和直线的解析式；
    连结、，求的面积．

22. 如图，矩形中，．
    请用无刻度的直尺和圆规，作出点关于的对称点，连结，交于不写作法，应保留作图痕迹；
    若，，求的周长．

23. 某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下表：

已知乙种水果的进价比甲种水果高元斤，水果经销店花费元购进甲种水果的重量和花费元购进乙种水果的重量一样．
求的值；
水果经销店在“五一”这天购进两种水果共斤，其中甲种水果不少于斤且不超过斤，在当天的促销活动中，店家将甲种水果降价元斤进行销售，结果两种水果很快卖完．设销售甲种水果斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于元，求的最大值．

24. 阅读理解，并解决下面问题．
    【初步感知】
    如图所示，从边长为的正方形纸片中剪去边长为的小正方形，即图中阴影部分的面积．写出图中含有，的代数恒等式为______；
    【延伸拓展】
    定义：在平面直角坐标系中，点，若满足，，为常数，则称点为“智慧点”，如点，都是“智慧点”．
    点，中，点______是“智慧点”；填或
    若点是“智慧点”，
    求，满足的关系式；
    已知原点，，求的最小值．
     

25. 如图，已知正方形的边长等于，点为边上一动点，连结，以为边长作正方形点、在所在直线的同侧，为中点，连结．
    如图，当点为中点时，连结，，求证：四边形为菱形；
    如图，连结，若，求的面积；
    在点的运动过程中，求的最小值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
故选：．
根据当分式的分母为时，分式无意义，进行计算即可解答．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握当分式的分母为时，分式无意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：米，该数据用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握：点关于轴的对称点的坐标是．
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此即可得出答案．
【解答】
解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选C．
根据反比例函数的性质即可确定的符号，从而求解．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．
 

5.【答案】 

【解析】解：菱形、矩形、正方形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是菱形，，
，，，
在中，根据勾股定理，得：，
，
故选：．
由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，即可得出结论．
本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，熟记菱形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、、的坐标分别为、、，
点纵坐标为：，横坐标为：，
故选：．
根据平行四边形的性质得出点与点纵坐标相同，点横坐标与点横坐标的差等于点横坐标与点横坐标的差，进而得出答案．
本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，以及考查坐标与图形的性质等知识点．
 

8.【答案】 

【解析】解：这名学生捐款金额出现次数最多的是元，共有人，因此捐款金额的众数是，
将这名学生捐款金额从小到大排列，处在中间位置的两个数都是元，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的定义进行计算即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：一次函数的值随的增大而减小，
．
如点在一次函数的图象上，
，
，
选项符合题意；
如点在一次函数的图象上，
．
．
选项不符合题意；
如点在一次函数的图象上，
．
，
选项不符合题意；
如点在一次函数的图象上，
．
，
选项不符合题意；
综上，选项符合题意．
故选：．
将各选项的坐标代入解析式中，求得值为负数的选项为正确选项．
本题主要考查了一次函数图象的性质，待定系数法，利用待定系数法解答是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：此函数图象中，先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B.此函数图象中，第段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C.此函数图象中，、同时到达终点，符合题意；
D.此函数图象中，先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：．
乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑停急跑，图象由三条折线组成；最后同时到达终点，即到达终点花的时间相同．
本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
找出各式的分子分母的公因式，约分即可得到结果．
此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为：．
故答案为：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大，
所以．
故答案为：．
利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小．
本题考查了折线统计图，也考查了方差的意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
在中，．
故答案为
首先证明，在中，根据计算即可．
本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：、、是反比例函数图象上的三个点，
，
解得，
，
反比例函数图象在第一、三象限，
时，随的增大而减小，
当时，，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求得，即可判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出的取值范围．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，根据矩形四个角都是直角，
则有，
即，
根据直三角形两个锐角互余可知：为，
即为直角三角形，
则只有正方形且为中心时，
才可能、、三点共线，故错误；
根据矩形对角线相等且互相平分的性质可知：存在唯一一点满足，
此时为对角线的交点，故正确；
除非矩形是正方形，则在其内部才存在到矩形四条边距离都相等的点故错误；
和可看作以和为底的三角形，
如图，过分别作于，于，

则显然有，在一条有线上，且满足，
则，
同理可知：，
即，
故若，则，故正确，
综上所述：正确．
故答案为：．
根据矩形的性质和三角形的面积公式进行逐一判断即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积，用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】由在正方形中，，易证得≌，即可证明．
此题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

20.【答案】解：甲班的平均分为：分，
乙班的平均分为：分，
，
甲班将获胜；
由题意可得，
甲班的平均分为：分，
乙班的平均分为：分，
，
乙班将获胜． 

【解析】根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题；
根据加权平均数的计算方法可以解答本题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

21.【答案】解：把代入得：，
反比例函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
设直线与轴于点，则当时，，
，
，
，
的面积为：． 

【解析】把代入，可得出的值，进而得出的坐标，然后把、的坐标代入，即可利用待定系数法求得函数的解析式；
求得的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：作图如下：

连接，
，，
，
点关于的对称点为点，
，，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，，，
≌，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
，
解得，
，
的周长为．
即的周长为． 

【解析】过点作于点，以点为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接，交于点．
连接，由勾股定理可得，根据点关于的对称点为点，可得，，证明≌，得，设，则，在中，由勾股定理可求得，即，结合的周长为可得出答案．
本题考查尺规作图、轴对称的性质、矩形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：乙种水果的进价比甲种水果高元斤，
．
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：的值为．
设销售甲种水果斤，则销售乙种水果斤，
依题意得：．
，
，
随的增大而增大，
又，，
，
．
答：的最大值为． 

【解析】由乙种水果的进价比甲种水果高元斤，可得出，利用数量总价单价，结合花费元购进甲种水果的重量和花费元购进乙种水果的重量一样，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
利用总利润每斤的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的函数关系式，由，可得出，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合及的取值范围，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】   

【解析】根据图形：；
根据定义，
，则，
，则，
是“智慧点”；
，则，
，则，
不是“智慧点”；
故答案为：．
根据定义得，
消去得关系式为：；
如图，，
可知点在直线上，
作出关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
的最小值为的长，
，，
的长为，
的最小值为．

根据图形可以写出等量关系；
根据定义判断即可，
点是“智慧点”，可以求出关系式；
根据关系式可知在直线上，根据最短路线问题即可求出．
本题考查了阅读理解，勾股定理，最短路径问题，关键是转化为坐标系中的最短路径的问题．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
又为中点，为中点，
，
≌，
，，
，
，
，
在正方形中，，，
，，
四边形为平行四边形，
同理可证≌，
，
四边形为菱形；
解：如图，连接，过点作，交延长线于点，

，
，
，，
，且，，
≌，
，，
，
；
解：连接，如图，

由可知：≌，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
当时，有最小值． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出，，则四边形为平行四边形，证出，由菱形的判定可得出结论；
连接，过点作，交延长线于点，由“”可证≌，可得，，由三角形面积公式可求解；
连接，由可知：≌，设，则，由勾股定理可求的长，由二次函数的性质可求的最小值．
本题四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．