【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第13练 双曲线的几何性质【讲义+习题】

第13练　双曲线的几何性质

一、选择题

1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　取双曲线其中一个焦点(3,0)，一条渐近线为y＝x，

焦点到渐近线的距离为d＝＝.

2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线－y2＝1是黄金双曲线，则a等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由已知可得＝，解得a＝.

3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x   B．y＝±2x

C．y＝±x   D．y＝±x

答案　C

解析　由已知得到b＝1，c＝，a＝＝，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x＝±x.

4．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，若C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)

A．x±y＝0   B.x±y＝0

C．x±2y＝0   D．2x±y＝0

答案　A

解析　椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝，

由e1e2＝·＝·＝，

解得2＝，又a>b>0，所以＝，

所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，

即x±y＝0.

5．(多选)关于双曲线x2－＝1有下列四个说法，正确的是(　　)

A．以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为

B．与椭圆＋y2＝1有相同的焦点

C．与双曲线－x2＝1有相同的渐近线

D．过右焦点的弦长最小值为4

答案　BC

解析　由双曲线x2－＝1，

可知a＝1，b＝，c＝，

故以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为4××1×＝2，故A错误；

双曲线x2－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点(±，0)，故B正确；

双曲线x2－＝1与双曲线－x2＝1有相同的渐近线y＝±x，故C正确；

设过双曲线x2－＝1的右焦点F(，0)的直线y＝0交双曲线于A，B点，

可得AB＝2，故D错误．

二、填空题

6．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m＝________.

答案　－

解析　双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，可得1×2＝，解得m＝－.

7．经过点A(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为____________．

答案　－＝1

解析　因为所求双曲线与双曲线－y2＝1有公共渐近线，

所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．

因为所求双曲线过点(2，－2)，所以－(－2)2＝λ，得λ＝－2，

所以所求双曲线的方程为－＝1.

8．双曲线x2－＝1的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且kMA＝1，则△MAB的面积为______．

答案　3

解析　由双曲线x2－＝1，得A(－1,0)，

又kMA＝1，∴MA：y＝x＋1，

把MA的方程代入x2－＝1，

得x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，

故M(2,3)，

∴S△MAB＝AB·yM＝3.

9．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是______．

答案　(1,2]

解析　由题意知双曲线的渐近线方程为

y＝±x，

若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，

则≤，得b≤a，两边平方得b2≤3a2，

即c2－a2≤3a2，∴c2≤4a2，得≤4，即e2≤4，

∵双曲线的离心率e为大于1的正数，

∴1<e≤2.

三、解答题

10．已知双曲线C：－y2＝1.

(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(－，)的双曲线的标准方程；

(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B的中点坐标为(1,1)，求直线l的斜率．

解　(1)设所求双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，

代入(－，)，得k＝－1，所以所求双曲线方程为y2－＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在双曲线上，

所以

由①－②得＝(y1－y2)(y1＋y2)，

因为A，B的中点坐标为(1,1)，所以

所以kl＝＝＝.