高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线达标测试

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线达标测试，共13页。试卷主要包含了已知点P为双曲线C，已知双曲线C，故选C等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2021江苏南京人民中学高二上月考)已知M(-3,0),N(3,0),PM-PN=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.(2021江苏扬州大学附属中学高二上学期第一次月考)已知方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
A.-10
C.k≥0 D.k>1或k<-1
3.(2019河北唐山一中高二上月考)已知平面内两定点F1(-2,0),F2(2,0),下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是( )
A.PF1-PF2=±3 B.PF1-PF2=±4
C.PF1-PF2=±5 D.PF12-PF22=±4
4.(2021江苏淮安高中校协作体高二上学期期中)已知点P为双曲线C:x236-y264=1上的动点,点A(-10,0),点B(10,0).若PA=16,则PB= .
5.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5.若2a=8,则△ABF2的周长是 .
题组二 双曲线的标准方程及应用
6.(2021江苏扬州邗江中学高二上学期期中)已知双曲线C:x22-y22=1,则其焦点坐标是( )
A.(±2,0) B.(0,±2)
C.(±2,0) D.(0,±2)
7.(2021江苏镇江高二上学期期中)若椭圆x225+y2m=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同,则m的值为( )
A.3 B.4
C.6 D.9
8.(2021江苏南京师范大学附属中学高二上学期教学质量调研(二))已知动点M(x,y)的坐标满足方程(x+5)2+y2-(x-5)2+y2=8,则M的轨迹方程是( )
A.x216+y29=1 B.x216-y29=1
C.x216-y29=1(x>0) D.y216-x29=1(y>0)
9.已知双曲线的一个焦点为F1(-5,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.x24-y2=1 B.x2-y24=1
C.x22-y23=1 D.x23-y22=1
10.(2021江苏扬州邗江中学高二上学期期中)已知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),且该双曲线过点P(6,22).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线上的点M满足MF1⊥MF2,求△MF1F2的面积.
题组三 直线与双曲线的位置关系
11.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( )
A.-153,153 B.0,153
C.-153,0 D.-153,-1
12.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1,作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A,B两点,则AB= .
13.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上学期期中)已知双曲线C的标准方程为x23-y26=1,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点.
(1)若点P在双曲线的右支上,且△F1PF2的面积为3,求点P的坐标;
(2)若斜率为1且经过右焦点F2的直线l与双曲线交于M,N两点,求线段MN的长度.
题组四 双曲线方程的综合运用
14.(2021江苏泰州中学高二上学期10月质量检测)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
15.(2021江苏镇江中学高二上学期期初测试)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质,比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为( )
A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12
16.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上学期10月阶段性考试)若椭圆x2m+y2n=1(m>n>0)和双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则PF1·PF2的值是( )
A.m-a2 B.12(m-a2)
C.m2-a2 D.m-a
17.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中) 设F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且PF1∶PF2=2∶1,求△PF1F2的面积.
能力提升练
题组一 双曲线的标准方程及其应用
(2021江苏南京江宁东山外国语学校高二第一次月考,)已知
△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC内切圆的圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程是( )
A.x24-y221=1(x>2) B.y24-x221=1(y>2)
C.x221-y24=1 D.y24-x22=1
2.(多选)(2021江苏泰州中学高二上学期期中,)已知曲线E的方程为ax2+by2=ab(a,b∈R),则下列选项正确的是( )
A.当ab=1时,E一定是椭圆
B.当ab=-1时,E是双曲线
C.当a=b>0时,E是圆
D.当ab=0且a2+b2≠0时,E是直线
3.(2021江苏高二上学期质量检测,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若AF2=F1F2=2c,则此双曲线的标准方程可能为( )
A.x24-y3=7 B.x23-y24=1
C.x216-y29=1 D.x29-y216=1
4.(2021江苏徐州沛县高二上学期第一次学情调研,)已知双曲线x216-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线上一点,若∠F1MF2=60°,则△F1MF2的面积为 .
题组二 双曲线标准方程的综合应用
5.(2020重庆一中高二上期中,)已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )
A.4x-3y+1=0 B.2x-y-1=0
C.3x-4y+6=0 D.x-y+1=0
6.(2021江苏南通如皋高二上学期教学质量调研(一),)已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆与直线l:y=±43x相切,该圆与双曲线在第一象限的交点为P,则PF1·PF2=( )
A.8 B.86
C.4 D.46
7.(2020江苏徐州铜山大许高级中学高二月考,)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(4,0),点A,B在双曲线C:x24-y2=1上,且AP=3PB,则直线AB的斜率为( )
A.±32 B.±52
C.±1 D.±32
8.()已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则PQ-PR的最大值是( )
A.6 B.8
C.10 D.12
9.(2020江苏淮安阳光学校高二月考,)已知动点P到点F(2,0)的距离是到直线x=12的距离的2倍,设P点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,并指出C的形状;
(2)当P点坐标为(2,t)时,过P作斜率为3的直线与C有另一个交点A,求线段PA的中点坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为PM-PN=6=MN,故动点P的轨迹是一条射线,其方程为y=0,x≥3,故选A.
2.A 由方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,得(1+k)(1-k)>0,解得-13.A 当PF1-PF2=±3时,|PF1-PF2|=34.答案 28或4
解析 依题意可知a=6,b=8,则c=36+64=10,
所以A,B分别是双曲线的左、右焦点,
根据双曲线的定义可知|PA-PB|=|16-PB|=2a=12,所以PB=28或PB=4,
由于c-a=10-6=4,所以PB≥4.
故答案为28或4.
5.答案 26
解析 易知AF2-AF1=2a=8,BF2-BF1=2a=8,
∴AF2+BF2-(AF1+BF1)=16.
∴AF2+BF2=16+5=21,
∴△ABF2的周长为AF2+BF2+AB=21+5=26.
6.C 由双曲线的方程可知双曲线的焦点在x轴上,
又c=a2+b2=2+2=2,所以焦点坐标为(±2,0).故选C.
7.D 将双曲线方程化为标准方程为x215-y2=1,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),
由于椭圆与双曲线有相同的焦点,
所以m=25-16=9.故选D.
8.C 由题意知,点M到点(-5,0)的距离与到点(5,0)的距离之差为8<10,符合双曲线的定义,且点M的轨迹是双曲线的右支,
其中,c=5,2a=8,即a=4,故b=c2-a2=3,所以M的轨迹方程是x216-y29=1(x>0),故选C.
9.B 设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),因为c=5,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以x2a2-y25-a2=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(5,4).将P(5,4)代入双曲线方程,得5a2-165-a2=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-y24=1.故选B.
10.解析 (1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),因为F1(-4,0),F2(4,0),且该双曲线过点P(6,22),所以2a=(6+4)2+(22)2-(6-4)2+(22)2=43,所以a=23,
所以a2=(23)2=12,
又c=4,所以b2=42-12=4,
所以双曲线的标准方程为x212-y24=1.
(2)由|MF1-MF2|=43,MF12+MF22=64,得MF1·MF2=8,
所以S△MF1F2=12MF1·MF2=4.
11.D 由y=kx+2,x2-y2=6得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得1-k2≠0,Δ=16k2+40(1-k2)>0,4k1-k2>0,10k2-1>0,
解得-15312.答案 3
解析 依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=33(x+2).
由y=33(x+2),x2-y23=1得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=12,x1x2=-138,
所以AB=1+k2·|x1-x2|
=1+332[(x1+x2)2-4x1x2]
=1+13×122-4×-138
=3.
13.解析 (1)由题意知双曲线的焦距F1F2=2×3+6=6,
设点P(m,n),m>0,则S△F1PF2=12F1F2·|n|=3|n|=3,解得n=±1,
代入双曲线方程可得m=142,所以点P的坐标为142,1或142,-1.
(2)由题意得F2(3,0),则直线MN:y=x-3,设M(x1,y1),N(x2,y2),
由x23-y26=1,y=x-3消去y,
可得x2+6x-15=0,则x1+x2=-6,x1x2=-15,
所以MN=1+12·(x1+x2)2-4x1x2=2×36+60=83.
14.C 方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线⇔mn>0,所以“mn>0”是“方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线”的充要条件.故选C.
15.答案 D
信息提取 (1)双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,反射光线的反向延长线经过左焦点;(2)双曲线方程为x2-y2=1;(3)F2P⊥PE.
数学建模 本题以双曲线镜面反射光线为背景,构建与双曲有关的问题.通过F2P⊥PE构建方程,再结合余弦函数的定义求解.
解析 双曲线的标准方程为x2-y2=1,则a=1,b=1,c=2.
设PF2=m(m>0),则PF1=2+m.
所以m2+(m+2)2=(22)2,解得m=3-1(m=-3-1舍去).
所以cs∠F1F2P=3-122=6-24,
所以∠F1F2P=5π12.
故选D.
16.A 不妨设PF1>PF2,由椭圆与双曲线的定义可得PF1+PF2=2m,PF1-PF2=2a,
所以PF1=m+a,PF2=m-a,
所以PF1·PF2=(m+a)(m-a)=m-a2.故选A.
17.解析 ∵F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,∴不妨设F1(-3,0),F2(3,0),
∴F1F2=6,
设PF2=x(x>0),则PF1=2x.
由双曲线的性质知2x-x=25,解得x=25,
∴PF1=45,PF2=25,
∴cs∠F1PF2=80+20-362×45×25=45,
∴sin∠F1PF2=35.
∴△PF1F2的面积为12×45×25×35=12.
能力提升练
1.A 如图,设△ABC的三边与内切圆的切点分别为G,E,F,
由题意得AG=AE=7,BF=BG=3,CE=CF,所以CA-CB=7-3=4<10.
根据双曲线的定义可知所求轨迹是以A,B为焦点,2a=4的双曲线的右支,
故其方程为x24-y221=1(x>2).故选A.
2.BCD 对于A,若a=1,b=1,则ax2+by2=ab变为x2+y2=1,表示圆,故A错误;对于B,若ab=-1,则ax2+by2=ab(a,b∈R)可化为y2a-ax2=1,表示双曲线,故B正确;对于C,若a=b>0,方程变为x2+y2=a,表示圆,故C正确;对于D,若a=0,b≠0,则ax2+by2=ab变为y=0,表示直线;同理,若b=0,a≠0,ax2+by2=ab也表示直线,故D正确.故选BCD.
3.D 由双曲线的定义可知AF1-AF2=2a,又AF2=F2F1=2c,所以AF1=2a+2c,
由于过F2的直线斜率为247,所以在等腰三角形AF1F2中,tan ∠AF2F1=-247,
则cs∠AF2F1=-725,
由余弦定理得cs∠AF2F1=-725=4c2+4c2-(2a+2c)22·2c·2c,
化简得3c=5a,即a=35c,b=45c,可得a∶b=3∶4,a2∶b2=9∶16,
所以此双曲线的标准方程可能为x29-y216=1.故选D.
4.答案 123
解析 不妨设点M在双曲线的右支上,则MF1-MF2=2a=8 ,即(MF1-MF2)2=MF12+MF22-2MF1·MF2=64,由余弦定理可得4c2=112=MF12+MF22-MF1·MF2,两式相减得MF1·MF2=48,
所以S△F2MF1=12MF1·MF2·sin 60°=123.
5.A 设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
又x1+x2=4,y1+y2=6,
∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0⇒kPQ=43,
因此直线PQ的方程为y-3=43(x-2),即4x-3y+1=0,
经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.
因此符合题意的直线方程为4x-3y+1=0,故选A.
易错警示
用“点差法”解决弦的中点问题,不能确保直线与双曲线相交,解题时,要防止遗漏验证而导致错误.
6.A 易知焦点F2(5,0)到直线l的距离d=|4×5|9+16=4,
因为以F2为圆心的圆与直线l相切,
所以PF2=4,由双曲线的定义可知PF1=10,又F1F2=10,所以由余弦定理得
cs∠F2PF1=PF12+PF22-F1F222PF1·PF2=100+16-1002×10×4=15,
所以PF1·PF2=|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2=40×15=8.故选A.
7.B 由题意可知,当直线AB的斜率为0时显然不满足题意,故设直线AB的方程为x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x24-y2=1,x=my+4,消去x,得(m2-4)y2+8my+12=0,
所以m2≠4,y1+y2=-8mm2-4,y1y2=12m2-4,①
又AP=3PB,所以(4-x1,-y1)=3(x2-4,y2),所以-y1=3y2,②
由①②可得-4m2-4=16m2(m2-4)2,即5m2=4,
所以m=±25,所以直线AB的斜率为1m=±52.故选B.
8.C 设C1:x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),而这两点恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆的半径都为1,
若PQ-PR取得最大值,则P在双曲线的右支上,故PF1-PF2=8,
所以PQmax=PF1+1,PRmin=PF2-1,
所以PQ-PR的最大值为(PF1+1)-(PF2-1)=PF1-PF2+2=8+2=10.
故选C.
9.解析 (1)设P点坐标为(x,y),由题意可得(x-2)2+y2=2x-12,
两边平方整理可得曲线C的方程为x2-y23=1,故C的形状为双曲线.
(2)将点P的坐标(2,t)代入x2-y23=1,可得t=±3,
①当t=3时,P点坐标为(2,3),直线方程为y=3x-3,
联立y=3x-3,x2-y23=1,可得x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,
所以A点坐标为(1,0),线段PA的中点坐标为32,32,
②当t=-3时,P点坐标为(2,-3),直线方程为y=3x-9,
联立y=3x-9,x2-y23=1,可得x2-9x+14=0,解得x=2或x=7,
所以A点坐标为(7,12),此时线段PA中点坐标为92,92,
综上可得,线段PA的中点坐标为32,32或92,92.