2020-2021学年3.3 抛物线复习练习题

3.3抛物线 苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则弦的长为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以为圆心，为半径的圆与抛物线：相交于，两点，如图，点是优弧上不同于，的一个动点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 已知点，为抛物线上任意一点，点到轴的距离为，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，且满足，则直线的倾斜角为(    )

A.  B. 和 C. 和 D. 和

5. 如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点点位于之间且于点且，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法错误的是 (    )

A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为
C. 线段的中点到轴的距离为 D.

7. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的两个交点分别为，，且满足为的中点，则点到抛物线准线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知直线：过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法错误的是(    )

A. 抛物线的方程为 B. 线段的长度为
C.  D. 线段的中点到轴的距离为

10. 已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，若点，下列结论正确的是(    )

A. 的最小值为
B. 抛物线关于轴对称
C. 过点与抛物线有一个公共点的直线有且只有一条
D. 点到点的距离与到焦点距离之和的最小值为

11. 已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知抛物线的焦点为，为上一点，下列说法正确的是(    )

A. 的准线方程为
B. 直线与相切
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的周长的最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则          ．

14. 已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两点，且，若线段的垂直平分线与轴的交点为，则          ．
15. 已知抛物线的焦点是，点是其准线上一点，线段交抛物线于点当时，的面积是           
16. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则          ，          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且．

求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；

求所在的直线方程．

18. 本小题分

已知直线，抛物线．

若抛物线的焦点在直线上，试确定抛物线的方程

若的三个顶点都在所确定的抛物线上，且点的纵坐标为，的重心恰为抛物线的焦点，求直线的斜率．

19. 本小题分

已知抛物线的焦点为，点在抛物线上

求点的坐标和抛物线的准线方程；

过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积．

20. 本小题分
    如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上．
     

求的值及抛物线的准线方程；

若点为三角形的重心，求线段的长度．

21. 本小题分

已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且若点是抛物线上的一个动点，设点到直线的距离为．

求抛物线的方程；
求的最小值．

22. 本小题分
    已知抛物线过点．
    
    求抛物线的方程；
    过点的直线与抛物线交于，两个不同的点均与点不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题抛物线中的弦长问题，属于中档题．
本题运用了直线方程与抛物线方程联立求解的方法，方法一：利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式即可求解．方法二：利用抛物线性质求解．

【解答】

解：根据抛物线方程得：焦点坐标，
直线的斜率为，
由直线的点斜式方程得的方程：，
方法一：
将直线方程代入到抛物线方程中，
得：，
可知：，
设，，
由一元二次方程根与系数的关系得：
，，
则弦长
．
方法二：将直线方程代入到抛物线方程中，
得：，
可知：，
设，，
由一元二次方程根与系数的关系得：
，．
直线过焦点，
．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定点纵坐标的范围是关键，属于中档题．
由题意，，故的周长，设点的坐标为，联立方程求解的坐标，从而可得的取值范围，即可得到的周长的取值范围．

【解答】

解：易知圆心也是抛物线的焦点，设与抛物线的准线交于点，
根据抛物线的定义，可得，
故的周长．
设点的坐标为，由
解得，即．
由于点不与、两点重合，也不在轴上，
所以的取值范围为，
所以的周长的取值范围为．
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数形结合解题的方法，抛物线的标准方程，根据抛物线的标准方程能求出抛物线的焦点坐标，以及抛物线的定义，两点间的距离公式，属于中档题．
利用到准线的距离等于到焦点的距离转化，求为焦点的最小值．

【解答】

解：由已知抛物线的焦点为，准线方程为，
显然到准线的距离等于，
又到准线的距离等于，
而的最小值为：
，
当是与抛物线的交点时取等号．
所以的最小值是．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的概念与性质，属于中档题．
分别过，作准线的垂线，垂足为，，设直线交准线于，根据抛物线的定义进行求解即可．

【解答】

解：如果在第一象限，
设抛物线准线交轴于，分别过，作准线的垂线，垂足为，，
直线交准线于，过点作于点，如图所示：

则，，
因为，
所以，，
则，可得，
即直线的倾斜角为，
同理，如果在第四象限，可得直线的倾斜角为．
综上可得，直线的倾斜角为或．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系，属中档题．
由题可得，然后结合条件可得，即可求解．

【解答】

解：设于点，准线交轴于点，

则，又，
，
又于点且，
   ，
，
即，
，
．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简运算能力，属于中档题．
求得直线经过点，可得，即有抛物线方程，求得准线方程，联立直线方程和抛物线方程求得，的坐标，可得，的坐标，由两点的距离公式和两直线垂直的条件，即可判断，，，求得，的中点坐标，可判断C错误．
【解答】
解：直线：经过点，
可得，即抛物线：，准线方程为，故A正确；
联立直线和抛物线：，
可得，
可得，，
即有，故B正确；

由，，，
可得，
则，即，故D正确；
线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，故C错误．
综上可得，，D正确，C错误．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了抛物线的定义，几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
由题意分析出要使取得最大值，则需最小，当与抛物线相切时，最小．
设直线的方程为，与联立，消去得：，利用判别式，求出斜率，再求出倾斜角．

【解答】

解：由题意可得：，准线方程为，，过作准线的垂线，垂足为，则，
取得最大值，即取得最大值，
则需最小，当与抛物线相切时，最小．
设直线的方程为，与联立，消去得：，
所以，解得：，所以直线的倾斜角为或．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．
设过点的直线方程，代入抛物线方程得，根据求得，根据到抛物线准线的距离为即可求得结果．

【解答】

解：依题意，抛物线的焦点，
设过点的直线方程，代入抛物线方程得，
设，则
又，得，得，
，
由抛物线定义知点到抛物线准线的距离为．
故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的方程和性质，考查直线与抛物线方程的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简运算能力，属于中档题．
求得直线经过点，可得，即有抛物线方程，求得准线方程，联立直线方程和抛物线方程求得，的坐标，可得，的坐标，由两点的距离公式和两直线垂直的条件，即可判断，，，求得，的中点坐标，可判断D错误．

【解答】

解：不妨设点在点上方．直线：经过点，可得，即抛物线：，中说法正确．

由，可得，解得或，可得，，所以，中说法错误．

由，，，可得，则，即，中说法正确．线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，中说法错误．故选BD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
根据抛物线的相关知识逐一判断即可．

【解答】

解：抛物线的焦点，准线，
选项，由抛物线的定义可知，设，则，，
又抛物线的焦点为，所以
当时，等号成立，所以的最小值是，故A错误；
选项，由抛物线的焦点在轴上，关于轴对称，故B错误；
选项，当过点的直线斜率不存在时，直线为，此时与抛物线有一个公共点，
当过点的直线斜率存在时，设直线为，
与抛物线方程联立消去得，所以，
所以当过点的直线斜率存在时，直线与抛物线有两个交点，故C正确；
选项，过作垂直抛物线的准线，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为，故D正确
故选CD．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线定义的应用及点到直线的距离，考查计算能力及构造能力，属于中档题．
利用抛物线的定义结合点到直线的距离公式求出的最小值即可求解．

【解答】

解： 如下图，

抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以过焦点作直线的垂线，
则到直线的距离为的最小值，，
所以，选项ABD均大于或等于．
故选ABD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
根据抛物线的标准方程和准线方程可判定；联立直线与抛物线的方程可判定；设则，可判定；根据的周长为，结合抛物线的性质，可得，即可判定．

【解答】

解：根据抛物线可得，所以准线方程为：，故 A错误；
联立直线与抛物线方程得，
，消去得，，解得，所以直线与抛物线相切，故B正确；
设则，
所以当时，的最小值为，故C正确；
因为，，所以，
因为的周长为，
设点到准线的距离，则，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的定义，简单的几何性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
由题意设出直线的方程，与抛物线联立方程组，设，利用根与系数的关系和抛物线定义得解．

【解答】

解：由题意得圆的圆心为抛物线的焦点，
可知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，则，
设，，
联立直线与抛物线的方程
整理可得，
可得，所以，
由抛物线的性质可得弦长，
又为圆的直径，所以，
所以，
而，
可得，
因为，
所以，
代入直线的方程中可得，
即，
将点坐标代入抛物线的方程中，
可得，
整理可得，解得，
所以．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了抛物线的定义与性质、直线与抛物线的位置关系、圆锥曲线中的中点弦问题等内容，属于中等题由题意设的中点为，直线方程为，由可得，联立直线与抛物线方程可求得，由此得到线段的垂直平分线方程，将代入即可得到的值．

【解答】

解：根据题意可作出图形，设的中点为，如下图所示：

抛物线，即，焦点，准线为，
，由抛物线的定义可知，，即，
由题意可知，直线的斜率存在且不为零，
设直线方程为，
联立，整理得，
设，
则，，
线段的垂直平分线方程为，
化简得，
垂直平分线与轴的交点为，
，解得，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的几何性质，定义以及直线与抛物线位置关系，属于中档题．
由题意可知抛物线焦点是，准线，过作，垂足为，则由此可求直线方程，与抛物线联立可得的横坐标，即可求解．

【解答】

解：抛物线的焦点是，准线，
若，过作，垂足为，则，
则，
由抛物线对称性可知，结果相同，
不妨令，则，代入抛物线方程可得，
且，故，
故的面积是，
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系．
由题知，可得的值；当直线的斜率存在时，设，联立，可得，再由化简后代入即得；当直线的斜率不存在时，可得，得出，综上即可得出答案．

【解答】

解：因为焦点为，所以，即，
当直线的斜率存在时，设，
联立
消去得：，
则，
设，
则
，
当直线的斜率不存在时，可得，
则，
综上可得
故答案为；．

17.【答案】解：因点在抛物线方程上，则，

所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；

显然，直线不垂直轴，
设直线方程为：，

由消去得：，
设，则有，

于是得，
解得，即直线：，

所以所在的直线方程：或．

【解析】本题考查抛物线的标准方程、性质和直线与抛物线的位置关系，属于一般题．
求出，即可得抛物线方程，利用抛物线的性质即可求解
显然，直线不垂直轴，设直线方程为：，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式求出，即可得直线方程．
 

18.【答案】解：直线与轴的交点为，

因此抛物线的焦点为，
所以，

所以所求抛物线的方程为．

因为点的纵坐标为，所以点坐标为．

又为的重心，

设，，则有，

则，

，

即直线的斜率为．

【解析】本题考查抛物线与直线的位置关系，考查抛物线的概念及标准方程，考查抛物线的性质及几何意义，考查分析与计算能力，属于中档题．
先求直线与轴的交点坐标，再求抛物线的焦点坐标，由题意可得的值，即可得出方程；
由得出的坐标，再求出直线的斜率即可．
 

19.【答案】解：在抛物线上，
，
，

点的坐标为，抛物线的准线方程为；

设，的坐标分别为，，则，

，直线的方程为，

点到直线的距离，

；

【解析】本题主要考查了抛物线的标准方程以及几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
利用点在抛物线上，求出，即可求点的坐标和抛物线的准线方程；
利用抛物线的性质得，再由点到直线的距离得，由即可求的面积．
 

20.【答案】 解：点为抛物线的焦点，即，
即，

抛物线的方程为，准线方程为；

设过的直线方程为，，，，，

即有，，，

联立直线和抛物线可得，

可得，，

因为，，即，

所以，

即，

则．

【解析】本题主要考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
由抛物线的焦点坐标得出，求出的值，即可求出准线方程；
设过的直线方程为，，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，以及三角形的重心坐标公式，弦长公式求解．
 

21.【答案】解：因为抛物线：，

所以抛物线的准线为．

在抛物线上，由抛物线的定义，得，解得，

所以抛物线的方程为．

方法一  设点的坐标为，

因为点在抛物线上，所以，

则到直线的距离．

当时，取到最小值，且的最小值为．

方法二  设直线的平行线与抛物线：相切，

由，得，

所以，解得，

故所求的最小值为．

【解析】本题主要考查抛物线的定义以及几何性质．
由抛物线的定义，得，解得，可得方程
法一：到直线的距离为当时，取到最小值，求解即可
法二：由得，令，解得，即可求解
 

22.【答案】解：由题意抛物线过点，所以，
所以得抛物线的方程为；
证明：设过点的直线的方程为，即，
代入得，
设，，
则，，
所以
．
为定值． 

【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；
设过点的直线的方程为，即，代入利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求的值．