人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课时练习

课时跟踪检测（五）  空间中的点、直线与空间向量

[A级　基础巩固]

1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)

A．x＝6，y＝15　　　　  B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15     D．x＝6，y＝

解析：选D　由题意知，因l1∥l2有a∥b，则＝＝，得x＝6，y＝，故选D.

2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面(　　)

A．xOy平行     B．xOz平行

C．yOz平行     D．yOz相交

解析：选C　因为＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB∥平面yOz.

3．已知直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，2，0)，b＝(0°＜α＜180°)，若l1⊥l2，则α＝(　　)

A．30°     B．60°

C．120°     D．150°

解析：选B　∵向量a＝(2，2，0)，b＝(0°＜α＜180°)，

∵l1⊥l2，∴a⊥b，

∴a·b＝2cos α－1＝0，∴cos α＝，

∵0°＜α＜180°，

∴α＝60°.故选B.

4．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：选A　如图，以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)，则＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，

∴||＝，||＝，·＝3，

∴cos 〈，〉＝＝＝.

5．(多选)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)

A．EF至多与A1D，AC之一垂直

B．EF⊥A1D，EF⊥AC

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1平行

解析：选BD　建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，E，F，＝，∴·＝0，·＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC.又＝(－1，－1，1)，∴＝－3，即EF与BD1平行．

6．已知点A(1，1，－4)，B(2，－4，2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．

解析：设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5，6)，

由＝，得

∴∴C.

答案：

7．已知A(0，y，3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2，1，3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．

解析：由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0.

答案：0

8．长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是矩形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是________．

解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，B(1，1，0)，M，D(0，0，0)，N，

＝，＝，

设向量与的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝.

故向量与的夹角的余弦值为.

答案：

9.如图，正四棱锥P­ABCD的各棱长都为a.

(1)用向量法证明BD⊥PC；

(2)求|＋|的值．

解：(1)证明：∵＝＋，

∴·＝(＋)·＝·＋·

＝||||·cos 60°＋||||·cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.

(2)∵＋＝＋＋，

∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a.

10．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成角的余弦值．

解：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，∴＝(－1，0，－2)，

＝(1，－1，－2)，||＝＝，

||＝＝，

∴cos 〈，〉＝＝＝＝.

∴直线BM与AN所成角的余弦值为.

[B级　综合运用]

11.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO和AM的位置关系是(　　)

A．平行

B．相交

C．异面垂直

D．异面不垂直

解析：选C　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，＝(－1，0，－2)，＝(－2，0，1)，·＝0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．

12．已知直线l1的一个方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是________．

解析：∵|a|＝＝6，∴x＝±4.

∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，

∴y＝－1－x.

∴当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，

∴x＋y＝－3或1.

答案：－3或1

13．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为________．

解析：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(b，a，0)，D1(0，0，c)，B1(b，a，c)，C(0，a，0)，则＝(－b，－a，c)，＝(－b，0，－c)，

从而cos 〈，〉＝

＝.

对上式进行以下讨论：

(1)当c<b时，cos 〈，〉>0，这时〈，〉是锐角，则〈，〉即异面直线BD1和B1C所成的角；

(2)当c>b时，cos 〈，〉<0，这时〈，〉是钝角，则〈，〉的补角π－〈，〉即异面直线BD1和B1C所成的角；

(3)当c＝b时，cos 〈，〉＝0，这时〈，〉＝90°，则〈，〉即异面直线BD1和B1C所成的角．

综上，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为 .

答案：

14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中．

(1)若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置；

(2)若E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

解：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1).

(1)因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，因为＝(m，n，0)－＝，＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)，且∥，所以＝＝，

解得m＝1，n＝.所以点H的坐标为，

所以H为线段AB的中点．

(2)由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，

因为3 ＝，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，

所以3a－3＝－a，解得a＝，

所以点P的坐标为.

由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，

因为PQ⊥AE，所以·＝0，

所以·＝0，

即－－＝0，解得b＝，

所以点Q的坐标为，

因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ，

所以＝－1，故λ＝－4.

[C级　拓展探究]

15.如图所示，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是OA和BC的公垂线；

(2)求OA和BC间的距离．

解：(1)证明：∵E为BC的中点，

∴＝(＋)，由题知DB⊥OA，得·＝0.

同理可得·＝0.

∴·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴DE⊥OA.

同理可证DE⊥BC.

∴DE是OA和BC的公垂线．

(2)∵＝－＝＋－，

∴||2＝

＝(2＋2＋2＋2·－2·－2·)

＝(12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°)

＝，

∴||＝，即OA和BC间的距离为.