2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示教案配套ppt课件

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理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量.
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？
空间中点的向量和直线的向量表示
问题1　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
提示　在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量.
问题2　空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l？
提示　如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，
如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 .(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ .2.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于A.0 B.1 C. D.3
∵A(0，y,3)，B(－1,2，z)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，
(2)设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于A.1 B.2C. D.3
因为l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，且l1⊥l2，所以a⊥b，所以a·b＝－2＋6－2m＝0，解得m＝2.
理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.(2)直线的方向向量不唯一.
(1)已知直线l1的方向向量a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是A.6和－10 B.－6和10C.－6和－10 D.6和10
因为a∥b，a＝(2，－3,5)，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，即(－4，x，y)＝λ(2，－3,5)＝(2λ，－3λ，5λ)，
所以x，y的值分别是6和－10.
设B点坐标为(x，y，z)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.
1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 ＝xa＋yb.
2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.
3.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a· ＝0}.
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量.
答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量).
设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，
∵x轴⊥平面SAB，∴m＝(1,0,0)即为平面SAB的一个法向量.
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)，设平面BDD1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0，∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1,0).
(2)平面BDEF的一个法向量.
设平面BDEF的一个法向量为m＝(x2，y2，z2).
令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1，∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1).
1.知识清单： (1)空间中点、直线、平面的向量表示. (2)直线的方向向量. (3)平面的法向量.2.方法归纳：待定系数法、赋值法.3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是
3.若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)
求与n共线的一个向量.易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1).
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_____________.
故x＋2y－3z＝0.
1.已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是A.－1 B.1或－1C.－3 D.1
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥AC，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.故选项B成立，选项A和D显然成立.
3.已知向量 ＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB⊂α，则A.x＝6，y＝2 B.x＝2，y＝6C.3x＋4y＋2＝0 D.4x＋3y＋2＝0
可得3x＋4y＋2＝0.
4.已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确.
5.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是
6.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任意一点，则能作为直线AA1的方向向量的是
由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
7.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若点P(a,1,1)在平面ABC内，则a＝_____.
因为P(a,1,1)在平面ABC内，
8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是________.(填序号)
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设平面EDB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，则y＝－1，z＝1，故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1).
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量.
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z).
11.(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是A.1 B.－1 C.3 D.－3
所以x＝±4.因为a⊥b，所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，即y＝－1－ x，所以当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1.所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
所以n＝(2,2,1).
13.(多选)已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3，1)，则下列说法正确的是
对于D，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
即平面ABC的一个法向量为(1，－2,5)，D正确.
∵a是平面α的一个法向量，
15.(多选)已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)，若c为平面α的一个法向量，则A.m＝－1 B.m＝1C.n＝2 D.n＝－2
所以AP⊥AB，AP⊥AD.又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD.
(2)求平行四边形ABCD的面积.