新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第五章 章末复习课

一、两个计数原理

1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性．

2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养．

例1　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　)

A．484  B．472  C．252  D．232

答案　B

解析　根据题意，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取2张绿色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(种)．

(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________．

答案　86

解析　由题意，可分三类考虑：

第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝31；

第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝34；

第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为

C＋CC＋C＝21.

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.

反思感悟　应用两个计数原理计数的四个步骤

(1)明确完成的这件事是什么；

(2)思考如何完成这件事；

(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类；

(4)选择计数原理进行计算．

跟踪训练1　(1)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个．(用数字作答)

答案　60

解析　1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类．

分三类：①没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个；

②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有2A个；

③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足条件的三位数有CC个．

所以满足条件的三位数共有

A＋2A＋CC＝60(个)．

(2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种．

答案　30

解析　从4人中选出两个人作为一个元素有C种方案，同其他两个元素在三个位置上排列有CA＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲、乙同时参加同一竞赛，共有A种方案，所以不同的参赛方案共有36－6＝30(种)．

二、排列与组合的综合应用

1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则．

2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养．

例2　在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．

(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

解　(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A＝24(种)方法．

根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序．

(2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法．

根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种)安排顺序．

(3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的顺序有＝A＝132(种)．

反思感悟　解决排列、组合的综合问题要注意以下几点

(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题．

(2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接．

(3)对于含有“至多”、“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净．

跟踪训练2　6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演．

(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？

(2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？

解　(1)要完成这件事分三步：

第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有CC种不同的排法；

第二步，前排4人进行全排列，有A种不同的排法；

第三步，后排4人进行全排列，有A种不同的排法．

由分步乘法计数原理知，有CCAA＝40 320(种)不同的排法．

(2)思路与(1)相同，有CAA＝5 760(种)不同的排法．

三、二项式定理及其应用

1．二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解．

2．二项式原理所体现的是一种数学运算素养．

命题角度1　二项展开式的“赋值问题”

例3　(1)若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

答案　C

解析　在(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，

令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4；

令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.

两式相乘，得

(2＋)4·(－2＋)4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)．

所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.

(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求：

①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；②－a2＋a4－a6＋a8－a10.

解　①令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25；

令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65.

两式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125.

②令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.

整理得，(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i，

故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128.

令x＝0，

则a0＝1，

所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127.

反思感悟　“赋值法”在二项展开式中的应用

(1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征．

(2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具体视情况而定．

(3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可．

跟踪训练3　若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．

答案　5

解析　令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，

令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，

所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.

命题角度2　二项展开式的特定项问题

例4　已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.

(1)求展开式中的所有有理项；

(2)求展开式中系数的绝对值最大的项；

(3)求n＋9C＋81C＋…＋9n－1C的值．

解　(1)由C(－2)4∶C(－2)2＝56∶3，

解得n＝10(负值舍去)，

通项为Tk＋1＝C()10－kk

＝(－2)kC，

当5－为整数时，k可取0,6，

于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440.

(2)设第k＋1项系数的绝对值最大，则

解得≤k≤，

又因为k∈N，所以k＝7，

当k＝7时，T8＝－15 360，

又因为当k＝0时，T1＝x5，

当k＝10时，T11＝(－2)10＝1 024，

所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360.

(3)原式＝10＋9C＋81C＋…＋910－1C

＝

＝

＝＝.

反思感悟　二项式特定项的求解策略

(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．

(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项．

(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数．

(4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质．

跟踪训练4　已知(－)n的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024.

(1)求展开式的所有有理项(指数为整数)；

(2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展开式中x2项的系数．

解　(1)由题意得，2n＝1 024，

∴n＝10，

∴展开式的通项为

Tk＋1＝C()10－k(－)k＝(－1)kC

＝(－1)kC(k＝0,1，…，10)，

令5－∈Z，得k＝0,6.

∴有理项为T1＝Cx5＝x5，T7＝Cx4＝210x4.

(2)∵C＋C＝C，

∴C＝C－C，

∴x2项的系数为C＋C＋…＋C＝(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)＝C－C＝164.