新教材北师大版步步高学习笔记必修一第四章 章末检测试卷(四)【学案+同步课件】

章末检测试卷(四)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．下列函数中，随着x的增大而增加速度最快的是(　　)

A．y＝ex   B．y＝100x

C．y＝x100   D．y＝100×2x

答案　A

解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快．

2．计算：log225·log52等于(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　A

解析　原式＝×＝3.

3．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象过定点(　　)

A.  B．(1,0)  C．(0,1)   D.

答案　 B

解析　根据对数函数过定点(1,0)，令3x－2＝1，得x＝1，

∴过定点(1,0)．

4．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由函数的解析式得即

所以1≤x<.

5．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　)

A．a＝bc   B．b2＝ac

C．c＝ab   D．c2＝ab

答案　C

解析　∵正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，

∴设log2a＝log3b＝log6c＝k，

则a＝2k，b＝3k，c＝6k，

∴c＝ab.

6．函数f(x)与g(x)＝ax互为反函数，且g(x)过点(－2,4)，则f(1)＋f(2)等于(　　)

A．－1  B．0  C．1  D.

答案　A

解析　由题意指数函数g(x)＝ax的图象过点(－2，4)，得4＝a－2，解得a＝，故函数g(x)＝x，

故其反函数f(x)＝，

故f(1)＋f(2)＝＝0－1＝－1.

7．某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏．某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现，该植物在水面的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间t(单位：月，t∈N)的关系为y＝8×t，则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1 000倍需要的时间(时间：月)为(　　)

A．20  B．22  C．24  D．26

答案　C

解析　刚投放时的面积为y＝8×0＝8，

设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1 000倍，则8×t＝8×1 000，t＝＝≈＝24.

8．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

答案　B

解析　由函数y＝logax的图象过点(3,1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝x，则其函数图象错误；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象错误；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图象错误．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.函数f(x)＝loga(bx)的图象如图，其中a，b为常数．下列结论正确的是(　　)

A．0<a<1   B．a>1

C. b>1   D. 0<b<1

答案　BC

解析　由于函数单调递增，∴a>1，

又f(1)>0，即logab>0＝loga1，∴b>1.

10．若ab>0，给出的下列四个等式，不一定成立的有(　　)

A．lg(ab)＝lg a＋lg b   B．lg ＝lg a－lg b

C.lg2＝lg    D．lg(ab)＝

答案　ABD

解析　∵ab>0，∴a>0，b>0或a<0，b<0，

∴AB中的等式不一定成立；

∵ab>0，∴>0，lg2＝×2lg ＝lg ，

∴C中等式成立；

当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，

∴D中等式不一定成立．故选ABD.

11．已知f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)，则f(x)(　　)

A．是奇函数   B．是偶函数

C．在(0,4)上单调递增   D．在(0,4)上单调递减

答案　BD

解析　由得x∈(－4,4)，

故函数f(x)的定义域为(－4,4)，关于原点对称，

又由f(－x)＝lg(4－x)＋lg(4＋x)＝f(x)，

故函数f(x)为偶函数，

而f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)＝lg(16－x2)，

y＝16－x2在(0,4)上单调递减，y＝lg x在(0,4)上单调递增，

故函数f(x)在(0,4)上单调递减，故选BD.

12．关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　)

A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增

B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4

D．函数f(x)有且仅有两个零点

答案　ABD

解析　函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示．

由图可得，函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；

函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；

若取f(x1)＝f(x2)＝1，则存在x1∈(2,3)，x2>4，所以x1＋x2≠4，C错误；

函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．不等式log2x<1的解集是________________．

答案　{x|0<x<2}

解析　不等式log2x<1，即不等式log2x<log22，

∴0<x<2.

14．若a＝log23，b＝log32，则ab＝________，lg a＋lg b＝________.

答案 　1　0

解析　∵a＝log23，b＝log32，

则ab＝·＝1，

lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.

15．已知函数f(x)＝那么f ＝________ .

答案　

 解析　f ＝log2＝log22－3＝－3，

f ＝f(－3)＝3－3＝.

16．已知f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　∵f(x)＝logax(x≥1)是减函数，

∴0<a<1，且f(1)＝0.

∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x<1)为减函数，

∴3a－1<0，∴a<.

又∵f(x)＝是R上的减函数，

∴(3a－1)×1＋4a≥0，∴a≥，

∴a∈.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)求值：(1)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57.

(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.

解　(1)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.

(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64

＝÷log622

＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62

＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.

18．(12分)解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)．

解　(1)当a>1时，原不等式等价于该不等式组无解．

(2)当0<a<1时，原不等式等价于

解得x>4.

所以当a>1时，原不等式的解集为空集；

当0<a<1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．

19．(12分)画出函数f(x)＝|log3x|的图象，并求出其值域、单调区间以及在区间上的最大值．

解　因为f(x)＝|log3x|＝

所以在[1，＋∞)上，f(x)的图象与y＝log3x的图象相同，在(0,1)上，f(x)的图象与y＝log3x的图象关于x轴对称，据此可画出其图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)的值域为[0，＋∞)，单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．

当x∈时，f(x)在区间上单调递减，在(1,6]上单调递增，又f ＝2，f(6)＝log36<2，

故f(x)在区间上的最大值为2.

20．(12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.

(1)求f(x)与g(x)的解析式；

(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．

解　(1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，

所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．

因为g(x)的图象过点，

所以loga2＝，

所以＝2，解得a＝2.

所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.

(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，

又g(1.5)＝log21.5<log22＝1，

且g(1.5)＝log21.5>log21＝0，

所以0<g(1.5)<1，

所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．

21．(12分)已知函数f(x)＝＋的定义域为A.

(1)求集合A；

(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值．

解　(1)要使f(x)有意义，需满足

所以即≤x≤4，

所以集合A＝.

(2)设t＝log2x，因为x∈，

所以t∈[－1,2]，

所以y＝t2－2t－1，t∈[－1,2]．

因为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2的对称轴为t＝1∈[－1,2]，

所以当t＝1，即x＝2时，g(x)的最小值为－2，

当t＝－1，即x＝时，g(x)的最大值为2.

22．(12分)设f(x)＝为奇函数，a为常数．

(1)求a的值；

(2)证明：f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；

(3)若在区间[3,4]上的每一个x，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

(1)解　∵f(x)是奇函数，

∴定义域关于原点对称，由>0，得(x－1)(1－ax)>0.令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝，

∴＝－1，解得a＝－1.

经验证a＝－1，满足题意．

(2)证明　由(1)可知f(x)＝

＝(x>1)，

令u(x)＝1＋(x>1)，

对任意1<x1<x2，

有u(x1)－u(x2)

＝－

＝

＝.

因为1<x1<x2，

所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，

所以>0，即u(x1)－u(x2)>0.

所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减．

又因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，

所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

(3)解　f(x)>x＋m在[3,4]上恒成立，

即m<f(x)－x在[3,4]上恒成立，

令g(x)＝f(x)－x.

由(2)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

所以g(x)在[3,4]上单调递增．

所以g(x)min＝g(3)＝f(3)－3＝－，

所以m<－，即实数m的取值范围为.