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广东省东莞市2022年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-05解答题（中档题）
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这是一份广东省东莞市2022年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-05解答题（中档题），共28页。试卷主要包含了，与y轴交于点C，且OB＝OC等内容，欢迎下载使用。
广东省东莞市2022年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-05解答题（中档题）
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2022•东莞市一模）2022年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，在某北京奥运官方特许零售店购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元．
（1）求每个冰墩墩和雪容融的售价分别是多少元？
（2）该店在开始销售这两种吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共8辆，若每辆甲种车的租金为400元，每辆乙种车的租金为280元．若乙种车不超过3辆，设租用甲种车a辆，总租金为w元，求w与a的关系式，并求总租金的最低费用．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•东莞市一模）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当时，求直线AB的解析式．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
4．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：AB平分∠CAO．
四．角平分线的性质（共1小题）
5．（2022•东莞市一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积S△ABC．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．
①请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系： （用等式表示）；
②若AB＝2，E为CD边中点，求AF．
（2）如图2，将正方形ABCD改为矩形，且AB＝2，BC＝3，其他条件不变，即：E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
③记EF＝y，CE+AF＝x，试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；
④当BF⊥EF时，求线段EF的长．
六．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2022•东莞市校级一模）如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE．若sinA＝，△OEC的面积为6，求⊙O的半径．
8．（2022•东莞市一模）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．
七．作图—基本作图（共1小题）
9．（2022•东莞市一模）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
八．旋转的性质（共1小题）
10．（2022•东莞市一模）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．
（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，时，求∠CFA的正弦值．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•东莞市校级一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．
（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．
（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2022•东莞市校级一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2022•东莞市一模）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神月十三号乘组航天员翟志别、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为此组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b
（1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ．
（2）请补全频数分布直方图并计算肩形统计图中表示“C”的形圆心角的度数为 °．
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
14．（2022•东莞市一模）新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t （单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？
（2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？
（3）每日线上学习时长恰好在“2≤t＜3”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
15．（2022•东莞市一模）学校团委组织4名学生周末到社区参加志愿者活动，2名学生为一组．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
广东省东莞市2022年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-05解答题（中档题）
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2022•东莞市一模）2022年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，在某北京奥运官方特许零售店购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元．
（1）求每个冰墩墩和雪容融的售价分别是多少元？
（2）该店在开始销售这两种吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共8辆，若每辆甲种车的租金为400元，每辆乙种车的租金为280元．若乙种车不超过3辆，设租用甲种车a辆，总租金为w元，求w与a的关系式，并求总租金的最低费用．
【解答】解：（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据题意，
得：，
解得，
答：1个冰墩墩的售价为120元，1个雪容融的售价为100元；
（2）设租用甲种车a辆，则租用乙种车（8﹣a）辆，总租金为w元，
根据题意得：w＝400a+280（8﹣a）＝120a+2240，
由题意得8﹣a≤3，
解得a≥5，
∵120＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝5时，w有最小值为2840，
此时8﹣a＝3，
即当租用甲种车3辆，租用乙种车5辆，总租金最低，最低费用为2840元．
答：w与a关系式为w＝120a+2240，最低费用为2840元．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•东莞市一模）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当时，求直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
∵点E在反比例函数的图象上，将点E代入反比例函数解析式得：
n＝；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∴∠BHE＝90°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BHE＝∠BCA，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBH，
∴，
由（1）知E（2，2），C（4，0），
∴EH＝2，BH＝1，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将B（4，3），E（2，2）代入得：
，
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
②当△CPM∽△ABC，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+，
∴P（3+，），
综上所述，点P的坐标为（3﹣，﹣）或（3+，）．
4．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：AB平分∠CAO．
【解答】（1）解：将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：，
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）证明：由抛物线解析式y＝x2﹣x﹣4可知，点C（0，﹣4），
∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），
∴AC＝＝5，
∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），
∴BC∥x轴，BC＝5，
∴∠BAD＝∠ABC，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC，
∴∠CAB＝∠BAD，
∴AB平分∠CAO．
四．角平分线的性质（共1小题）
5．（2022•东莞市一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积S△ABC．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，AB+AC＝10，DE＝3，
∴S△ABC＝＝＝＝15．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．
①请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系： EF＝EC+AF （用等式表示）；
②若AB＝2，E为CD边中点，求AF．
（2）如图2，将正方形ABCD改为矩形，且AB＝2，BC＝3，其他条件不变，即：E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
③记EF＝y，CE+AF＝x，试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；
④当BF⊥EF时，求线段EF的长．
【解答】解：（1）①由题意可知△BAF≌△BCG，
∴BF＝BG，AF＝CG，BF＝BG，
∵∠EBG＝∠EBF＝45°，BE＝BE，
∴△BFE≌△BGE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝EC+CG＝EC+AF，
∴EF＝EC+AF，
故答案为：EF＝EC+AF．
②若点E为CD的中点，
∴DE＝EC＝1，
设AF＝x，则CG＝x，DF＝2﹣x，
由①可知，EF＝1+x，
在Rt△DEF中，∠D＝90°，由勾股定理可得，（2﹣x）2+12＝（1+x）2，
解得x＝，即AF＝．
（2）③将△ABF绕点B顺时针旋转90°至△PBM，延长BM交DC的延长线于点N，过点M作MH⊥DN于点N，连接EM，
由旋转可得，∠BPM＝90°，BF＝BM，BP＝AB＝2，∠ABF＝∠PBM，
∴∠CPM＝90°，PC＝MH＝1，
∵∠BCN＝90°，
∴四边形PMNC是矩形，
∴PM＝CH＝AF，
∴CE+CH＝x，
∵∠FBE＝45°，
∴∠ABF+∠EBC＝45°，即∠PBM+∠EBC＝∠EBM＝45°，
∵BF＝BF，∠FBE+∠EBM＝45°，BE＝BE，
∴△BEF≌△BEM（SAS），
∴EM＝BF＝y，
在Rt△MHE中，由勾股定理可得，MH2+EH2＝EM2，
∴12+x2＝y2，即y＝．
④∵BF⊥EF，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴FB＝FE，∠AFB+∠DFE＝90°，
∵∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF≌△DFE（AAS），
∴DF＝2，AF＝DE＝1，
∴EF＝．
六．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2022•东莞市校级一模）如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE．若sinA＝，△OEC的面积为6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠A，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠CDE+∠ADE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∵sinA＝，
∴sin∠CDE＝sinA＝，
∵sinA＝，sin∠CDE＝，
∴，
设CE＝3x，则CD＝5x，
∴AC＝x，DE＝＝＝4x，
∵OD∥AC，△OEC的面积为6，
∴S△OEC＝S△CED＝6，
∴，即，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴AC＝x＝×1＝，
∴BC＝AC＝，
∵BC是直径，
∴⊙O的半径为．
8．（2022•东莞市一模）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．
【解答】解：（1）证明：连接OE，
∵E是的中点，
∴∠OBE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OEB＝∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC．
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为x，
∵OE⊥AC，AD＝4，，
∴由勾股定理得：x2+＝（x+4）2，
解得：x＝2．
∴AB＝AD+OD+OB＝4+2+2＝8．
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC．
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．
七．作图—基本作图（共1小题）
9．（2022•东莞市一模）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
【解答】（1）解：如图所示，AE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∴∠B＝∠DAE，
∴AE平行BC．
八．旋转的性质（共1小题）
10．（2022•东莞市一模）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．
（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，时，求∠CFA的正弦值．
【解答】解：（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由如下：
延长DB交CF于G，交AF于H，如图：
∵四边形ADEF是正方形，
∴AF＝AD，∠FAD＝90°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转α，
∴∠DBA＝α＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△FCA（SAS），
∴CF＝BD，∠AFC＝∠ADB，
∵∠ADB+∠AHD＝90°，
∴∠AFC+∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠GHF，
∴∠AFC+∠GHF＝90°，
∴∠FGH＝90°，
∴CF⊥BD；
（2）过B作BK⊥AD于K，如图：
∵∠BAK＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∴BK＝AK＝AB＝，
∵，
∴DK＝AD﹣AK＝，
在Rt△BKD中，
BD＝＝，
∴sin∠ABD＝＝＝，
由（1）知，∠CFA＝∠ABD，
∴sin∠CFA＝．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•东莞市校级一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．
（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．
（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．
【解答】解：（1）如图，FG即为所求．
设AG＝x，则BG＝5﹣x，
在Rt△AFG中，
tan∠BAE＝＝2，
∴FG＝2x，
在Rt△BFG中，
tan∠ABF＝，
解得x＝2，
∴AG＝2，FG＝4，
AF＝＝2．
（2）过点C作CM⊥AH于点M，
在Rt△ABH中，
tan∠BAE＝＝2，
∴BH＝10，
则CH＝BH﹣BC＝2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CEH＝∠BAE，
则tan∠CEH＝＝2，
∴CE＝1，
在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，
设EM＝a，则CM＝2a，
由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，
即a2+（2a）2＝12，
解得a＝，
∴CM＝，
在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，
由勾股定理可得FM＝＝，
∴EF＝FM﹣EM＝．
∴EF•CM＝．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2022•东莞市校级一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．
【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E，
由题意得：
AC＝BE，∠DCE＝30°，∠BCE＝45°，
设AC＝BE＝x米，
在Rt△BCE中，CE＝BE•tan45°＝x（米），
在Rt△DCE中，DE＝CE•tan30°＝x（米），
∵BD＝20米，
∴BE+DE＝20，
∴x+x＝20，
解得：x＝30﹣10，
∴AC＝BE＝（30﹣10）米，
∴旗杆AC的高度为（30﹣10）米．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2022•东莞市一模）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神月十三号乘组航天员翟志别、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为此组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b
（1）n的值为 60 ，a的值为 6 ，b的值为 12 ．
（2）请补全频数分布直方图并计算肩形统计图中表示“C”的形圆心角的度数为 144 °．
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【解答】解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，6，12；
（2）补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）画树状图：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
所以恰好抽到甲、乙两名同学的概率是＝．
14．（2022•东莞市一模）新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t （单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？
（2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？
（3）每日线上学习时长恰好在“2≤t＜3”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【解答】解：（1）由题意得：100÷20%＝500（名），
答：在这次调查活动中，一共抽取了500名初中生；
（2）条形统计图中，D的人数为：500﹣50﹣100﹣160﹣40＝150（名），
则估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有：2000×＝600（名），
答：估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有600名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为＝．
15．（2022•东莞市一模）学校团委组织4名学生周末到社区参加志愿者活动，2名学生为一组．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
【解答】解：把1名来自七年级的学生记为A，1名来自八年级的学生记为B，2名来自九年级的学生分别记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为＝．
广东省东莞市2022年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-05解答题（中档题）
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2022•东莞市一模）2022年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，在某北京奥运官方特许零售店购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元．
（1）求每个冰墩墩和雪容融的售价分别是多少元？
（2）该店在开始销售这两种吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共8辆，若每辆甲种车的租金为400元，每辆乙种车的租金为280元．若乙种车不超过3辆，设租用甲种车a辆，总租金为w元，求w与a的关系式，并求总租金的最低费用．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•东莞市一模）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当时，求直线AB的解析式．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
4．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：AB平分∠CAO．
四．角平分线的性质（共1小题）
5．（2022•东莞市一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积S△ABC．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．
①请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系： （用等式表示）；
②若AB＝2，E为CD边中点，求AF．
（2）如图2，将正方形ABCD改为矩形，且AB＝2，BC＝3，其他条件不变，即：E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
③记EF＝y，CE+AF＝x，试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；
④当BF⊥EF时，求线段EF的长．
六．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2022•东莞市校级一模）如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE．若sinA＝，△OEC的面积为6，求⊙O的半径．
8．（2022•东莞市一模）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．
七．作图—基本作图（共1小题）
9．（2022•东莞市一模）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
八．旋转的性质（共1小题）
10．（2022•东莞市一模）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．
（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，时，求∠CFA的正弦值．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•东莞市校级一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．
（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．
（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2022•东莞市校级一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2022•东莞市一模）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神月十三号乘组航天员翟志别、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为此组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b
（1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ．
（2）请补全频数分布直方图并计算肩形统计图中表示“C”的形圆心角的度数为 °．
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
14．（2022•东莞市一模）新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t （单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？
（2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？
（3）每日线上学习时长恰好在“2≤t＜3”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
15．（2022•东莞市一模）学校团委组织4名学生周末到社区参加志愿者活动，2名学生为一组．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
广东省东莞市2022年中考数学模拟题（一模）精选分层分类汇编-05解答题（中档题）
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2022•东莞市一模）2022年北京冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，在某北京奥运官方特许零售店购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元．
（1）求每个冰墩墩和雪容融的售价分别是多少元？
（2）该店在开始销售这两种吉祥物的第一天就很快全部售馨，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共8辆，若每辆甲种车的租金为400元，每辆乙种车的租金为280元．若乙种车不超过3辆，设租用甲种车a辆，总租金为w元，求w与a的关系式，并求总租金的最低费用．
【解答】解：（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据题意，
得：，
解得，
答：1个冰墩墩的售价为120元，1个雪容融的售价为100元；
（2）设租用甲种车a辆，则租用乙种车（8﹣a）辆，总租金为w元，
根据题意得：w＝400a+280（8﹣a）＝120a+2240，
由题意得8﹣a≤3，
解得a≥5，
∵120＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝5时，w有最小值为2840，
此时8﹣a＝3，
即当租用甲种车3辆，租用乙种车5辆，总租金最低，最低费用为2840元．
答：w与a关系式为w＝120a+2240，最低费用为2840元．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2022•东莞市一模）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，1），与AB边交于点E（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式和n值；
（2）当时，求直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵D（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
∵点E在反比例函数的图象上，将点E代入反比例函数解析式得：
n＝；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∴∠BHE＝90°，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BHE＝∠BCA，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBH，
∴，
由（1）知E（2，2），C（4，0），
∴EH＝2，BH＝1，
∴B（4，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将B（4，3），E（2，2）代入得：
，
∴，
∴直线AB的解析式为：y＝．
三．二次函数综合题（共2小题）
3．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
②当△CPM∽△ABC，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+，
∴P（3+，），
综上所述，点P的坐标为（3﹣，﹣）或（3+，）．
4．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：AB平分∠CAO．
【解答】（1）解：将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：，
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）证明：由抛物线解析式y＝x2﹣x﹣4可知，点C（0，﹣4），
∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），
∴AC＝＝5，
∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），
∴BC∥x轴，BC＝5，
∴∠BAD＝∠ABC，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC，
∴∠CAB＝∠BAD，
∴AB平分∠CAO．
四．角平分线的性质（共1小题）
5．（2022•东莞市一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积S△ABC．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，AB+AC＝10，DE＝3，
∴S△ABC＝＝＝＝15．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．
①请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系： EF＝EC+AF （用等式表示）；
②若AB＝2，E为CD边中点，求AF．
（2）如图2，将正方形ABCD改为矩形，且AB＝2，BC＝3，其他条件不变，即：E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．
③记EF＝y，CE+AF＝x，试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；
④当BF⊥EF时，求线段EF的长．
【解答】解：（1）①由题意可知△BAF≌△BCG，
∴BF＝BG，AF＝CG，BF＝BG，
∵∠EBG＝∠EBF＝45°，BE＝BE，
∴△BFE≌△BGE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝EC+CG＝EC+AF，
∴EF＝EC+AF，
故答案为：EF＝EC+AF．
②若点E为CD的中点，
∴DE＝EC＝1，
设AF＝x，则CG＝x，DF＝2﹣x，
由①可知，EF＝1+x，
在Rt△DEF中，∠D＝90°，由勾股定理可得，（2﹣x）2+12＝（1+x）2，
解得x＝，即AF＝．
（2）③将△ABF绕点B顺时针旋转90°至△PBM，延长BM交DC的延长线于点N，过点M作MH⊥DN于点N，连接EM，
由旋转可得，∠BPM＝90°，BF＝BM，BP＝AB＝2，∠ABF＝∠PBM，
∴∠CPM＝90°，PC＝MH＝1，
∵∠BCN＝90°，
∴四边形PMNC是矩形，
∴PM＝CH＝AF，
∴CE+CH＝x，
∵∠FBE＝45°，
∴∠ABF+∠EBC＝45°，即∠PBM+∠EBC＝∠EBM＝45°，
∵BF＝BF，∠FBE+∠EBM＝45°，BE＝BE，
∴△BEF≌△BEM（SAS），
∴EM＝BF＝y，
在Rt△MHE中，由勾股定理可得，MH2+EH2＝EM2，
∴12+x2＝y2，即y＝．
④∵BF⊥EF，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴FB＝FE，∠AFB+∠DFE＝90°，
∵∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DFE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF≌△DFE（AAS），
∴DF＝2，AF＝DE＝1，
∴EF＝．
六．切线的判定与性质（共2小题）
7．（2022•东莞市校级一模）如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE．若sinA＝，△OEC的面积为6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠A，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，DC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠CDE+∠ADE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∵sinA＝，
∴sin∠CDE＝sinA＝，
∵sinA＝，sin∠CDE＝，
∴，
设CE＝3x，则CD＝5x，
∴AC＝x，DE＝＝＝4x，
∵OD∥AC，△OEC的面积为6，
∴S△OEC＝S△CED＝6，
∴，即，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴AC＝x＝×1＝，
∴BC＝AC＝，
∵BC是直径，
∴⊙O的半径为．
8．（2022•东莞市一模）如图，BD是⊙O的直径，A是BD延长线上的一点，点E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，BC交⊙O于点F，且E是的中点．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求BC的长．
【解答】解：（1）证明：连接OE，
∵E是的中点，
∴∠OBE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∴∠OEB＝∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴DE⊥AC．
又∵OE为半圆O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为x，
∵OE⊥AC，AD＝4，，
∴由勾股定理得：x2+＝（x+4）2，
解得：x＝2．
∴AB＝AD+OD+OB＝4+2+2＝8．
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC．
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．
七．作图—基本作图（共1小题）
9．（2022•东莞市一模）如图，在△ABC中，∠CAD为△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（保留作图痕迹可加黑，不写作法）；
（2）若AB＝AC，在（1）的条件下，求证：AE∥BC．
【解答】（1）解：如图所示，AE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠B，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∴∠B＝∠DAE，
∴AE平行BC．
八．旋转的性质（共1小题）
10．（2022•东莞市一模）如图1，正方形ADEF中，∠DAF＝90°，点B、C分别在边AD、AF上，且AB＝AC．
（1）如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，请判断线段BD与线段CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，当AB＝2，时，求∠CFA的正弦值．
【解答】解：（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由如下：
延长DB交CF于G，交AF于H，如图：
∵四边形ADEF是正方形，
∴AF＝AD，∠FAD＝90°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转α，
∴∠DBA＝α＝∠FAC，
∵AB＝AC，
∴△DBA≌△FCA（SAS），
∴CF＝BD，∠AFC＝∠ADB，
∵∠ADB+∠AHD＝90°，
∴∠AFC+∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠GHF，
∴∠AFC+∠GHF＝90°，
∴∠FGH＝90°，
∴CF⊥BD；
（2）过B作BK⊥AD于K，如图：
∵∠BAK＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∴BK＝AK＝AB＝，
∵，
∴DK＝AD﹣AK＝，
在Rt△BKD中，
BD＝＝，
∴sin∠ABD＝＝＝，
由（1）知，∠CFA＝∠ABD，
∴sin∠CFA＝．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•东莞市校级一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．
（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．
（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．
【解答】解：（1）如图，FG即为所求．
设AG＝x，则BG＝5﹣x，
在Rt△AFG中，
tan∠BAE＝＝2，
∴FG＝2x，
在Rt△BFG中，
tan∠ABF＝，
解得x＝2，
∴AG＝2，FG＝4，
AF＝＝2．
（2）过点C作CM⊥AH于点M，
在Rt△ABH中，
tan∠BAE＝＝2，
∴BH＝10，
则CH＝BH﹣BC＝2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CEH＝∠BAE，
则tan∠CEH＝＝2，
∴CE＝1，
在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，
设EM＝a，则CM＝2a，
由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，
即a2+（2a）2＝12，
解得a＝，
∴CM＝，
在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，
由勾股定理可得FM＝＝，
∴EF＝FM﹣EM＝．
∴EF•CM＝．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2022•东莞市校级一模）如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．求旗杆AC的高度．
【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E，
由题意得：
AC＝BE，∠DCE＝30°，∠BCE＝45°，
设AC＝BE＝x米，
在Rt△BCE中，CE＝BE•tan45°＝x（米），
在Rt△DCE中，DE＝CE•tan30°＝x（米），
∵BD＝20米，
∴BE+DE＝20，
∴x+x＝20，
解得：x＝30﹣10，
∴AC＝BE＝（30﹣10）米，
∴旗杆AC的高度为（30﹣10）米．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2022•东莞市一模）2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神月十三号乘组航天员翟志别、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩!某校为此组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x≤100
b
（1）n的值为 60 ，a的值为 6 ，b的值为 12 ．
（2）请补全频数分布直方图并计算肩形统计图中表示“C”的形圆心角的度数为 144 °．
（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【解答】解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，6，12；
（2）补全频数分布直方图如下：
扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）画树状图：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
所以恰好抽到甲、乙两名同学的概率是＝．
14．（2022•东莞市一模）新冠疫情防控期间，银川市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动．为了了解初中生每日线上学习时长t （单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？
（2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？
（3）每日线上学习时长恰好在“2≤t＜3”范围的初中生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【解答】解：（1）由题意得：100÷20%＝500（名），
答：在这次调查活动中，一共抽取了500名初中生；
（2）条形统计图中，D的人数为：500﹣50﹣100﹣160﹣40＝150（名），
则估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有：2000×＝600（名），
答：估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有600名；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为＝．
15．（2022•东莞市一模）学校团委组织4名学生周末到社区参加志愿者活动，2名学生为一组．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
【解答】解：把1名来自七年级的学生记为A，1名来自八年级的学生记为B，2名来自九年级的学生分别记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为＝．
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