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江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-08解答题（中档题）
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这是一份江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-08解答题（中档题），共100页。试卷主要包含了解不等式组，的函数，它们的图象如图①，之间的函数关系如图所示，两点等内容，欢迎下载使用。
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-08解答题（中档题）
一．解一元二次方程-公式法（共1小题）
1．（2022•武进区一模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．
二．一次函数的应用（共5小题）
2．（2022•崇川区一模）为丰富学生的业余生活，学校准备购进甲、乙两种畅销图书．经调查，甲种图书的总费用y（元）与购进本数x之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元．
（1）直接写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式；
（2）现学校准备购买300本图书，且两种图书均不少于80本，该如何购买，才能使总费用最少？最少的总费用为多少元？
3．（2022•宜兴市一模）某个体服装店从批发商处了解到甲、乙、丙三种运动套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元/套）
170
零售价（元/套）
250
245
290
（1）已知服装店第一次批发只购进乙20套，丙30套，共花费9000元，且乙每套的批发价比丙低50元，求乙、丙每套的批发价．
（2）由于销量好，第一次购进的运动套装以零售价的价格全部售完，服装店用第一次的全部销售收入再批发购进甲、乙，丙三种运动套装，且购进乙，丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高α%，丙的批发价每套比原来下降α%．
①若服装店第二次批发购进乙，丙两种套装分别花费3600元、3200元，求a的值．
②在a的值不变的前提下，服装店把第一次的销售收入全用于第二次批发，若第二次以零售价的价格销售完这三种运动套装所得利润为w元，当甲的数量不少于23套时，求w的最大值．
4．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝ ，a＝ ；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．
5．（2022•兴化市一模）某游泳馆推出了A、B两种季度套餐，选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱；
（3）小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长．
6．（2022•盐城一模）2022年3月以来，我国新冠疫情发生频次明显增加，感染人数快速增长，波及范围不断扩大．疫情防控形势变得严峻复杂，全社会要有长期抗疫准备，坚信经过全人类共同努力，一定能够战胜疫情．为此某市应急管理主管部门积极储备防疫物资，在一次采购方案中，准备租用A、B两种型号货车共20辆，把医用物资380吨，生活物资324吨全部运到应急物资储备中心．已知一辆A型货车可同时装医用物资20吨，生活物资15吨；一辆B型货车可同时装医用物资18吨，生活物资18吨，设租用A型货车x辆．
（1）若将这次采购物资一次性运到应急物资储备中心，有哪几种租车方案；
（2）若A型货车每辆需付燃油费2000元，B型货车每辆需付燃油费1800元，设所付燃油总费用为y元，求y与x的函数关系式，并求出哪种租车方案燃油总费用最少，最少为多少元？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2022•盐城一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（，4）、B（n，2）两点．
（1）求m、n的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
四．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2022•武进区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
9．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
六．二次函数的应用（共2小题）
10．（2022•江都区一模）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆，某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价x元/个（x＞60）满足一次函数关系：
售价x（元/个）
…
80
90
100
…
销量y（个）
…
400
300
200
…
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其它成本）
11．（2022•海陵区一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋）
…
14
16
18
20
…
销售量y（万袋）
…
5
4
3
2
…
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
（1）根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
（2）设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
七．二次函数综合题（共3小题）
12．（2022•秦淮区一模）阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数y＝2x﹣3的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
结合阅读内容，完成下面的问题．
（1）填写下面的空格．
问题：将函数y＝的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
（2）将函数y＝﹣2x2+3x+1的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 ．
（3）将函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图象对应的函数表达式．
13．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 ；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
14．（2022•盐城一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）①点B的坐标为 ；直线AC的解析式为 ；
②如图1，若点D是直线AC下方抛物线上的一个动点（点D不与点A、C重合），求△DAC面积的最大值；
（2）如图2，若点M是线段AC上一动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一点，设AN＝t，当t在何范围取值时，点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAM；
（3）如图3，点G是x轴上方的抛物线上一点，若∠AGB+2∠BAG＝90°，请直接写出点G的横坐标为 ．
八．三角形综合题（共1小题）
15．（2022•盐城一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
（2）如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．
求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
（3）在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF＝α，则∠AOB的度数为 ．（用含α的式子表示）
九．平行四边形的判定（共1小题）
16．（2022•宜兴市一模）已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：四边形AEDF是平行四边形．
一十．平行四边形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 ．
一十一．菱形的性质（共1小题）
18．（2022•江都区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周长．
一十二．菱形的判定（共1小题）
19．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 （填写满足要求的所有条件的序号）．
一十三．矩形的判定（共1小题）
20．（2022•锡山区一模）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求证：
（1）△ABF≌△DEC；
（2）四边形BCEF是矩形．
一十四．四边形综合题（共1小题）
21．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．
（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是 ．
A．
B．
C．3
D．2
（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．
（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
一十五．圆内接四边形的性质（共1小题）
22．（2022•锡山区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ °；∠DAC＝ °
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
一十六．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
一十七．直线与圆的位置关系（共2小题）
24．（2022•宜兴市一模）如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是上一点，且DE＝DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD＝∠EAD．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半径长．
25．（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
一十八．切线的判定与性质（共5小题）
26．（2022•江都区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的长．
27．（2022•武进区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．
28．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 cm．
29．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
30．（2022•无锡一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
一十九．圆的综合题（共1小题）
31．（2022•滨湖区一模）如图，以AB为直径的半圆中，点O是圆心，点C是半圆上一动点（不与点A，B重合），点E是OC的中点，连接AE并延长到点D，满足ED＝AE，连接CD、BD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）连接BC，交AD于点F．
①当∠ABC＝ 度时，CD是⊙O的切线；
②若DF＝2，求EF的长．
二十．作图—复杂作图（共3小题）
32．（2022•滨湖区一模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．
二十一．作图—应用与设计作图（共3小题）
35．（2022•宜兴市一模）（1）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出D到AB的距离为 ．
（2）如图，已知入是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
（要求：用直尺和圆规作图且保留作图的痕迹）
36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
37．（2022•兴化市一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都等于1，点A、B在格点上，点C在网格线l上，先完成下面计算，再仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹）
（1）AB＝ ；
（2）若AC+BC最小，请在图中作出点C；
（3）在（2）中，连接AC、BC，请借助已有网格图，作出△ABC的中线AM．
二十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
38．（2022•鼓楼区一模）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．
（1）求证∠CAB＝∠DAB；
（2）若将△ADB沿AB的垂直平分线翻折，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 （写出图形的形状）；
（3）若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程．
二十三．作图-旋转变换（共1小题）
39．（2022•锡山区一模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画个中心对称四边形ABEF，使其面积为9；
（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称三角形CDG，使其面积为7.5．
二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2022•滨湖区一模）矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
（1）若m＝6，n＝6，
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB＝EP时，求线段BP的长；
（2）若m＝6，n＝8，△PEC面积的最大值为 （直接写出答案）．
二十五．相似形综合题（共1小题）
41．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 ；
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），▱A1B1C1D1的面积为（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．
二十六．解直角三角形的应用（共5小题）
42．（2022•建邺区一模）图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求点A到CD的距离．（精确到三位小数，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）
43．（2022•海陵区一模）如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．现量得CD＝10cm，AC＝12cm．
（1）当支撑板CD与底座DE的夹角（∠CDE）为60°时，求点C到底座DE的距离； （结果保留根号）
（2）小强在使用过程中发现，当∠CDE为60°且∠ACD为105°时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座DE的距离． （结果精确到0.1，≈1.41，≈1.73）
44．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
45．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）
46．（2022•盐城一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．
（1）如图1，入射光线AB经过平面镜OM与ON反射后的反射光线是CD，若CD∥AB，则∠MON的度数为 ．
（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄BP上的点C处安装一平面镜，BP与屏幕MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜C反射后，在MN上形成一个光点E．已知当AB⊥BP，MN⊥BP时，AB＝25，BC＝16，DE＝50．
①求BD的长．
②将手柄BP在原有位置绕点B按逆时针方向旋转一定角度α得到BP′（如图3），点C的对应点为C′，BP′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜C′反射后，在MN上的光点为E′．若，则D′E′的长为多少？
二十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
47．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表．
x
0
1
2
3
4
…
y
0
4.5
14
28.5
48
…
（1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；
（2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．
（参考数据：tan53°≈，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）
二十八．频数（率）分布直方图（共2小题）
48．（2022•宜兴市一模）某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．
并绘制成两个统计图．
（1）求频数分布直方图中的a，b的值；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？
（4）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
49．（2022•邳州市一模）某学校九年级共有320名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
I．A课程成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
II．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 71 71 73 73.5 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5
Ⅲ．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.3
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ ；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为75分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ．
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数．
二十九．条形统计图（共2小题）
50．（2022•武进区一模）某地区对学生业余爱好进行抽样调查，被抽取的同学每人在下面五项：“游戏”，“动漫”，“篮球”，“舞蹈”“其它”中选一项最喜欢的活动，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了 名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，估计该地区5000名学生中有多少人最喜欢“舞蹈”．
51．（2022•常州一模）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 本；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
三十．列表法与树状图法（共8小题）
52．（2022•宜兴市一模）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）
（2）若甲队在第一局比赛中已取得1：0的领先，那么甲队最终获胜的概率为 ．（请值接写出答案）
53．（2022•滨湖区一模）进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温
（1）甲同学通过A通道进入校园的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．
54．（2022•建邺区一模）如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的．
（1）甲的座位靠窗的概率是 ；
（2）求甲、乙两人座位相邻（座位C、D不算相邻）的概率．
55．（2022•秦淮区一模）农历正月十五是我国的传统节日—元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅不同以外，其他都一样．
（1）圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；
（2）圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ．
56．（2022•海陵区一模）小明在学习完电学知识后，用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个如图所示的电路图．
（1）在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．
57．（2022•玄武区一模）一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是 ．
58．（2022•无锡一模）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．
（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．
59．（2022•锡山区一模）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率．
三十一．游戏公平性（共1小题）
60．（2022•常州一模）如图，有四张正面标有数字﹣2，﹣1，0，1，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，小明再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．设小红抽到的数字为x，小明抽到的数字为y，点A的坐标为（x，y）．
（1）请用列表法或画树状图的方法列出点A所有结果；
（2）若点A在坐标轴上，则小红胜；反之，则小明胜．请你用概率的相关知识解释这个游戏是否公平？
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-08解答题（中档题）
参考答案与试题解析
一．解一元二次方程-公式法（共1小题）
1．（2022•武进区一模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．
【解答】解：（1）解不等式4（x﹣1）＞x+2，得：x＞2，
解不等式＞x，得：x＜3.5，
∴不等式组的解集为2＜x＜3.5；
（2）将方程整理为一般式为x2﹣2x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
则x＝＝＝1，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
二．一次函数的应用（共5小题）
2．（2022•崇川区一模）为丰富学生的业余生活，学校准备购进甲、乙两种畅销图书．经调查，甲种图书的总费用y（元）与购进本数x之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元．
（1）直接写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式；
（2）现学校准备购买300本图书，且两种图书均不少于80本，该如何购买，才能使总费用最少？最少的总费用为多少元？
【解答】解：（1）当0≤x≤100时，设y＝kx，
把（100，2500）代入得，k＝25，
当x＞100时，设y＝kx+b，
把（100，2500）和（150，3450）代入得，
，
解得，
所以y与x的关系式为y＝；
（2）设总费用为w元，
由题意得，80≤x≤220，
当80≤x≤100时，w＝25x+20（300﹣x）＝5x+6000，
∵k＞5，w随x的增大而增大，
∴当x＝80时，w最少＝5×80+6000＝6400；
当100＜x≤220时，w＝19x+600+20（300﹣x）＝﹣x+6600，
∵k＜0，w随x的增大而减小，
∴当x＝220时，w最少＝﹣220+6600＝6380，
∵6380＜6400，
∴当x＝220时，总费用最少是6380元．此时乙种图书是80本，
答：应购买甲种图书220本，乙种图书80本，才能使总费用最少，最少是6380元．
3．（2022•宜兴市一模）某个体服装店从批发商处了解到甲、乙、丙三种运动套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元/套）
170
150
200
零售价（元/套）
250
245
290
（1）已知服装店第一次批发只购进乙20套，丙30套，共花费9000元，且乙每套的批发价比丙低50元，求乙、丙每套的批发价．
（2）由于销量好，第一次购进的运动套装以零售价的价格全部售完，服装店用第一次的全部销售收入再批发购进甲、乙，丙三种运动套装，且购进乙，丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高α%，丙的批发价每套比原来下降α%．
①若服装店第二次批发购进乙，丙两种套装分别花费3600元、3200元，求a的值．
②在a的值不变的前提下，服装店把第一次的销售收入全用于第二次批发，若第二次以零售价的价格销售完这三种运动套装所得利润为w元，当甲的数量不少于23套时，求w的最大值．
【解答】解：（1）设乙每套的批发价为x元，则丙每套的批发价为（x+50）元，
根据题意得：20x+30（x+50）＝9000，
解得x＝150，
∴x+50＝150+50＝200（元），
答：乙每套的批发价为150元，则丙每套的批发价为200元；
故答案为：150，200；
（2）①由题意得：＝，
解得a＝20，
答：a的值为20；
②第一次的销售收入为20×245+30×290＝13600（元），
设第二次购进甲种套装m套，则购进乙、丙两种套装各＝（40﹣m）套，
依题意得：w＝（250﹣170）m+[245﹣150×（1+20%）]（40﹣m）+[290﹣200×（1﹣20%）]（40﹣m）＝﹣m+7800，
∵﹣＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥23，且（40﹣m）为正整数，
∴m的最小值为24，
∴当m＝24时，w取得最大值，最大值＝﹣×24+7800＝7380（元）．
答：w的最大值为7380元．
4．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝ 5：6 ，a＝ 75 ；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．
【解答】解：（1）由图可得，
180v1＝（180﹣30）v2，
解得v1：v2＝5：6，
乙的速度为：1200÷（430﹣30）＝3（m/s），
∴甲的速度为：3×＝2.5（m/s），
∴a＝30×2.5＝75，
故答案为：5：6，75；
（2）设y2与x之间的函数表达式是y2＝kx+b，
∵点（30，0）和点（430，1200）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y2与x之间的函数表达式是y2＝3x﹣90；
（3）由题意可得，
当x＝30时，此时s＝75；
当x＝180时，s＝0，
当x＝430时，s＝（430﹣180）×（3﹣2.5）＝125，
当x＝1200÷2.5＝480时，s＝0，
由图①和题意可知：当0≤x≤30时，s随x的增大而增大，符合正比例函数；
当30＜x≤180时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
当180＜x≤430时，s随x的增大而增大，符合一次函数；
当430＜x≤480时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
图象如右图所示．
5．（2022•兴化市一模）某游泳馆推出了A、B两种季度套餐，选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱；
（3）小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长．
【解答】解：（1）设yA＝k1x，
根据题意得6k1＝180，解得k1＝30，
∴yA＝30x；
设yB＝k2x+b，
根据题意得：，
解得，
∴yB＝20x+100；
（2）由题意，得30x＜20x+100，
解得x＜10，
答：当时长小于10时，选择A套餐更省钱；
（3）由题意，得30x﹣（20x+100）＝5x，
解得x＝20，
答：小明估计自己本季度的游泳时长为20小时．
6．（2022•盐城一模）2022年3月以来，我国新冠疫情发生频次明显增加，感染人数快速增长，波及范围不断扩大．疫情防控形势变得严峻复杂，全社会要有长期抗疫准备，坚信经过全人类共同努力，一定能够战胜疫情．为此某市应急管理主管部门积极储备防疫物资，在一次采购方案中，准备租用A、B两种型号货车共20辆，把医用物资380吨，生活物资324吨全部运到应急物资储备中心．已知一辆A型货车可同时装医用物资20吨，生活物资15吨；一辆B型货车可同时装医用物资18吨，生活物资18吨，设租用A型货车x辆．
（1）若将这次采购物资一次性运到应急物资储备中心，有哪几种租车方案；
（2）若A型货车每辆需付燃油费2000元，B型货车每辆需付燃油费1800元，设所付燃油总费用为y元，求y与x的函数关系式，并求出哪种租车方案燃油总费用最少，最少为多少元？
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：10≤x≤12，
∵x为正整数，
∴x可以取10、11、12，共三种方案，
方案一：租用A型货车10辆，B型货车10辆，
方案二：租用A型货车11辆，B型货车9辆，
方案三：租用A型货车12辆，B型货车8辆．
（2）所付燃油总费用为y＝2000x+1800（20﹣x）＝200x+36000，
∵200＞0，
∴y随x增大而增大，
∴当x＝10时，y最小，最小值为200×10+36000＝38000元，
答：租用A型货车10辆，B型货车10辆，费用最少，最少费用为38000元．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2022•盐城一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（，4）、B（n，2）两点．
（1）求m、n的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）将A点代入y＝得，m＝6．
∴反比例函数解析式为：y＝，
将B（n，2）代入y＝得，n＝3．
（2）∵一次函数y＝kx+b经过A、B两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（3）设直线与x轴的交点为C，
把y＝0代入，则﹣x+6＝0，解得x＝，
∴C（，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×﹣×2×＝．
四．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2022•武进区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8），
∴2×m+6＝8，
解得m＝1，
∴A（1，8），
∴m＝2×1+6＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）不等式2x+6﹣＞0的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴﹣＞0
∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
9．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
【解答】解：（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，
解得．
（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，
∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，
∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，
∵点A，B是图象上两点，
∴x1≠x2≠1，
∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
六．二次函数的应用（共2小题）
10．（2022•江都区一模）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆，某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价x元/个（x＞60）满足一次函数关系：
售价x（元/个）
…
80
90
100
…
销量y（个）
…
400
300
200
…
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其它成本）
【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣10x+1200；
（2）当线下销量为（﹣10x+1200）个时，线上销量为1000﹣（﹣10x+1200）＝（10x﹣200）个，
设全部售完后获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣60）（﹣10x+1200）+（100﹣60）（10x﹣200）＝﹣10x2+2200x﹣80000＝﹣10（x﹣110）2+41000，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%，
∴x﹣60≤60×80%，
解得：x≤108，
∵﹣10＜0，对称轴为x＝110，
∴当x＝108时，w有最大值，最大值为40960，
此时线下销售量为﹣10x+1200＝120（个），线上销售量为1000﹣120＝880（个）．
答：线下销售120个，线上销售880个时可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是40960元．
11．（2022•海陵区一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋）
…
14
16
18
20
…
销售量y（万袋）
…
5
4
3
2
…
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
（1）根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
（2）设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：a＝﹣，b＝12，
故函数解析式为：y＝﹣x+12．
（2）根据题意得出：
w＝（x﹣12）y﹣6，
＝（x﹣12）（﹣x+12）﹣6
＝﹣x2+18x﹣150
＝﹣（x2﹣36x）﹣150
＝﹣（x﹣18）2﹣150+162
＝﹣（x﹣18）2+12，
故销售价格定为18元/袋时净得利润最大，最大值是12万元．
七．二次函数综合题（共3小题）
12．（2022•秦淮区一模）阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数y＝2x﹣3的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
结合阅读内容，完成下面的问题．
（1）填写下面的空格．
问题：将函数y＝的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
（2）将函数y＝﹣2x2+3x+1的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 y＝﹣2x2﹣3x+1 ．
（3）将函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图象对应的函数表达式．
【解答】解：（1）将P（x，y）向右平移1个单位后，P′坐标为（x+1，y），
平移后的图象对应的函数表达式为y＝，
故答案为：x+1，y；．
（2）设函数y＝﹣2x2+3x+1的图象的任意点P坐标为（x，y），将P关于y轴翻折后得到P′（﹣x，y），
∴平移后的图象对应的函数表达式为y＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．
故答案为：y＝﹣2x2﹣3x+1．
（3）方法一
设变换后新的函数图像上任意点P的坐标为（x，y）．
将点P（x，y）绕原点旋转180°，得点P'（﹣x，﹣y）．
将点P'（﹣x，﹣y）沿y轴翻折，得点P''（x，﹣y）．
将点P''（x，﹣y）向右平移1个单位长度，得点P'''（x+1，﹣y）．
因为点P''' 在函数y＝ax2+bx+c的图像上，
所以﹣y＝a（x+1）2+b（x+1）+c．
即所得到的图像对应的函数表达式是y＝﹣ax2﹣（2a+b）x﹣a﹣b﹣c．
方法二
原函数可化为y＝a（x+）2+．
将函数y＝a（x+）2+的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝a（x++1）2+的图像．
将函数y＝a（x++1）2+的图像沿y轴翻折，得函数y＝a（x﹣﹣1）2+的图像．
将函数y＝a（x﹣﹣1）2+的图像绕原点旋转180°，得函数y＝﹣a（x++1）2﹣的图像．
∴所得到的图像对应的函数表达式是y＝﹣a（x++1）2﹣．
13．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 ﹣1 ；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【解答】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）（ x﹣m﹣2）＝0．
∴x1＝m，x2＝m+2．
∵m≠m+2，
∴该方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．
（2）由（1）知M（m+2，0），N（m+2，0），
令x＝0，得y＝m2+2m，
∴P（0，m2+2m）．
由题意得，△MNP是等腰直角三角形，
∴m2+2m＝﹣1，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（3）法一：根据题意可知，需要分三种情况：
①当有1个点在x轴下方时，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+3，
解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；
②当有3个点在x轴下方时，
∵m+2﹣m＝2＜3，
∴此种情况不存在；
综上可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．
法二：由题意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），
y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），
y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），
∵y1•y2•y3＜0，
∴（m﹣1）（m+1）•m•（m﹣2）•（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的负数有奇数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，
当负数有1个时，m﹣3＜0且m﹣2＞0，
∴2＜m＜3；
当负数有3个时，m+1＞0且m＜0，
∴﹣1＜m＜0，
∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．
14．（2022•盐城一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）①点B的坐标为 （3，0） ；直线AC的解析式为 y＝﹣3x﹣6 ；
②如图1，若点D是直线AC下方抛物线上的一个动点（点D不与点A、C重合），求△DAC面积的最大值；
（2）如图2，若点M是线段AC上一动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一点，设AN＝t，当t在何范围取值时，点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAM；
（3）如图3，点G是x轴上方的抛物线上一点，若∠AGB+2∠BAG＝90°，请直接写出点G的横坐标为 ．
【解答】解：（1）①点B的坐标为（3，0），
直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6；
②当x＝﹣1时，△DAC面积的最大值＝1．
（2）如图2，过点M作MT⊥x轴于T，
∵直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6，点M是线段AC上一个动点，
∴设M（m，﹣3m﹣6），且﹣2＜m＜0，则T（m，0），
∴OT＝﹣m，MT＝3m+6，BT＝3﹣m，
∵∠BMN＝∠BAM，∠MBN＝∠ABM，
∴△BMN∽△BAM，
∴，
∴BM2＝BA•BN，Rt△BMT中，
BM2＝MT2+BT2＝（3m+6）2+（3﹣m）2＝10m2+30m+45，
∵AN＝t，AB＝5，
∴10m2+30m+45＝5（5﹣t），
∴10m2+30m+20+5t＝0，
∵点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAM，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝302﹣4×10•（20+5t）＞0，
解得：t＜，
∴t满足的条件为：0＜t＜．
（3）点E横坐标为．
如图3，设G（n，n2﹣n﹣6），
过点G作GH⊥x轴于H，连接GB，作∠AGB的平分线交x轴于E，过点E作EF⊥x轴交AG于F，
则∠AGE＝∠BGE＝∠AGB，
∵∠AGB+2∠BAG＝90°，
∴∠AGB+∠BAG＝45°，
∴∠AGE+∠BAG＝45°，
∴∠GEH＝45°，
∵∠EHG＝90°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴∠EGH＝45°，GH＝EH＝n2﹣n﹣6，
∵BH＝n﹣3，
∴BE＝EH﹣BH＝n2﹣n﹣6﹣（n﹣3）＝n2﹣2n﹣3，
∵EF⊥x轴，HG⊥x轴，
∴EF∥HG，
∴∠FEG＝∠EGH＝45°，
∴∠FEG＝∠BEG，
∴△GFE≌△GBE（ASA），
∴EF＝EB＝n2﹣2n﹣3，AH＝n+2，
∴AE＝AB﹣EB＝5﹣（ n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+2n+8，
∵EF∥GH，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴EF•AH＝AE•HG，
∴（n2﹣2n﹣3）（n+2）＝（﹣n2+2n+8）（n2﹣n﹣6），
∵G是x轴上方的抛物线上一点，∠BAG为锐角，
∴点G在第一象限的抛物线上，
∴n＞3，
∴n2﹣n﹣7＝0，解得：，
∵n＝3，不符合题意，舍去，
∴点E横坐标为．
八．三角形综合题（共1小题）
15．（2022•盐城一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
（2）如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．
求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
（3）在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF＝α，则∠AOB的度数为 90°+ ．（用含α的式子表示）
【解答】解：（1）选择教材原题，
点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上．
如图，连接ME、MD，
∵BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，
∴ME＝MB＝MC＝MD，
∴点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上．
（2）如图，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE＝∠ECB，
由点A、D、O、E四点共圆得∠BDE＝∠BAF，
∴∠ECB＝∠BAF，
∵∠BEC＝90°，
∴∠ECB+∠ABF＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠BFA＝90°，
∴AF为△ABC的边BC上的高．
（3）如图，∵∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴点B、F、O、E在以点N为圆心的同一个圆上，
∴∠FBO＝∠FEO，
∵由（1）证得点B、C、D、E在同一个圆上，
∴∠FBO＝∠CED，
∴∠FEO＝∠CED，
同理可证：∠EFO＝∠AFD，∠EDO＝∠FDO，
∴点O是△DEF的内心．
∴∠AOB＝90°+．
九．平行四边形的判定（共1小题）
16．（2022•宜兴市一模）已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：四边形AEDF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
即BE＝CF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形．
一十．平行四边形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 96 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝DC，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：连接EF，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵M，N分别是BF，DE的中点，
∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，
∵EM＝EN＝5，
∴EM＝BF，
∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，
∵AB＝12，
∴BE＝6，
∴EF＝＝8，
∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，
故答案为：96．
一十一．菱形的性质（共1小题）
18．（2022•江都区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝9，
∴AO＝AC＝6，DO＝BD＝，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴CD＝AD＝＝＝，
由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝，DE＝AC＝12，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝++12＝27．
一十二．菱形的判定（共1小题）
19．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 ①② （填写满足要求的所有条件的序号）．
【解答】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°．
∴∠C+∠B＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵①∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
连接BD，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
又∵②AB＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：①②．
一十三．矩形的判定（共1小题）
20．（2022•锡山区一模）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求证：
（1）△ABF≌△DEC；
（2）四边形BCEF是矩形．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DEC，
∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，
∴∠ECF＝∠BFC，
∴EC∥BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠CEF＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
一十四．四边形综合题（共1小题）
21．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．
（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是 C ．
A．
B．
C．3
D．2
（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．
（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点M作MF⊥BC于点F，连接AC，
∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B＝90°，
∵AD＝5，DC＝5，
∴AC＝＝＝10，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠QAM＝60°，∠DCA＝∠BCA＝∠QMA＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴QA＝1，QM＝，
∵MQ⊥AB，OE⊥BC，∠B＝90°，
∴四边形MQBF是矩形，
∴MF＝QB＝AB+QA＝5+1＝6，
∵MF⊥CB，OE⊥BC，
∴OE∥MF，
∴，
∵OM＝ON，
∴NE＝EF，
∴OE＝MF＝3，
故选：C；
（2）过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，
∵点P是线段MN的“勾股点”，
∴∠MPN＝90°，
∴∠QPM＝∠BNP，
又∵∠Q＝∠B＝90°，
∴△QPM∽△BNP，
∴，
∴，
∴BN＝3；
（3）①如图，以MN为直径的圆经过点A时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∵∠NAM＝∠D＝90°，
∴AN∥CD，
∴∠C＝∠BNM＝60°，
∴BN＝＝＝，
如图，当BN＝时，线段MN有一个“勾股点”，
∴当0＜BN＜且BN≠时，线段MN恰好有两个“勾股点”；
②如图，当以MN为直径的圆经过点C和D时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∴BN＝BC＝5．
综上所述，当0＜BN＜且BN≠或BN＝5时，线段MN恰好有两个“勾股点”．
一十五．圆内接四边形的性质（共1小题）
22．（2022•锡山区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ 110 °；∠DAC＝ 20 °
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°；
∵AC⊥BD，
∴∠CBD＝90°﹣∠ACB＝20°，
∴∠DAC＝∠DBC＝20°；
故答案为：110，20；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴＝＝，
∴，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
一十六．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵BE∥CD，
∴∠ADC＝∠E，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠E，
∴ED∥FC，
∴四边形DEFC是平行四边形；
（2）解：如图②，连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AB＝7，BF＝1，
∴AF＝＝＝4，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
∵DE∥CF，
∴∠E＝∠BFC＝45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝4，
∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD＝EF＝4．
一十七．直线与圆的位置关系（共2小题）
24．（2022•宜兴市一模）如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是上一点，且DE＝DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD＝∠EAD．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半径长．
【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，
理由：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠EAD，
∵∠E＝∠B，∠CAD＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠B+∠C＝90°
∴∠BAC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
（2）过D作DH⊥AE于H，
∵DE＝DA，
∴AH＝EH＝AE＝12，
∵tanE＝tan∠EAD＝＝，
∴DH＝9
∴AD＝＝＝15，
∵∠B＝∠E，
∴tanB＝＝，
∴BD＝20，
∴AB＝＝25，
∴⊙O的半径长为．
25．（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝AB＝10，
∵BC＝16，BD＝CD，
∴CD＝8，
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，
∴DE＝＝＝．
一十八．切线的判定与性质（共5小题）
26．（2022•江都区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠B，
∴AB∥OD，
∴∠BED＝∠EDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，sin∠CFD＝，
∴设OD＝3a，OF＝5a，
∴AF＝OA+OF＝8a，
在Rt△AEF中，sin∠CFD＝，
∴AE＝AF＝a，
∵AB＝AC＝2OD＝6a，
∴AB﹣AE＝BE，
∴，
∴a＝，
∴AE＝4，AF＝，OD＝，
∴EF＝，
∵AB∥OD，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
即
解得DF＝．
27．（2022•武进区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAO＝30°，BC＝2，
∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴OB＝AB＝2，
∴的长＝＝π．
28．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 cm．
【解答】（1）证明：
连接OC．BF，
∵＝，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，
∵AD⊥l，
∴BF∥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，
即直线l是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴OC∥AD∥BE，
∵OA＝OB，
∴DC＝EC，
∴OC是梯形ABED的中位线，
∴OC＝（AD+BE）
＝（4+1.5）
＝，
故答案为：．
29．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
【解答】解：（1）选择的条件是①②，结论是③，
理由：连接OC，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵CD是⊙O的切线；
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∵OB＝OC＝OD，
∴OB＝BD，
故答案为：①②，③；
（2）在Rt△OCD中，
∵CD＝3，∠COD＝60°，
∴OC＝CD＝3，
∴的长度为＝π．
30．（2022•无锡一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，
∴∠A＝∠F，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠F，
∵CF为⊙O直径，
∴∠CBF＝90°，
∴∠F+∠BCO＝90°，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵CF是⊙O的直径，
∴CD是EO的切线；
（2）解：连接BO，OC交BE于点G，
∵BE∥CD，
∴∠OGB＝∠OCD＝90°，
∵OB＝OE，
∴BE＝2BG，
∵同对，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
在Rt△BOG中，BO＝5，
∴，
∴．
一十九．圆的综合题（共1小题）
31．（2022•滨湖区一模）如图，以AB为直径的半圆中，点O是圆心，点C是半圆上一动点（不与点A，B重合），点E是OC的中点，连接AE并延长到点D，满足ED＝AE，连接CD、BD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）连接BC，交AD于点F．
①当∠ABC＝ 45 度时，CD是⊙O的切线；
②若DF＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵点E是OC的中点，
∴EC＝EO，
∵ED＝AE，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝OA，
∵OB＝OA，
∴CD＝OB，
∴四边形OBDC是平行四边形，
∵OC＝OB，
∴平行四边形OBDC是菱形；
（2）解：①∠ABC＝45°时，CD是⊙O的切线，理由：
∵四边形OBDC是菱形，
∴∠OBD＝∠OCD＝2∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半圆的半径，
∴CD是⊙O的切线，
故答案为：45；
②∵CD∥OB，
∴△CDF∽△BAF，
∴＝，
由（1）知，CD＝OA＝OB，
∴CD＝AB，
∴＝，
∵AE＝DE＝EF+DF，FD＝2，
∴AF＝AE+EF＝2EF+2，
＝，
∴EF＝1．
二十．作图—复杂作图（共3小题）
32．（2022•滨湖区一模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
【解答】解：（1）连接AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ADC＝∠DCE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝4，AD＝CE＝2，
设AB＝BC＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+EB2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
∴x＝5，
∴⊙O的半径为.
（2）连接AC，DE交于点J，作射线BJ交CD于点M．设BM交AE于点R．
∵AE∥CD，
∴∠JDM＝∠JER，
∵JD＝JE，∠DJM＝∠EJR，
∴△JDM≌△JER（ASA），
∴DM＝RE，
∵ER∥CM，
∴△BER∽△BCM，
∴＝＝＝．
33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【解答】解：（1）如图1中，△ABC（AB＝AC）为所求．
（2）如图2中，△ABC（AB＝AC）为所求．
34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．
【解答】（1）解：如图．射线AE，线段DF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠ABD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵BC＝AD，CE＝DF，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形．
二十一．作图—应用与设计作图（共3小题）
35．（2022•宜兴市一模）（1）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出D到AB的距离为 ．
（2）如图，已知入是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
（要求：用直尺和圆规作图且保留作图的痕迹）
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
设D到AB，BC的距离为h．则有•AB•h+•BC•h＝×2×4，
∴h＝．
（2）方法一：过点A作l的垂线，垂足为P，
作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O；
方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线，
过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．
36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：如图，作CP⊥AB，垂足为P，作EQ⊥AB，垂足为Q，并交CD延长线于点N．
根据题意，得四边形CPQN是矩形．
∴CP＝NQ．
设CP的长为x m，则NQ＝x m，EN＝3x﹣x＝2x（m），
在Rt△ACP中，∠A＝30°，
∵sin30°＝，
∴AC＝＝＝2x，
在Rt△DEN中，∠EDN＝37°，
∵sin37°＝，
∴DE＝＝≈x，
∵AC+DE＝80，∴2x+x＝80，
解得x＝15，
3x＝45．
所以EF到AB的距离为45m ．
37．（2022•兴化市一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都等于1，点A、B在格点上，点C在网格线l上，先完成下面计算，再仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹）
（1）AB＝ ；
（2）若AC+BC最小，请在图中作出点C；
（3）在（2）中，连接AC、BC，请借助已有网格图，作出△ABC的中线AM．
【解答】解：（1）AB＝＝，
故答案为：；
（2）如图，点C即为所求；
（3）如图线段AM即为所求．
二十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
38．（2022•鼓楼区一模）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．
（1）求证∠CAB＝∠DAB；
（2）若将△ADB沿AB的垂直平分线翻折，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 矩形 （写出图形的形状）；
（3）若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），
∴∠CAB＝∠DAB；
（2）解：如图，作出线段AB的垂直平分线MN，再根据轴对称变换将△ADB沿MN翻折，变换后的图形为四边形ACBD′，
由折叠性质可得：
∠D′＝∠D＝90°，∠C＝90°，∠DAB＝∠D′BA，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵∠CAB＝∠DAB，
∴∠CBA+∠D′BA＝90°，
∴∠CBD′＝90°，
∴四边形ACBD′为矩形，
故答案为：矩形；
（3）方法一：如图，将△ADB以点B为旋转中心，旋转至BD与BC重合时，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴此时A，C，A1三点共线，
∵AB＝A1B，
∴△ABA1为等腰三角形；
方法二：如图，将△ADB以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴此时B，C，B2三点共线，
∵AB＝A2B，
∴△ABB2为等腰三角形；
综上，方法一：将△ADB以点B为旋转中心，旋转至BD与BC重合时，所形成的的三角形为等腰三角形；
方法二：将△ADB以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时，所形成的三角形为等腰三角形．
二十三．作图-旋转变换（共1小题）
39．（2022•锡山区一模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画个中心对称四边形ABEF，使其面积为9；
（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称三角形CDG，使其面积为7.5．
【解答】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求；
（2）如图，三角形CDG即为所求．
二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2022•滨湖区一模）矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
（1）若m＝6，n＝6，
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB＝EP时，求线段BP的长；
（2）若m＝6，n＝8，△PEC面积的最大值为 （直接写出答案）．
【解答】解：（1）①如图1，当点E与点B重合时，AP⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝m＝6，AD＝n＝6，
∴∠BAD＝90°，BD＝＝＝12，
∴∠DAP+∠BAP＝90°，
∵AP⊥BD，
∴∠ABD+∠BAP＝90°，∠DPA＝∠DAB＝90°，
∴∠DAP＝∠DBA，
∴△DAP∽△DBA，
∴，即，
∴DP＝9；
②如图2，设AE交BD于点O，
∵EB＝EP，
∴∠EBP＝∠EPB，
∵∠ABP＝∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴AE垂直平分BP，
∴BP＝2BO，
由①得：DB＝12，DO＝9，
∴OB＝DB﹣DO＝12﹣9＝3，
∴BP＝2×3＝6；
（2）如图3，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，
∴∠PGB＝∠GBE＝∠BFP＝90°，
∴四边形PGBF是矩形，
同理：四边形AGHD，四边形GBCH，四边形PFCH都是矩形，
∴BG＝PF＝CH，AB＝CD＝6，AD＝GH＝BC＝8，PG＝BF，PH＝CF，
设PF＝x，PH＝y，则BG＝x，AG＝6﹣x，PG＝8﹣y，
∵S△BCD＝S△BCP+S△PCD，
∴×6×8＝×8x+×6y，
∴y＝8﹣x，
∴PG＝x，CF＝8﹣x，
∵∠APE＝∠GPF＝90°，
∴∠APG＝∠EPF，
∵∠PGA＝∠PFE＝90°，
∴△PGA∽△PFE，
∴，即，
∴EF＝，
∴CE＝EF+CF＝，
∴S△PEC＝•CE•PF
＝（）x
＝﹣（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，△PEC的面积最大，最大值为，
故答案为：．
二十五．相似形综合题（共1小题）
41．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 ；
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），▱A1B1C1D1的面积为（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．
【解答】解：（1）∵平行四边形有一个内角是120°，
∴α＝60°，
∴＝；
故答案为：；
（2），
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，
∴，
∵，
∴；
（3）如图2，
∵AB2＝AE•AD，
∴A1B12＝A1E1•A1D1，即，
∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，
由（2）知，；
可知＝＝，
∴sin∠A1B1C1＝，
∴∠A1B1C1＝45°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝45°．
二十六．解直角三角形的应用（共5小题）
42．（2022•建邺区一模）图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求点A到CD的距离．（精确到三位小数，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，过点A作AG⊥BF，交FB于点G，
则AE＝FG，∠BFC＝∠AGB＝90°，
∵∠BCD＝120°．
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，
在Rt△BCF中，BC＝4cm，
∴BF＝BC•sin60°＝4×＝2（cm），
∵∠ABC＝85°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠FBC＝65°，
在Rt△ABG中，AB＝6cm，
∴BG＝AB•cos65°≈6×0.423＝2.538（cm），
∴AE＝FG＝BG+BF＝2.538+2≈6.002（cm），
∴点A到CD的距离约为6.002cm．
43．（2022•海陵区一模）如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．现量得CD＝10cm，AC＝12cm．
（1）当支撑板CD与底座DE的夹角（∠CDE）为60°时，求点C到底座DE的距离； （结果保留根号）
（2）小强在使用过程中发现，当∠CDE为60°且∠ACD为105°时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座DE的距离． （结果精确到0.1，≈1.41，≈1.73）
【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝10cm，
∴CF＝CD•sin60°＝10×＝5（cm），
∴点C到底座DE的距离为5cm；
（2）过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CM⊥AG，垂足为M，
则MG＝CF＝5cm，MC∥DE，
∴∠MCD＝∠CDE＝60°，
∵∠ACD＝105°，
∴∠ACM＝∠ACD﹣∠MCD＝45°，
在Rt△ACM中，AC＝12cm，
∴AM＝AC•sin45°＝12×＝6（cm），
∴AG＝AM+MG＝6+5≈17.1（cm），
∴此时点A到底座DE的距离约为17.1cm．
44．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
45．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）
【解答】解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴∠AMB＝∠BME＝∠CNM＝∠CDM＝∠CDB＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM＝CN，
在RtABM中，∠BAE＝60°，AB＝20cm，
∴∠ABM＝90°﹣∠BAE＝30°，
BM＝AB•sin60°＝20×＝10（cm），
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝70°，
在Rt△BCD中，BC＝10cm，
∴BD＝BC•sin70°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴DM＝BM﹣BD＝10﹣9.4≈7.9（cm），
∴DM＝CN＝7.9cm，
∴点C到AE的距离为7.9cm．
46．（2022•盐城一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．
（1）如图1，入射光线AB经过平面镜OM与ON反射后的反射光线是CD，若CD∥AB，则∠MON的度数为 90° ．
（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄BP上的点C处安装一平面镜，BP与屏幕MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜C反射后，在MN上形成一个光点E．已知当AB⊥BP，MN⊥BP时，AB＝25，BC＝16，DE＝50．
①求BD的长．
②将手柄BP在原有位置绕点B按逆时针方向旋转一定角度α得到BP′（如图3），点C的对应点为C′，BP′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜C′反射后，在MN上的光点为E′．若，则D′E′的长为多少？
【解答】解：（1）90°
（2）①如图，由题意可得，∠ACB＝∠ECD，∠B＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵AB＝25，BC＝16，DE＝50，
∴，
∴CD＝32，
∴BD＝16+32＝48．
答：BD的长为48．
②如图，过点A作AF⊥BC′于点F，过点E′作E′G⊥BP′于点G
在Rt△BDD′中可求DD′＝14，BD′＝50
在Rt△ABF中可求BF＝7，AF＝24，得FC′＝9
可设D′G＝7k，GE′＝24k，则D′E′＝25k
得GC′＝50﹣16+7k＝34+7k
由△AFC′∽△E′GC′得
即，
解得k＝17
∴D′E′＝25k＝425．
二十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
47．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表．
x
0
1
2
3
4
…
y
0
4.5
14
28.5
48
…
（1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；
（2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．
（参考数据：tan53°≈，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）
【解答】解：（1）猜想y与x是二次函数关系，
设y＝ax2+bx，
把（1，4.5）（2，14）代入得：，
解得：，
∴y＝2.5x2+2x，
当x＝3时，y＝2.5×9+6＝28.5，
当x＝4时，y＝2.5×16+8＝48，
∴y＝2.5x2+2x符合题意，
∴y与x之间的函数表达式为：y＝2.5x2+2x；
（2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方，
此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′，
过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，如图所示：
此时运动员滑行到点C，
∴BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t），
过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E，
则四边形AFDG与四边形PEGP′都是矩形，
∵AB＝500m，∠ABF＝26°，
∴AF＝GD＝AB×sin26°≈500×0.44＝220（m），∠GAC＝∠ABF＝26°，
∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，
∴PE＝P′G＝292﹣AF＝292﹣220＝72（m），
在Rt△AGC中，AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t，
∴AE＝AG﹣EG＝2.25t2+1.8t﹣6.3t＝2.25t2﹣4.5t，
在Rt△APE中，tan53°＝≈，
∴3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t），
解得：t1＝6，t2＝﹣4（不合题意舍去），
∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方．
二十八．频数（率）分布直方图（共2小题）
48．（2022•宜兴市一模）某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．
并绘制成两个统计图．
（1）求频数分布直方图中的a，b的值；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？
（4）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
【解答】解：（1）a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40；
（2）n＝360×＝126；
（3）200﹣16﹣40﹣200×25%﹣70＝24（人），
答：E组有24人；
（4）1200×＝144（人），
答：估计全区获得一等奖的人数是144人．
49．（2022•邳州市一模）某学校九年级共有320名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
I．A课程成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
II．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 71 71 73 73.5 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5
Ⅲ．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.3
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 76 ；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为75分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 B （填“A”或“B”），理由是 B课程成绩大于其中位数 ．
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数．
【解答】解：（1）∵随机抽取60名学生进行测试，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 73 73 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为＝76，即m＝76，
故答案为：76；
（2）B课程知识掌握的更好，
因为B课程成绩大于其中位数；
故答案为：B，B课程成绩大于其中位数；
（3）估计A课程成绩超过75.3分的人数为320×＝160（人）．
二十九．条形统计图（共2小题）
50．（2022•武进区一模）某地区对学生业余爱好进行抽样调查，被抽取的同学每人在下面五项：“游戏”，“动漫”，“篮球”，“舞蹈”“其它”中选一项最喜欢的活动，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了 320 名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，估计该地区5000名学生中有多少人最喜欢“舞蹈”．
【解答】解：（1）这次抽样调查中，一共抽查的学生数是：96÷30%＝320（名），
故答案为：320；
（2）喜欢“游戏”的人数：320×25%＝80（名），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
5000×＝1000（名），
答：估计该地区5000名学生中有1000人最喜欢“舞蹈”．
51．（2022•常州一模）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 3 本；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：18÷30%＝60（人），
读书4本的学生有：60×20%＝12（人），
故本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为3本，
读书3本所占的百分比为：21÷60×100%＝35%，
故答案为：3；
补全的统计图如右图所示；
（2）＝3（本），
即本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数是3本；
（3）1200×10%＝120（人），
答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生有120人．
三十．列表法与树状图法（共8小题）
52．（2022•宜兴市一模）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）
（2）若甲队在第一局比赛中已取得1：0的领先，那么甲队最终获胜的概率为 ．（请值接写出答案）
【解答】解：（1）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率＝；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为11，
所以甲队最终获胜的概率．
故答案为：．
53．（2022•滨湖区一模）进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温
（1）甲同学通过A通道进入校园的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．
【解答】解：（1）甲同学通过A通道进入校园的概率是；
故答案为：；
（2）画出树状图如图：
共8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有2种，
则甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的概率为＝．
54．（2022•建邺区一模）如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的．
（1）甲的座位靠窗的概率是 ；
（2）求甲、乙两人座位相邻（座位C、D不算相邻）的概率．
【解答】解：（1）甲的座位靠窗的概率是，
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，
∴甲、乙两人座位相邻的概率为＝．
55．（2022•秦淮区一模）农历正月十五是我国的传统节日—元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅不同以外，其他都一样．
（1）圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；
（2）圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ．
【解答】解：（1）将2个芝麻馅的汤圆分别记作“芝麻1”、“芝麻2”，
圆圆从四个汤圆中吃了两个汤圆，可能出现的结果有6种，即（花生，豆沙），（花生，芝麻1），（花生，芝麻2），（豆沙，芝麻1），（豆沙，芝麻2），（芝麻1，芝麻2），并且它们出现的可能性相同．
其中两个汤圆都是芝麻馅（记为事件A）的结果有1种，即（芝麻1，芝麻2），
所以P（A）＝；
（2）∵共有四个汤圆，分别是一个是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅，
∴圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是；
故答案为：．
56．（2022•海陵区一模）小明在学习完电学知识后，用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个如图所示的电路图．
（1）在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．
【解答】解：（1）在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6，
所以小灯泡发光的概率为＝．
57．（2022•玄武区一模）一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是 ．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为＝．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，
∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率为＝，
故答案为：．
58．（2022•无锡一模）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．
（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．
【解答】解：（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∵共有9种等可能结果，其中张三和李四在同一个检测点做核酸检测有3种情况，
∴张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率是．
59．（2022•锡山区一模）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率．
【解答】解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率为；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两位数不大于32的结果有8个，
∴两位数不大于32的概率为＝．
三十一．游戏公平性（共1小题）
60．（2022•常州一模）如图，有四张正面标有数字﹣2，﹣1，0，1，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，小明再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．设小红抽到的数字为x，小明抽到的数字为y，点A的坐标为（x，y）．
（1）请用列表法或画树状图的方法列出点A所有结果；
（2）若点A在坐标轴上，则小红胜；反之，则小明胜．请你用概率的相关知识解释这个游戏是否公平？
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的结果数；
（2）∵共有12种等可能的结果数，点A在坐标轴上有6种，
∴小红胜的概率是＝，
∴小明胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏公平．
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-08解答题（中档题）
一．解一元二次方程-公式法（共1小题）
1．（2022•武进区一模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．
二．一次函数的应用（共5小题）
2．（2022•崇川区一模）为丰富学生的业余生活，学校准备购进甲、乙两种畅销图书．经调查，甲种图书的总费用y（元）与购进本数x之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元．
（1）直接写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式；
（2）现学校准备购买300本图书，且两种图书均不少于80本，该如何购买，才能使总费用最少？最少的总费用为多少元？
3．（2022•宜兴市一模）某个体服装店从批发商处了解到甲、乙、丙三种运动套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元/套）
170
零售价（元/套）
250
245
290
（1）已知服装店第一次批发只购进乙20套，丙30套，共花费9000元，且乙每套的批发价比丙低50元，求乙、丙每套的批发价．
（2）由于销量好，第一次购进的运动套装以零售价的价格全部售完，服装店用第一次的全部销售收入再批发购进甲、乙，丙三种运动套装，且购进乙，丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高α%，丙的批发价每套比原来下降α%．
①若服装店第二次批发购进乙，丙两种套装分别花费3600元、3200元，求a的值．
②在a的值不变的前提下，服装店把第一次的销售收入全用于第二次批发，若第二次以零售价的价格销售完这三种运动套装所得利润为w元，当甲的数量不少于23套时，求w的最大值．
4．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝ ，a＝ ；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．
5．（2022•兴化市一模）某游泳馆推出了A、B两种季度套餐，选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱；
（3）小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长．
6．（2022•盐城一模）2022年3月以来，我国新冠疫情发生频次明显增加，感染人数快速增长，波及范围不断扩大．疫情防控形势变得严峻复杂，全社会要有长期抗疫准备，坚信经过全人类共同努力，一定能够战胜疫情．为此某市应急管理主管部门积极储备防疫物资，在一次采购方案中，准备租用A、B两种型号货车共20辆，把医用物资380吨，生活物资324吨全部运到应急物资储备中心．已知一辆A型货车可同时装医用物资20吨，生活物资15吨；一辆B型货车可同时装医用物资18吨，生活物资18吨，设租用A型货车x辆．
（1）若将这次采购物资一次性运到应急物资储备中心，有哪几种租车方案；
（2）若A型货车每辆需付燃油费2000元，B型货车每辆需付燃油费1800元，设所付燃油总费用为y元，求y与x的函数关系式，并求出哪种租车方案燃油总费用最少，最少为多少元？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2022•盐城一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（，4）、B（n，2）两点．
（1）求m、n的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
四．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2022•武进区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
9．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
六．二次函数的应用（共2小题）
10．（2022•江都区一模）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆，某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价x元/个（x＞60）满足一次函数关系：
售价x（元/个）
…
80
90
100
…
销量y（个）
…
400
300
200
…
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其它成本）
11．（2022•海陵区一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋）
…
14
16
18
20
…
销售量y（万袋）
…
5
4
3
2
…
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
（1）根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
（2）设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
七．二次函数综合题（共3小题）
12．（2022•秦淮区一模）阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数y＝2x﹣3的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
结合阅读内容，完成下面的问题．
（1）填写下面的空格．
问题：将函数y＝的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
（2）将函数y＝﹣2x2+3x+1的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 ．
（3）将函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图象对应的函数表达式．
13．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 ；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
14．（2022•盐城一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）①点B的坐标为 ；直线AC的解析式为 ；
②如图1，若点D是直线AC下方抛物线上的一个动点（点D不与点A、C重合），求△DAC面积的最大值；
（2）如图2，若点M是线段AC上一动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一点，设AN＝t，当t在何范围取值时，点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAM；
（3）如图3，点G是x轴上方的抛物线上一点，若∠AGB+2∠BAG＝90°，请直接写出点G的横坐标为 ．
八．三角形综合题（共1小题）
15．（2022•盐城一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
（2）如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．
求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
（3）在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF＝α，则∠AOB的度数为 ．（用含α的式子表示）
九．平行四边形的判定（共1小题）
16．（2022•宜兴市一模）已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：四边形AEDF是平行四边形．
一十．平行四边形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 ．
一十一．菱形的性质（共1小题）
18．（2022•江都区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周长．
一十二．菱形的判定（共1小题）
19．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 （填写满足要求的所有条件的序号）．
一十三．矩形的判定（共1小题）
20．（2022•锡山区一模）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求证：
（1）△ABF≌△DEC；
（2）四边形BCEF是矩形．
一十四．四边形综合题（共1小题）
21．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．
（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是 ．
A．
B．
C．3
D．2
（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．
（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
一十五．圆内接四边形的性质（共1小题）
22．（2022•锡山区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ °；∠DAC＝ °
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
一十六．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
一十七．直线与圆的位置关系（共2小题）
24．（2022•宜兴市一模）如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是上一点，且DE＝DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD＝∠EAD．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半径长．
25．（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
一十八．切线的判定与性质（共5小题）
26．（2022•江都区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的长．
27．（2022•武进区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．
28．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 cm．
29．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
30．（2022•无锡一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
一十九．圆的综合题（共1小题）
31．（2022•滨湖区一模）如图，以AB为直径的半圆中，点O是圆心，点C是半圆上一动点（不与点A，B重合），点E是OC的中点，连接AE并延长到点D，满足ED＝AE，连接CD、BD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）连接BC，交AD于点F．
①当∠ABC＝ 度时，CD是⊙O的切线；
②若DF＝2，求EF的长．
二十．作图—复杂作图（共3小题）
32．（2022•滨湖区一模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．
二十一．作图—应用与设计作图（共3小题）
35．（2022•宜兴市一模）（1）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出D到AB的距离为 ．
（2）如图，已知入是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
（要求：用直尺和圆规作图且保留作图的痕迹）
36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
37．（2022•兴化市一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都等于1，点A、B在格点上，点C在网格线l上，先完成下面计算，再仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹）
（1）AB＝ ；
（2）若AC+BC最小，请在图中作出点C；
（3）在（2）中，连接AC、BC，请借助已有网格图，作出△ABC的中线AM．
二十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
38．（2022•鼓楼区一模）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．
（1）求证∠CAB＝∠DAB；
（2）若将△ADB沿AB的垂直平分线翻折，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 （写出图形的形状）；
（3）若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程．
二十三．作图-旋转变换（共1小题）
39．（2022•锡山区一模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画个中心对称四边形ABEF，使其面积为9；
（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称三角形CDG，使其面积为7.5．
二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2022•滨湖区一模）矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
（1）若m＝6，n＝6，
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB＝EP时，求线段BP的长；
（2）若m＝6，n＝8，△PEC面积的最大值为 （直接写出答案）．
二十五．相似形综合题（共1小题）
41．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 ；
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），▱A1B1C1D1的面积为（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．
二十六．解直角三角形的应用（共5小题）
42．（2022•建邺区一模）图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求点A到CD的距离．（精确到三位小数，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）
43．（2022•海陵区一模）如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．现量得CD＝10cm，AC＝12cm．
（1）当支撑板CD与底座DE的夹角（∠CDE）为60°时，求点C到底座DE的距离； （结果保留根号）
（2）小强在使用过程中发现，当∠CDE为60°且∠ACD为105°时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座DE的距离． （结果精确到0.1，≈1.41，≈1.73）
44．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
45．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）
46．（2022•盐城一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．
（1）如图1，入射光线AB经过平面镜OM与ON反射后的反射光线是CD，若CD∥AB，则∠MON的度数为 ．
（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄BP上的点C处安装一平面镜，BP与屏幕MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜C反射后，在MN上形成一个光点E．已知当AB⊥BP，MN⊥BP时，AB＝25，BC＝16，DE＝50．
①求BD的长．
②将手柄BP在原有位置绕点B按逆时针方向旋转一定角度α得到BP′（如图3），点C的对应点为C′，BP′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜C′反射后，在MN上的光点为E′．若，则D′E′的长为多少？
二十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
47．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表．
x
0
1
2
3
4
…
y
0
4.5
14
28.5
48
…
（1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；
（2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．
（参考数据：tan53°≈，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）
二十八．频数（率）分布直方图（共2小题）
48．（2022•宜兴市一模）某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．
并绘制成两个统计图．
（1）求频数分布直方图中的a，b的值；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？
（4）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
49．（2022•邳州市一模）某学校九年级共有320名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
I．A课程成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
II．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 71 71 73 73.5 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5
Ⅲ．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.3
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ ；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为75分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ．
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数．
二十九．条形统计图（共2小题）
50．（2022•武进区一模）某地区对学生业余爱好进行抽样调查，被抽取的同学每人在下面五项：“游戏”，“动漫”，“篮球”，“舞蹈”“其它”中选一项最喜欢的活动，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了 名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，估计该地区5000名学生中有多少人最喜欢“舞蹈”．
51．（2022•常州一模）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 本；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
三十．列表法与树状图法（共8小题）
52．（2022•宜兴市一模）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）
（2）若甲队在第一局比赛中已取得1：0的领先，那么甲队最终获胜的概率为 ．（请值接写出答案）
53．（2022•滨湖区一模）进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温
（1）甲同学通过A通道进入校园的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．
54．（2022•建邺区一模）如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的．
（1）甲的座位靠窗的概率是 ；
（2）求甲、乙两人座位相邻（座位C、D不算相邻）的概率．
55．（2022•秦淮区一模）农历正月十五是我国的传统节日—元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅不同以外，其他都一样．
（1）圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；
（2）圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ．
56．（2022•海陵区一模）小明在学习完电学知识后，用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个如图所示的电路图．
（1）在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．
57．（2022•玄武区一模）一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是 ．
58．（2022•无锡一模）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．
（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．
59．（2022•锡山区一模）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率．
三十一．游戏公平性（共1小题）
60．（2022•常州一模）如图，有四张正面标有数字﹣2，﹣1，0，1，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，小明再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．设小红抽到的数字为x，小明抽到的数字为y，点A的坐标为（x，y）．
（1）请用列表法或画树状图的方法列出点A所有结果；
（2）若点A在坐标轴上，则小红胜；反之，则小明胜．请你用概率的相关知识解释这个游戏是否公平？
江苏省2022年中考数学模拟题（一模）精选按题型分层分类汇编-08解答题（中档题）
参考答案与试题解析
一．解一元二次方程-公式法（共1小题）
1．（2022•武进区一模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：（x+1）（x﹣3）＝1．
【解答】解：（1）解不等式4（x﹣1）＞x+2，得：x＞2，
解不等式＞x，得：x＜3.5，
∴不等式组的解集为2＜x＜3.5；
（2）将方程整理为一般式为x2﹣2x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
则x＝＝＝1，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
二．一次函数的应用（共5小题）
2．（2022•崇川区一模）为丰富学生的业余生活，学校准备购进甲、乙两种畅销图书．经调查，甲种图书的总费用y（元）与购进本数x之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元．
（1）直接写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式；
（2）现学校准备购买300本图书，且两种图书均不少于80本，该如何购买，才能使总费用最少？最少的总费用为多少元？
【解答】解：（1）当0≤x≤100时，设y＝kx，
把（100，2500）代入得，k＝25，
当x＞100时，设y＝kx+b，
把（100，2500）和（150，3450）代入得，
，
解得，
所以y与x的关系式为y＝；
（2）设总费用为w元，
由题意得，80≤x≤220，
当80≤x≤100时，w＝25x+20（300﹣x）＝5x+6000，
∵k＞5，w随x的增大而增大，
∴当x＝80时，w最少＝5×80+6000＝6400；
当100＜x≤220时，w＝19x+600+20（300﹣x）＝﹣x+6600，
∵k＜0，w随x的增大而减小，
∴当x＝220时，w最少＝﹣220+6600＝6380，
∵6380＜6400，
∴当x＝220时，总费用最少是6380元．此时乙种图书是80本，
答：应购买甲种图书220本，乙种图书80本，才能使总费用最少，最少是6380元．
3．（2022•宜兴市一模）某个体服装店从批发商处了解到甲、乙、丙三种运动套装的部分价格如表：
价格
甲
乙
丙
批发价（元/套）
170
150
200
零售价（元/套）
250
245
290
（1）已知服装店第一次批发只购进乙20套，丙30套，共花费9000元，且乙每套的批发价比丙低50元，求乙、丙每套的批发价．
（2）由于销量好，第一次购进的运动套装以零售价的价格全部售完，服装店用第一次的全部销售收入再批发购进甲、乙，丙三种运动套装，且购进乙，丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高α%，丙的批发价每套比原来下降α%．
①若服装店第二次批发购进乙，丙两种套装分别花费3600元、3200元，求a的值．
②在a的值不变的前提下，服装店把第一次的销售收入全用于第二次批发，若第二次以零售价的价格销售完这三种运动套装所得利润为w元，当甲的数量不少于23套时，求w的最大值．
【解答】解：（1）设乙每套的批发价为x元，则丙每套的批发价为（x+50）元，
根据题意得：20x+30（x+50）＝9000，
解得x＝150，
∴x+50＝150+50＝200（元），
答：乙每套的批发价为150元，则丙每套的批发价为200元；
故答案为：150，200；
（2）①由题意得：＝，
解得a＝20，
答：a的值为20；
②第一次的销售收入为20×245+30×290＝13600（元），
设第二次购进甲种套装m套，则购进乙、丙两种套装各＝（40﹣m）套，
依题意得：w＝（250﹣170）m+[245﹣150×（1+20%）]（40﹣m）+[290﹣200×（1﹣20%）]（40﹣m）＝﹣m+7800，
∵﹣＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≥23，且（40﹣m）为正整数，
∴m的最小值为24，
∴当m＝24时，w取得最大值，最大值＝﹣×24+7800＝7380（元）．
答：w的最大值为7380元．
4．（2022•建邺区一模）甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1（单位：m）、y2（单位：m），都是甲出发时间x（单位：s）的函数，它们的图象如图①．设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
（1）v1：v2＝ 5：6 ，a＝ 75 ；
（2）求y2与x之间的函数表达式；
（3）在图②中画出甲、乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发时间x（单位：s）之间的函数图象．
【解答】解：（1）由图可得，
180v1＝（180﹣30）v2，
解得v1：v2＝5：6，
乙的速度为：1200÷（430﹣30）＝3（m/s），
∴甲的速度为：3×＝2.5（m/s），
∴a＝30×2.5＝75，
故答案为：5：6，75；
（2）设y2与x之间的函数表达式是y2＝kx+b，
∵点（30，0）和点（430，1200）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y2与x之间的函数表达式是y2＝3x﹣90；
（3）由题意可得，
当x＝30时，此时s＝75；
当x＝180时，s＝0，
当x＝430时，s＝（430﹣180）×（3﹣2.5）＝125，
当x＝1200÷2.5＝480时，s＝0，
由图①和题意可知：当0≤x≤30时，s随x的增大而增大，符合正比例函数；
当30＜x≤180时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
当180＜x≤430时，s随x的增大而增大，符合一次函数；
当430＜x≤480时，s随x的增大而减小，符合一次函数；
图象如右图所示．
5．（2022•兴化市一模）某游泳馆推出了A、B两种季度套餐，选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱；
（3）小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长．
【解答】解：（1）设yA＝k1x，
根据题意得6k1＝180，解得k1＝30，
∴yA＝30x；
设yB＝k2x+b，
根据题意得：，
解得，
∴yB＝20x+100；
（2）由题意，得30x＜20x+100，
解得x＜10，
答：当时长小于10时，选择A套餐更省钱；
（3）由题意，得30x﹣（20x+100）＝5x，
解得x＝20，
答：小明估计自己本季度的游泳时长为20小时．
6．（2022•盐城一模）2022年3月以来，我国新冠疫情发生频次明显增加，感染人数快速增长，波及范围不断扩大．疫情防控形势变得严峻复杂，全社会要有长期抗疫准备，坚信经过全人类共同努力，一定能够战胜疫情．为此某市应急管理主管部门积极储备防疫物资，在一次采购方案中，准备租用A、B两种型号货车共20辆，把医用物资380吨，生活物资324吨全部运到应急物资储备中心．已知一辆A型货车可同时装医用物资20吨，生活物资15吨；一辆B型货车可同时装医用物资18吨，生活物资18吨，设租用A型货车x辆．
（1）若将这次采购物资一次性运到应急物资储备中心，有哪几种租车方案；
（2）若A型货车每辆需付燃油费2000元，B型货车每辆需付燃油费1800元，设所付燃油总费用为y元，求y与x的函数关系式，并求出哪种租车方案燃油总费用最少，最少为多少元？
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：10≤x≤12，
∵x为正整数，
∴x可以取10、11、12，共三种方案，
方案一：租用A型货车10辆，B型货车10辆，
方案二：租用A型货车11辆，B型货车9辆，
方案三：租用A型货车12辆，B型货车8辆．
（2）所付燃油总费用为y＝2000x+1800（20﹣x）＝200x+36000，
∵200＞0，
∴y随x增大而增大，
∴当x＝10时，y最小，最小值为200×10+36000＝38000元，
答：租用A型货车10辆，B型货车10辆，费用最少，最少费用为38000元．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2022•盐城一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（，4）、B（n，2）两点．
（1）求m、n的值；
（2）求一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）将A点代入y＝得，m＝6．
∴反比例函数解析式为：y＝，
将B（n，2）代入y＝得，n＝3．
（2）∵一次函数y＝kx+b经过A、B两点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（3）设直线与x轴的交点为C，
把y＝0代入，则﹣x+6＝0，解得x＝，
∴C（，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×﹣×2×＝．
四．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2022•武进区一模）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8），
∴2×m+6＝8，
解得m＝1，
∴A（1，8），
∴m＝2×1+6＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）不等式2x+6﹣＞0的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴﹣＞0
∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
9．（2022•建邺区一模）已知二次函数y＝x2﹣2（p+1）x+q的图象经过（1，0）、（0，﹣5）两点．
（1）求p、q的值；
（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，若x1+x2＝2，求证y1+y2＞0．
【解答】解：（1）将（1，0）、（0，﹣5）代入y＝x2﹣2（p+1）x+q得，
解得．
（2）由（1）得y＝x2+4x﹣5，
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该函数图象上两点，
∴y1＝x+4x1﹣5，y2＝x+4x2﹣5，
∴y1+y2＝x+x+4（x1+x2）﹣10，
∵x1+x2＝2，
∴x2＝2﹣x1，
∴y1+y2＝x+（2﹣x1）2﹣2＝2x﹣4x1+2＝2（x1﹣1）2，
∵点A，B是图象上两点，
∴x1≠x2≠1，
∴y1+y2＝2（x1﹣1）2＞0．
六．二次函数的应用（共2小题）
10．（2022•江都区一模）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆，某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价x元/个（x＞60）满足一次函数关系：
售价x（元/个）
…
80
90
100
…
销量y（个）
…
400
300
200
…
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其它成本）
【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣10x+1200；
（2）当线下销量为（﹣10x+1200）个时，线上销量为1000﹣（﹣10x+1200）＝（10x﹣200）个，
设全部售完后获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣60）（﹣10x+1200）+（100﹣60）（10x﹣200）＝﹣10x2+2200x﹣80000＝﹣10（x﹣110）2+41000，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%，
∴x﹣60≤60×80%，
解得：x≤108，
∵﹣10＜0，对称轴为x＝110，
∴当x＝108时，w有最大值，最大值为40960，
此时线下销售量为﹣10x+1200＝120（个），线上销售量为1000﹣120＝880（个）．
答：线下销售120个，线上销售880个时可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是40960元．
11．（2022•海陵区一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋）
…
14
16
18
20
…
销售量y（万袋）
…
5
4
3
2
…
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
（1）根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
（2）设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y＝ax+b，
则，
解得：a＝﹣，b＝12，
故函数解析式为：y＝﹣x+12．
（2）根据题意得出：
w＝（x﹣12）y﹣6，
＝（x﹣12）（﹣x+12）﹣6
＝﹣x2+18x﹣150
＝﹣（x2﹣36x）﹣150
＝﹣（x﹣18）2﹣150+162
＝﹣（x﹣18）2+12，
故销售价格定为18元/袋时净得利润最大，最大值是12万元．
七．二次函数综合题（共3小题）
12．（2022•秦淮区一模）阅读下面的问题及其解决途径．
问题：将函数y＝2x﹣3的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
结合阅读内容，完成下面的问题．
（1）填写下面的空格．
问题：将函数y＝的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
（2）将函数y＝﹣2x2+3x+1的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为 y＝﹣2x2﹣3x+1 ．
（3）将函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图象对应的函数表达式．
【解答】解：（1）将P（x，y）向右平移1个单位后，P′坐标为（x+1，y），
平移后的图象对应的函数表达式为y＝，
故答案为：x+1，y；．
（2）设函数y＝﹣2x2+3x+1的图象的任意点P坐标为（x，y），将P关于y轴翻折后得到P′（﹣x，y），
∴平移后的图象对应的函数表达式为y＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．
故答案为：y＝﹣2x2﹣3x+1．
（3）方法一
设变换后新的函数图像上任意点P的坐标为（x，y）．
将点P（x，y）绕原点旋转180°，得点P'（﹣x，﹣y）．
将点P'（﹣x，﹣y）沿y轴翻折，得点P''（x，﹣y）．
将点P''（x，﹣y）向右平移1个单位长度，得点P'''（x+1，﹣y）．
因为点P''' 在函数y＝ax2+bx+c的图像上，
所以﹣y＝a（x+1）2+b（x+1）+c．
即所得到的图像对应的函数表达式是y＝﹣ax2﹣（2a+b）x﹣a﹣b﹣c．
方法二
原函数可化为y＝a（x+）2+．
将函数y＝a（x+）2+的图像向左平移1个单位长度，得函数y＝a（x++1）2+的图像．
将函数y＝a（x++1）2+的图像沿y轴翻折，得函数y＝a（x﹣﹣1）2+的图像．
将函数y＝a（x﹣﹣1）2+的图像绕原点旋转180°，得函数y＝﹣a（x++1）2﹣的图像．
∴所得到的图像对应的函数表达式是y＝﹣a（x++1）2﹣．
13．（2022•玄武区一模）已知二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为 ﹣1 ；
（3）点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数的图象上，当y1•y2•y3＜0时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【解答】（1）证明：令y＝0，则（x﹣m）（ x﹣m﹣2）＝0．
∴x1＝m，x2＝m+2．
∵m≠m+2，
∴该方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．
（2）由（1）知M（m+2，0），N（m+2，0），
令x＝0，得y＝m2+2m，
∴P（0，m2+2m）．
由题意得，△MNP是等腰直角三角形，
∴m2+2m＝﹣1，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（3）法一：根据题意可知，需要分三种情况：
①当有1个点在x轴下方时，有m＜1＜m+2＜2＜3或1＜2＜m＜3＜m+3，
解得﹣1＜m＜0或2＜m＜3；
②当有3个点在x轴下方时，
∵m+2﹣m＝2＜3，
∴此种情况不存在；
综上可知，m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．
法二：由题意可知，y1＝（1﹣m）（1﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m+1），
y2＝（2﹣m）（2﹣m﹣2）＝m（m﹣2），
y3＝（3﹣m）（3﹣m﹣2）＝（m﹣1）（m﹣3），
∵y1•y2•y3＜0，
∴（m﹣1）（m+1）•m•（m﹣2）•（m﹣1）（m﹣3）＜0，即m（m+1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣1）2＜0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴m，（m+1），（m﹣2），（m﹣3）的负数有奇数个，且m+1＞m＞m﹣2＞m﹣3，
当负数有1个时，m﹣3＜0且m﹣2＞0，
∴2＜m＜3；
当负数有3个时，m+1＞0且m＜0，
∴﹣1＜m＜0，
∴m的取值范围为：﹣1＜m＜0或2＜m＜3．
14．（2022•盐城一模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）①点B的坐标为 （3，0） ；直线AC的解析式为 y＝﹣3x﹣6 ；
②如图1，若点D是直线AC下方抛物线上的一个动点（点D不与点A、C重合），求△DAC面积的最大值；
（2）如图2，若点M是线段AC上一动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一点，设AN＝t，当t在何范围取值时，点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAM；
（3）如图3，点G是x轴上方的抛物线上一点，若∠AGB+2∠BAG＝90°，请直接写出点G的横坐标为 ．
【解答】解：（1）①点B的坐标为（3，0），
直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6；
②当x＝﹣1时，△DAC面积的最大值＝1．
（2）如图2，过点M作MT⊥x轴于T，
∵直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6，点M是线段AC上一个动点，
∴设M（m，﹣3m﹣6），且﹣2＜m＜0，则T（m，0），
∴OT＝﹣m，MT＝3m+6，BT＝3﹣m，
∵∠BMN＝∠BAM，∠MBN＝∠ABM，
∴△BMN∽△BAM，
∴，
∴BM2＝BA•BN，Rt△BMT中，
BM2＝MT2+BT2＝（3m+6）2+（3﹣m）2＝10m2+30m+45，
∵AN＝t，AB＝5，
∴10m2+30m+45＝5（5﹣t），
∴10m2+30m+20+5t＝0，
∵点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAM，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝302﹣4×10•（20+5t）＞0，
解得：t＜，
∴t满足的条件为：0＜t＜．
（3）点E横坐标为．
如图3，设G（n，n2﹣n﹣6），
过点G作GH⊥x轴于H，连接GB，作∠AGB的平分线交x轴于E，过点E作EF⊥x轴交AG于F，
则∠AGE＝∠BGE＝∠AGB，
∵∠AGB+2∠BAG＝90°，
∴∠AGB+∠BAG＝45°，
∴∠AGE+∠BAG＝45°，
∴∠GEH＝45°，
∵∠EHG＝90°，
∴△EHG是等腰直角三角形，
∴∠EGH＝45°，GH＝EH＝n2﹣n﹣6，
∵BH＝n﹣3，
∴BE＝EH﹣BH＝n2﹣n﹣6﹣（n﹣3）＝n2﹣2n﹣3，
∵EF⊥x轴，HG⊥x轴，
∴EF∥HG，
∴∠FEG＝∠EGH＝45°，
∴∠FEG＝∠BEG，
∴△GFE≌△GBE（ASA），
∴EF＝EB＝n2﹣2n﹣3，AH＝n+2，
∴AE＝AB﹣EB＝5﹣（ n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+2n+8，
∵EF∥GH，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴EF•AH＝AE•HG，
∴（n2﹣2n﹣3）（n+2）＝（﹣n2+2n+8）（n2﹣n﹣6），
∵G是x轴上方的抛物线上一点，∠BAG为锐角，
∴点G在第一象限的抛物线上，
∴n＞3，
∴n2﹣n﹣7＝0，解得：，
∵n＝3，不符合题意，舍去，
∴点E横坐标为．
八．三角形综合题（共1小题）
15．（2022•盐城一模）【问题背景】
在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．
教材原题：如图1，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若BD、CE的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
（1）请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）
【直接应用】
当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
（2）如图3，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点F．
求证：AF为△ABC的边BC上的高．
【拓展延伸】
在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
（3）在（2）的条件下连接DE、EF、FD（如图4），设∠DEF＝α，则∠AOB的度数为 90°+ ．（用含α的式子表示）
【解答】解：（1）选择教材原题，
点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上．
如图，连接ME、MD，
∵BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，
∴ME＝MB＝MC＝MD，
∴点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上．
（2）如图，连接DE，由点B、C、D、E四点共圆得∠BDE＝∠ECB，
由点A、D、O、E四点共圆得∠BDE＝∠BAF，
∴∠ECB＝∠BAF，
∵∠BEC＝90°，
∴∠ECB+∠ABF＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠BFA＝90°，
∴AF为△ABC的边BC上的高．
（3）如图，∵∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴点B、F、O、E在以点N为圆心的同一个圆上，
∴∠FBO＝∠FEO，
∵由（1）证得点B、C、D、E在同一个圆上，
∴∠FBO＝∠CED，
∴∠FEO＝∠CED，
同理可证：∠EFO＝∠AFD，∠EDO＝∠FDO，
∴点O是△DEF的内心．
∴∠AOB＝90°+．
九．平行四边形的判定（共1小题）
16．（2022•宜兴市一模）已知：如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）求证：四边形AEDF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
即BE＝CF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形．
一十．平行四边形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为 96 ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝DC，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：连接EF，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵M，N分别是BF，DE的中点，
∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，
∵EM＝EN＝5，
∴EM＝BF，
∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，
∵AB＝12，
∴BE＝6，
∴EF＝＝8，
∴四边形ABCD的面积为AB•EF＝12×8＝96，
故答案为：96．
一十一．菱形的性质（共1小题）
18．（2022•江都区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝12，BD＝9，求△ADE的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝9，
∴AO＝AC＝6，DO＝BD＝，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴CD＝AD＝＝＝，
由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝，DE＝AC＝12，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝++12＝27．
一十二．菱形的判定（共1小题）
19．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 ①② （填写满足要求的所有条件的序号）．
【解答】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°．
∴∠C+∠B＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
∵①∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
连接BD，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
又∵②AB＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：①②．
一十三．矩形的判定（共1小题）
20．（2022•锡山区一模）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°．求证：
（1）△ABF≌△DEC；
（2）四边形BCEF是矩形．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DEC，
∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，
∴∠ECF＝∠BFC，
∴EC∥BF，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠CEF＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
一十四．四边形综合题（共1小题）
21．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝5，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．
（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是 C ．
A．
B．
C．3
D．2
（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．
（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点M作MF⊥BC于点F，连接AC，
∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B＝90°，
∵AD＝5，DC＝5，
∴AC＝＝＝10，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠QAM＝60°，∠DCA＝∠BCA＝∠QMA＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴QA＝1，QM＝，
∵MQ⊥AB，OE⊥BC，∠B＝90°，
∴四边形MQBF是矩形，
∴MF＝QB＝AB+QA＝5+1＝6，
∵MF⊥CB，OE⊥BC，
∴OE∥MF，
∴，
∵OM＝ON，
∴NE＝EF，
∴OE＝MF＝3，
故选：C；
（2）过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，
∵点P是线段MN的“勾股点”，
∴∠MPN＝90°，
∴∠QPM＝∠BNP，
又∵∠Q＝∠B＝90°，
∴△QPM∽△BNP，
∴，
∴，
∴BN＝3；
（3）①如图，以MN为直径的圆经过点A时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∵∠NAM＝∠D＝90°，
∴AN∥CD，
∴∠C＝∠BNM＝60°，
∴BN＝＝＝，
如图，当BN＝时，线段MN有一个“勾股点”，
∴当0＜BN＜且BN≠时，线段MN恰好有两个“勾股点”；
②如图，当以MN为直径的圆经过点C和D时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∴BN＝BC＝5．
综上所述，当0＜BN＜且BN≠或BN＝5时，线段MN恰好有两个“勾股点”．
一十五．圆内接四边形的性质（共1小题）
22．（2022•锡山区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝ 110 °；∠DAC＝ 20 °
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°；
∵AC⊥BD，
∴∠CBD＝90°﹣∠ACB＝20°，
∴∠DAC＝∠DBC＝20°；
故答案为：110，20；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴＝＝，
∴，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
一十六．三角形的外接圆与外心（共1小题）
23．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵BE∥CD，
∴∠ADC＝∠E，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠E，
∴ED∥FC，
∴四边形DEFC是平行四边形；
（2）解：如图②，连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AB＝7，BF＝1，
∴AF＝＝＝4，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
∵DE∥CF，
∴∠E＝∠BFC＝45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝4，
∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD＝EF＝4．
一十七．直线与圆的位置关系（共2小题）
24．（2022•宜兴市一模）如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是上一点，且DE＝DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD＝∠EAD．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半径长．
【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，
理由：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠EAD，
∵∠E＝∠B，∠CAD＝∠EAD，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠B+∠C＝90°
∴∠BAC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
（2）过D作DH⊥AE于H，
∵DE＝DA，
∴AH＝EH＝AE＝12，
∵tanE＝tan∠EAD＝＝，
∴DH＝9
∴AD＝＝＝15，
∵∠B＝∠E，
∴tanB＝＝，
∴BD＝20，
∴AB＝＝25，
∴⊙O的半径长为．
25．（2022•仪征市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵AO＝BO，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴AC＝AB＝10，
∵BC＝16，BD＝CD，
∴CD＝8，
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE＝AD•CD，
∴DE＝＝＝．
一十八．切线的判定与性质（共5小题）
26．（2022•江都区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若EB＝1，且sin∠CFD＝，求DF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠B，
∴AB∥OD，
∴∠BED＝∠EDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，sin∠CFD＝，
∴设OD＝3a，OF＝5a，
∴AF＝OA+OF＝8a，
在Rt△AEF中，sin∠CFD＝，
∴AE＝AF＝a，
∵AB＝AC＝2OD＝6a，
∴AB﹣AE＝BE，
∴，
∴a＝，
∴AE＝4，AF＝，OD＝，
∴EF＝，
∵AB∥OD，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
即
解得DF＝．
27．（2022•武进区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAO＝30°，BC＝2，
∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴OB＝AB＝2，
∴的长＝＝π．
28．（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，直线l过点C，AD⊥l，交⊙O于点F，垂足为D，BE⊥l，垂足为E，且＝．
（1）求证：l与⊙O相切；
（2）当AD＝4cm，BE＝1.5cm时，⊙O的半径为 cm．
【解答】（1）证明：
连接OC．BF，
∵＝，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，
∵AD⊥l，
∴BF∥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线，
即直线l是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴OC∥AD∥BE，
∵OA＝OB，
∴DC＝EC，
∴OC是梯形ABED的中位线，
∴OC＝（AD+BE）
＝（4+1.5）
＝，
故答案为：．
29．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ①② ，结论是 ③ （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．
【解答】解：（1）选择的条件是①②，结论是③，
理由：连接OC，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵CD是⊙O的切线；
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∴OC＝OD，
∵OB＝OC＝OD，
∴OB＝BD，
故答案为：①②，③；
（2）在Rt△OCD中，
∵CD＝3，∠COD＝60°，
∴OC＝CD＝3，
∴的长度为＝π．
30．（2022•无锡一模）如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD＝∠BAC，BE∥CD交⊙O于E点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交⊙O于F点，连接BF，
∴∠A＝∠F，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠F，
∵CF为⊙O直径，
∴∠CBF＝90°，
∴∠F+∠BCO＝90°，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵CF是⊙O的直径，
∴CD是EO的切线；
（2）解：连接BO，OC交BE于点G，
∵BE∥CD，
∴∠OGB＝∠OCD＝90°，
∵OB＝OE，
∴BE＝2BG，
∵同对，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
在Rt△BOG中，BO＝5，
∴，
∴．
一十九．圆的综合题（共1小题）
31．（2022•滨湖区一模）如图，以AB为直径的半圆中，点O是圆心，点C是半圆上一动点（不与点A，B重合），点E是OC的中点，连接AE并延长到点D，满足ED＝AE，连接CD、BD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）连接BC，交AD于点F．
①当∠ABC＝ 45 度时，CD是⊙O的切线；
②若DF＝2，求EF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵点E是OC的中点，
∴EC＝EO，
∵ED＝AE，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝OA，
∵OB＝OA，
∴CD＝OB，
∴四边形OBDC是平行四边形，
∵OC＝OB，
∴平行四边形OBDC是菱形；
（2）解：①∠ABC＝45°时，CD是⊙O的切线，理由：
∵四边形OBDC是菱形，
∴∠OBD＝∠OCD＝2∠ABC，
∵∠ABC＝45°，
∴∠OBD＝∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半圆的半径，
∴CD是⊙O的切线，
故答案为：45；
②∵CD∥OB，
∴△CDF∽△BAF，
∴＝，
由（1）知，CD＝OA＝OB，
∴CD＝AB，
∴＝，
∵AE＝DE＝EF+DF，FD＝2，
∴AF＝AE+EF＝2EF+2，
＝，
∴EF＝1．
二十．作图—复杂作图（共3小题）
32．（2022•滨湖区一模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，DC＝4，AD＝2，AB＝BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
（1）求⊙O的半径；
（2）用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
【解答】解：（1）连接AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ADC＝∠DCE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝4，AD＝CE＝2，
设AB＝BC＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+EB2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
∴x＝5，
∴⊙O的半径为.
（2）连接AC，DE交于点J，作射线BJ交CD于点M．设BM交AE于点R．
∵AE∥CD，
∴∠JDM＝∠JER，
∵JD＝JE，∠DJM＝∠EJR，
∴△JDM≌△JER（ASA），
∴DM＝RE，
∵ER∥CM，
∴△BER∽△BCM，
∴＝＝＝．
33．（2022•秦淮区一模）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
（1）△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
（2）△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【解答】解：（1）如图1中，△ABC（AB＝AC）为所求．
（2）如图2中，△ABC（AB＝AC）为所求．
34．（2022•邳州市一模）如图，在▱ABCD中，AB＜BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接EF，证明四边形ABEF是菱形．
【解答】（1）解：如图．射线AE，线段DF即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠ABD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵BC＝AD，CE＝DF，
∴BE＝AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形．
二十一．作图—应用与设计作图（共3小题）
35．（2022•宜兴市一模）（1）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出D到AB的距离为 ．
（2）如图，已知入是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
（要求：用直尺和圆规作图且保留作图的痕迹）
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
设D到AB，BC的距离为h．则有•AB•h+•BC•h＝×2×4，
∴h＝．
（2）方法一：过点A作l的垂线，垂足为P，
作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O；
方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线，
过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．
36．（2022•秦淮区一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：如图，作CP⊥AB，垂足为P，作EQ⊥AB，垂足为Q，并交CD延长线于点N．
根据题意，得四边形CPQN是矩形．
∴CP＝NQ．
设CP的长为x m，则NQ＝x m，EN＝3x﹣x＝2x（m），
在Rt△ACP中，∠A＝30°，
∵sin30°＝，
∴AC＝＝＝2x，
在Rt△DEN中，∠EDN＝37°，
∵sin37°＝，
∴DE＝＝≈x，
∵AC+DE＝80，∴2x+x＝80，
解得x＝15，
3x＝45．
所以EF到AB的距离为45m ．
37．（2022•兴化市一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都等于1，点A、B在格点上，点C在网格线l上，先完成下面计算，再仅用无刻度的直尺完成下列作图．（不要求写出作图步骤，但要保留作图痕迹）
（1）AB＝ ；
（2）若AC+BC最小，请在图中作出点C；
（3）在（2）中，连接AC、BC，请借助已有网格图，作出△ABC的中线AM．
【解答】解：（1）AB＝＝，
故答案为：；
（2）如图，点C即为所求；
（3）如图线段AM即为所求．
二十二．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
38．（2022•鼓楼区一模）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD．
（1）求证∠CAB＝∠DAB；
（2）若将△ADB沿AB的垂直平分线翻折，则得到的三角形和△ACB可以拼成一个 矩形 （写出图形的形状）；
（3）若将△ADB进行一次图形变化，得到的三角形和△ACB拼成一个等腰三角形，请写出图形变化的过程．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），
∴∠CAB＝∠DAB；
（2）解：如图，作出线段AB的垂直平分线MN，再根据轴对称变换将△ADB沿MN翻折，变换后的图形为四边形ACBD′，
由折叠性质可得：
∠D′＝∠D＝90°，∠C＝90°，∠DAB＝∠D′BA，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵∠CAB＝∠DAB，
∴∠CBA+∠D′BA＝90°，
∴∠CBD′＝90°，
∴四边形ACBD′为矩形，
故答案为：矩形；
（3）方法一：如图，将△ADB以点B为旋转中心，旋转至BD与BC重合时，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴此时A，C，A1三点共线，
∵AB＝A1B，
∴△ABA1为等腰三角形；
方法二：如图，将△ADB以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴此时B，C，B2三点共线，
∵AB＝A2B，
∴△ABB2为等腰三角形；
综上，方法一：将△ADB以点B为旋转中心，旋转至BD与BC重合时，所形成的的三角形为等腰三角形；
方法二：将△ADB以点A为旋转中心，旋转至AD与AC重合时，所形成的三角形为等腰三角形．
二十三．作图-旋转变换（共1小题）
39．（2022•锡山区一模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画个中心对称四边形ABEF，使其面积为9；
（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称三角形CDG，使其面积为7.5．
【解答】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求；
（2）如图，三角形CDG即为所求．
二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2022•滨湖区一模）矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．
（1）若m＝6，n＝6，
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；
②当EB＝EP时，求线段BP的长；
（2）若m＝6，n＝8，△PEC面积的最大值为 （直接写出答案）．
【解答】解：（1）①如图1，当点E与点B重合时，AP⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝m＝6，AD＝n＝6，
∴∠BAD＝90°，BD＝＝＝12，
∴∠DAP+∠BAP＝90°，
∵AP⊥BD，
∴∠ABD+∠BAP＝90°，∠DPA＝∠DAB＝90°，
∴∠DAP＝∠DBA，
∴△DAP∽△DBA，
∴，即，
∴DP＝9；
②如图2，设AE交BD于点O，
∵EB＝EP，
∴∠EBP＝∠EPB，
∵∠ABP＝∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP，
∴AE垂直平分BP，
∴BP＝2BO，
由①得：DB＝12，DO＝9，
∴OB＝DB﹣DO＝12﹣9＝3，
∴BP＝2×3＝6；
（2）如图3，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，
∴∠PGB＝∠GBE＝∠BFP＝90°，
∴四边形PGBF是矩形，
同理：四边形AGHD，四边形GBCH，四边形PFCH都是矩形，
∴BG＝PF＝CH，AB＝CD＝6，AD＝GH＝BC＝8，PG＝BF，PH＝CF，
设PF＝x，PH＝y，则BG＝x，AG＝6﹣x，PG＝8﹣y，
∵S△BCD＝S△BCP+S△PCD，
∴×6×8＝×8x+×6y，
∴y＝8﹣x，
∴PG＝x，CF＝8﹣x，
∵∠APE＝∠GPF＝90°，
∴∠APG＝∠EPF，
∵∠PGA＝∠PFE＝90°，
∴△PGA∽△PFE，
∴，即，
∴EF＝，
∴CE＝EF+CF＝，
∴S△PEC＝•CE•PF
＝（）x
＝﹣（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，△PEC的面积最大，最大值为，
故答案为：．
二十五．相似形综合题（共1小题）
41．（2022•武进区一模）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 ；
（2）若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE•AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为（m＞0），▱A1B1C1D1的面积为（m＞0），求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．
【解答】解：（1）∵平行四边形有一个内角是120°，
∴α＝60°，
∴＝；
故答案为：；
（2），
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴S1＝ab，S2＝ah，sinα＝，
∴，
∵，
∴；
（3）如图2，
∵AB2＝AE•AD，
∴A1B12＝A1E1•A1D1，即，
∵∠B1A1E1＝∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1，
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝∠C1B1E1+∠A1B1E1＝∠A1B1C1，
由（2）知，；
可知＝＝，
∴sin∠A1B1C1＝，
∴∠A1B1C1＝45°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1＝45°．
二十六．解直角三角形的应用（共5小题）
42．（2022•建邺区一模）图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB＝6cm，BC＝4cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求点A到CD的距离．（精确到三位小数，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145，≈1.732）
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，过点A作AG⊥BF，交FB于点G，
则AE＝FG，∠BFC＝∠AGB＝90°，
∵∠BCD＝120°．
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠FBC＝90°﹣∠BCF＝30°，
在Rt△BCF中，BC＝4cm，
∴BF＝BC•sin60°＝4×＝2（cm），
∵∠ABC＝85°，
∴∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠FBC＝65°，
在Rt△ABG中，AB＝6cm，
∴BG＝AB•cos65°≈6×0.423＝2.538（cm），
∴AE＝FG＝BG+BF＝2.538+2≈6.002（cm），
∴点A到CD的距离约为6.002cm．
43．（2022•海陵区一模）如图1是一种手机支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．现量得CD＝10cm，AC＝12cm．
（1）当支撑板CD与底座DE的夹角（∠CDE）为60°时，求点C到底座DE的距离； （结果保留根号）
（2）小强在使用过程中发现，当∠CDE为60°且∠ACD为105°时，此支架使用起来最舒适，求此时点A到底座DE的距离． （结果精确到0.1，≈1.41，≈1.73）
【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝10cm，
∴CF＝CD•sin60°＝10×＝5（cm），
∴点C到底座DE的距离为5cm；
（2）过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CM⊥AG，垂足为M，
则MG＝CF＝5cm，MC∥DE，
∴∠MCD＝∠CDE＝60°，
∵∠ACD＝105°，
∴∠ACM＝∠ACD﹣∠MCD＝45°，
在Rt△ACM中，AC＝12cm，
∴AM＝AC•sin45°＝12×＝6（cm），
∴AG＝AM+MG＝6+5≈17.1（cm），
∴此时点A到底座DE的距离约为17.1cm．
44．（2022•玄武区一模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
【解答】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30•sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30•cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM•tan30°＝×24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
45．（2022•邳州市一模）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝10cm，AB＝20cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，）
【解答】解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴∠AMB＝∠BME＝∠CNM＝∠CDM＝∠CDB＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM＝CN，
在RtABM中，∠BAE＝60°，AB＝20cm，
∴∠ABM＝90°﹣∠BAE＝30°，
BM＝AB•sin60°＝20×＝10（cm），
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝70°，
在Rt△BCD中，BC＝10cm，
∴BD＝BC•sin70°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴DM＝BM﹣BD＝10﹣9.4≈7.9（cm），
∴DM＝CN＝7.9cm，
∴点C到AE的距离为7.9cm．
46．（2022•盐城一模）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．请用这一结论解答下列问题．
（1）如图1，入射光线AB经过平面镜OM与ON反射后的反射光线是CD，若CD∥AB，则∠MON的度数为 90° ．
（2）如图2是一种利用平面镜反射，放大微小变化的装置．手柄BP上的点C处安装一平面镜，BP与屏幕MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜C反射后，在MN上形成一个光点E．已知当AB⊥BP，MN⊥BP时，AB＝25，BC＝16，DE＝50．
①求BD的长．
②将手柄BP在原有位置绕点B按逆时针方向旋转一定角度α得到BP′（如图3），点C的对应点为C′，BP′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜C′反射后，在MN上的光点为E′．若，则D′E′的长为多少？
【解答】解：（1）90°
（2）①如图，由题意可得，∠ACB＝∠ECD，∠B＝∠EDC＝90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∵AB＝25，BC＝16，DE＝50，
∴，
∴CD＝32，
∴BD＝16+32＝48．
答：BD的长为48．
②如图，过点A作AF⊥BC′于点F，过点E′作E′G⊥BP′于点G
在Rt△BDD′中可求DD′＝14，BD′＝50
在Rt△ABF中可求BF＝7，AF＝24，得FC′＝9
可设D′G＝7k，GE′＝24k，则D′E′＝25k
得GC′＝50﹣16+7k＝34+7k
由△AFC′∽△E′GC′得
即，
解得k＝17
∴D′E′＝25k＝425．
二十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
47．（2022•鼓楼区一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表．
x
0
1
2
3
4
…
y
0
4.5
14
28.5
48
…
（1）用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；
（2）一架无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．
（参考数据：tan53°≈，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）
【解答】解：（1）猜想y与x是二次函数关系，
设y＝ax2+bx，
把（1，4.5）（2，14）代入得：，
解得：，
∴y＝2.5x2+2x，
当x＝3时，y＝2.5×9+6＝28.5，
当x＝4时，y＝2.5×16+8＝48，
∴y＝2.5x2+2x符合题意，
∴y与x之间的函数表达式为：y＝2.5x2+2x；
（2）设运动员滑行ts时，她恰在无人机的正下方，
此时运动员滑行了（2.5t2+2t）m，无人机飞行了6.3tm到达点P′，
过点P′作P′D⊥MN交AB于C，交MN于D，如图所示：
此时运动员滑行到点C，
∴BC＝AB﹣AC＝500﹣（2.5t2+2t），
过点A作AF⊥MN于F，过点A作AG⊥P′D于G，过点P作PE⊥AG于E，
则四边形AFDG与四边形PEGP′都是矩形，
∵AB＝500m，∠ABF＝26°，
∴AF＝GD＝AB×sin26°≈500×0.44＝220（m），∠GAC＝∠ABF＝26°，
∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，
∴PE＝P′G＝292﹣AF＝292﹣220＝72（m），
在Rt△AGC中，AG＝AC×cos26°≈（2.5t2+2t）×0.9＝2.25t2+1.8t，
∴AE＝AG﹣EG＝2.25t2+1.8t﹣6.3t＝2.25t2﹣4.5t，
在Rt△APE中，tan53°＝≈，
∴3×72＝4×（2.25t2﹣4.5t），
解得：t1＝6，t2＝﹣4（不合题意舍去），
∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方．
二十八．频数（率）分布直方图（共2小题）
48．（2022•宜兴市一模）某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A.50.5﹣60.5，B.60.5～70.5，C．70.5～﹣80.5，D.80.5～90.5，E．90.5～100.5．
并绘制成两个统计图．
（1）求频数分布直方图中的a，b的值；
（2）在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为n°，求n的值；
（3）求E组共有多少人？
（4）该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？
【解答】解：（1）a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40；
（2）n＝360×＝126；
（3）200﹣16﹣40﹣200×25%﹣70＝24（人），
答：E组有24人；
（4）1200×＝144（人），
答：估计全区获得一等奖的人数是144人．
49．（2022•邳州市一模）某学校九年级共有320名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
I．A课程成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
II．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 71 71 71 73 73.5 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5
Ⅲ．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表：
课程
平均数
中位数
众数
A
75.3
m
84.5
B
72.2
70
83
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ 76 ；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为75分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 B （填“A”或“B”），理由是 B课程成绩大于其中位数 ．
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数．
【解答】解：（1）∵随机抽取60名学生进行测试，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 73 73 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为＝76，即m＝76，
故答案为：76；
（2）B课程知识掌握的更好，
因为B课程成绩大于其中位数；
故答案为：B，B课程成绩大于其中位数；
（3）估计A课程成绩超过75.3分的人数为320×＝160（人）．
二十九．条形统计图（共2小题）
50．（2022•武进区一模）某地区对学生业余爱好进行抽样调查，被抽取的同学每人在下面五项：“游戏”，“动漫”，“篮球”，“舞蹈”“其它”中选一项最喜欢的活动，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了 320 名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）根据调查结果，估计该地区5000名学生中有多少人最喜欢“舞蹈”．
【解答】解：（1）这次抽样调查中，一共抽查的学生数是：96÷30%＝320（名），
故答案为：320；
（2）喜欢“游戏”的人数：320×25%＝80（名），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
5000×＝1000（名），
答：估计该地区5000名学生中有1000人最喜欢“舞蹈”．
51．（2022•常州一模）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 3 本；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：18÷30%＝60（人），
读书4本的学生有：60×20%＝12（人），
故本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为3本，
读书3本所占的百分比为：21÷60×100%＝35%，
故答案为：3；
补全的统计图如右图所示；
（2）＝3（本），
即本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数是3本；
（3）1200×10%＝120（人），
答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生有120人．
三十．列表法与树状图法（共8小题）
52．（2022•宜兴市一模）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）
（2）若甲队在第一局比赛中已取得1：0的领先，那么甲队最终获胜的概率为 ．（请值接写出答案）
【解答】解：（1）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率＝；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为11，
所以甲队最终获胜的概率．
故答案为：．
53．（2022•滨湖区一模）进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温
（1）甲同学通过A通道进入校园的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．
【解答】解：（1）甲同学通过A通道进入校园的概率是；
故答案为：；
（2）画出树状图如图：
共8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有2种，
则甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的概率为＝．
54．（2022•建邺区一模）如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的．
（1）甲的座位靠窗的概率是 ；
（2）求甲、乙两人座位相邻（座位C、D不算相邻）的概率．
【解答】解：（1）甲的座位靠窗的概率是，
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，
∴甲、乙两人座位相邻的概率为＝．
55．（2022•秦淮区一模）农历正月十五是我国的传统节日—元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅不同以外，其他都一样．
（1）圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；
（2）圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ．
【解答】解：（1）将2个芝麻馅的汤圆分别记作“芝麻1”、“芝麻2”，
圆圆从四个汤圆中吃了两个汤圆，可能出现的结果有6种，即（花生，豆沙），（花生，芝麻1），（花生，芝麻2），（豆沙，芝麻1），（豆沙，芝麻2），（芝麻1，芝麻2），并且它们出现的可能性相同．
其中两个汤圆都是芝麻馅（记为事件A）的结果有1种，即（芝麻1，芝麻2），
所以P（A）＝；
（2）∵共有四个汤圆，分别是一个是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅，
∴圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是；
故答案为：．
56．（2022•海陵区一模）小明在学习完电学知识后，用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个如图所示的电路图．
（1）在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于 ；
（2）任意闭合其中两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．
【解答】解：（1）在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果数为6，
所以小灯泡发光的概率为＝．
57．（2022•玄武区一模）一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是 ．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为＝．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，
∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率为＝，
故答案为：．
58．（2022•无锡一模）为做好新冠疫情大规模人群核酸检测工作，确保在规定时间内保质保量完成划定区域范围内全员核酸检测任务，检测机构在某小区设立A、B、C三个检测点进行核酸检测，该小区业主可在A、B、C三个检测点随机进行检测，张三和李四均按规定完成了核酸检测．
（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率．
【解答】解：（1）张三在检测点A做核酸检测的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∵共有9种等可能结果，其中张三和李四在同一个检测点做核酸检测有3种情况，
∴张三和李四在同一个检测点做核酸检测的概率是．
59．（2022•锡山区一模）一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率．
【解答】解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率为；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两位数不大于32的结果有8个，
∴两位数不大于32的概率为＝．
三十一．游戏公平性（共1小题）
60．（2022•常州一模）如图，有四张正面标有数字﹣2，﹣1，0，1，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从四张卡片中随机抽取一张卡片记下数字，小明再从余下的三张卡片中随机抽取一张卡片记下数字．设小红抽到的数字为x，小明抽到的数字为y，点A的坐标为（x，y）．
（1）请用列表法或画树状图的方法列出点A所有结果；
（2）若点A在坐标轴上，则小红胜；反之，则小明胜．请你用概率的相关知识解释这个游戏是否公平？
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的结果数；
（2）∵共有12种等可能的结果数，点A在坐标轴上有6种，
∴小红胜的概率是＝，
∴小明胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏公平．
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