2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）

这是一份2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（中档题），共87页。试卷主要包含了÷，其中a＝﹣2，解方程，解不等式组，之间的函数关系如图所示，之间的函数关系如图中的线段AB等内容，欢迎下载使用。

2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2022•玄武区二模）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣2．
二．解分式方程（共2小题）
2．（2022•鼓楼区校级二模）解方程：+＝1．
3．（2022•宜兴市二模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
三．分式方程的应用（共3小题）
4．（2022•丰县二模）金山银山不如绿水青山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树900棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？
5．（2022•仪征市二模）为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力，某校策划了以“拥抱自然”为主题的作文大赛，某班开展了此项活动，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如图所示．

试用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了？
6．（2022•鼓楼区二模）小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆．已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2022•灌南县二模）解不等式组：．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2022•金坛区二模）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），将点A向右平移3个单位长度，再向下平移a个单位长度得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，1），连接AD，BD，求△ABD的面积．

六．一次函数的应用（共3小题）
9．（2022•建湖县二模）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的1.5倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）若甲比乙晚3min到达B地，求甲整个行程所用的时间．

10．（2022•宿城区二模）随着电商时代发展，某水果商以“线上”与“线下”相结合的方式销售．我市瓯柑共1000箱，已知“线上”销售的每箱利润为50元．“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x箱（200≤x≤800）之间的函数关系如图中的线段AB．
（1）求y与x之间的函数关系．
（2）当“线下“的销售利润为28000元时，求x的值．
（3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用m（0＜m＜10），若“线上”与“线下”售完这1000箱瓯柑所获得的最大总利润为56250元，请求出m的值．

11．（2022•秦淮区二模）小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小明家与学校的距离是 　 　m，小明骑车的速度是 　 　m/min；
（2）求图中点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以300m/min的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待30s后以原速继续骑行，结果在离学校还有150m处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象．

七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2022•镇江二模）如图，点C的坐标为（﹣6，0），点A在y轴正半轴上，cos∠ACO＝，CB⊥CA，且CB＝CA．反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．

八．反比例函数的应用（共1小题）
13．（2022•玄武区二模）生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等．
【数学概念】
点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）用以下方式定义：k（A，B）＝．
【数学理解】
（1）点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，求证：k（A，B）是一个定值，并求出这个定值．
（2）点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，且x4﹣x3＝2．当k（C，D）＝﹣4时，则点C的坐标为 　 　．
（3）点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，且x5+x6＜2，求k（E，F）的取值范围．
【问题解决】
（4）实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离y（单位：m）是汽车速度x（单位：km/h）的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表：
汽车速度x
78
80
82
84
86
88
90
停车距离y
35.1
36.8
38.54
40.32
42.14
44
45.9
当x＝100时，y的值为 　 　．
九．二次函数的应用（共1小题）
14．（2022•玄武区二模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
（3）落点P与坡顶C之间的距离为 　 　m．

一十．二次函数综合题（共1小题）
15．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．
（1）求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；
（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；
（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．
一十一．全等三角形的判定与性质（共3小题）
16．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．

17．（2022•惠山区一模）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．

18．（2022•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．
（1）求证AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．

一十二．三角形综合题（共2小题）
19．（2022•建湖县二模）[问题情境]小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形：
如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC、AB为底边在线段AB的同侧作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于点D．当P、Q、B在同一直线上时，他发现：∠PAQ＝∠CPB．请帮他解释其中的道理；
[问题探究]
如图2，在上述情境下中的条件下，过点C作CE∥AP交PB于点E，若PD＝2CD，PA＝9，求CE的长．
[类比应用]
如图3，△ABC是某村的一个三角形鱼塘，点D、E分别在边AB、BC上，AE、CD的交点F为鱼塘的钓鱼台，测量知道∠CAD＝∠CDA＝67.5°，∠CEA＝2∠B，AD2＝（40000﹣20000）m2，且DB＝2AD．直接写出CF的长为 　 　m．


20．（2022•金坛区二模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P、H分别是边BC、AB上一点，将△BPH沿PH翻折，使得点B落在AB边上的点D处．
（1）如图1，PE平分∠CPD，交AC边于点E，连接DE．
①探索PE与AB的位置关系，证明你的结论；
②若AE＝DE，求△BPD的面积；
（2）连接CD，若∠CDA＝∠BPD，求BP的长．


一十三．平行四边形的判定与性质（共1小题）
21．（2022•海陵区二模）中国建筑师以潜望镜为灵感设计了一个在私密空间内也能享受到窗外美景的未来公共卫生间（如图1），该建筑总高BE＝6.2m，剖面设计如图2，BE⊥ED，CD⊥ED，AB∥CG∥ED，点F为CG与BE的交点，FE＝4.2m，其中HI为平面镜，在墙面BC上也全部安装与之贴合的镜面，HI∥BC，HI＝0.6m，HE＝1.2m，记BC与CG的夹角为α，AB与GF之间为外界光线入射的区域．（提示：法线垂直于平面镜，入射角等于反射角，外界射入的均为与地面平行的水平光线）
（1）如图3，当α＝60°时（其中，JK为入射光线，HK为反射光线，LK为法线）：
①求∠BKH的度数；
②若入射光线JK经平面镜BC反射后，刚好到达平面镜HI的最顶端H处成像，求该入射光线与地面的距离；
（2）当α＝45°时，利用图2分析，要在不影响观景体验的同时尽可能地节约建筑成本，可以在BC边上安装镜面时减少 　 　米耗材．（直接在横线上填写答案，参考数据：


一十四．菱形的判定（共1小题）
22．（2022•秦淮区二模）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，AD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）要使四边形ADCF是菱形，△ABC的边需要满足的条件是 　 　．

一十五．矩形的性质（共1小题）
23．（2022•江都区二模）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长．

一十六．矩形的判定（共1小题）
24．（2022•玄武区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．
（1）求证EF＝EC；
（2）连接AC，DF，若AC平分∠FCB，求证：四边形ACDF为矩形．

一十七．正方形的性质（共1小题）
25．（2022•武进区二模）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）设∠AEC＝α，∠AFD＝β，试求β关于α的表达式．

一十八．圆周角定理（共1小题）
26．（2022•秦淮区二模）如图，A，B是⊙O上的两点，点C在⊙O内，点D在⊙O外，AD，BD分别交⊙O于点E，F．求证∠ACB＞∠ADB．

一十九．切线的判定与性质（共1小题）
27．（2022•仪征市二模）如图，点D是Rt△ABC斜边AB上一点，且CD＝CB，点O在AC上，以O为圆心，OA为半径的⊙O经过点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若OA＝5，tan∠EDC＝，求CB的长．

二十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
28．（2022•鼓楼区二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，＝，点I为△ABC的内心，求GI的长．

二十一．作图—复杂作图（共6小题）
29．（2022•鼓楼区校级二模）尺规作图：如图，已知正方形ABCD，在边CD上求作一点P，使∠PBC＝15°．（保留作图痕迹，不写作法）

30．（2022•海陵区二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y＝的函数图象．
（1）如图1，点A是该函数图象第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO＝A'O，判断点A'是否为该函数图象第三象限上的点，并说明理由；
（2）如图2，点B、C均为该函数图象第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）

31．（2022•宜兴市二模）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，AC＜BC．
（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分△ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝10，AC＝2EC，求AE的长．

32．（2022•建湖县二模）如图，在▱ABCD中，点N在BC上，AB＝BN，BM平分∠ABC交AD于点M，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

（1）在图1中，过点A画出△ABM中BM边上的高AP，并证明你的结论；
（2）在图2中，过点C画出C到BM的垂线段CQ．

33．（2022•鼓楼区二模）尺规作图：如图，在▱ABCD的边AD上求作点P，使P分别满足以下要求：
（1）BP＝CP；
（2）BP＝AP+BC．

34．（2022•玄武区二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
（2）在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．

二十二．作图—应用与设计作图（共1小题）
35．（2022•镇江二模）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）D到AB的距离是 　 　．

二十三．相似三角形的判定与性质（共4小题）
36．（2022•仪征市二模）如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB＝4，∠D＝60°，求四边形ABFE的面积．

37．（2022•宿城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．

38．（2022•秦淮区二模）如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．
（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．
①求证：△BDF∽△CBA；
②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为 　 　．

39．（2022•鼓楼区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F，连接AF，其中AC＝3，BC＝4．
（1）求证：△CFA∽△CEB；
（2）当E从B运动到A时，F运动路径的长为 　 　．

二十四．相似形综合题（共1小题）
40．（2022•仪征市二模）如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，E垂足为点E、F．如果＝sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正DF平分线．
（1）如图2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，试说明AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
（2）如图3，若AD为△ABC关于∠CAB的正平分线，过点D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．
①试说明：四边形MNFD为正方形；
②若AB＝120，边AB上的高为80，tanB＝，求∠CAB的正平分线AD的长．


二十五．解直角三角形的应用（共3小题）
41．（2022•鼓楼区校级二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD＝10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：≈1.73）

42．（2022•镇江二模）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）

43．（2022•秦淮区二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．
（1）求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；
（2）比较路径①：A﹣C﹣D﹣B和路径②：A﹣E﹣F﹣B的长短，则较短路径为 　 　（填序号），两路径相差 　 　km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）

二十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
44．（2022•金坛区二模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

45．（2022•宿城区二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，求日光灯C到一楼地面的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）
46．（2022•玄武区二模）如图，山顶的正上方有一塔AB，为了测量塔AB的高度，在距山脚M一定距离的C处测得塔尖顶部A的仰角∠ACM＝37°，测得塔底部B的仰角∠BCM＝31°，然后沿CM方向前进30m到达D处，此时测得塔尖仰角∠ADM＝45°（C，D，M三点在同一直线上），求塔AB的高度．
（参考数据：tan31°≈0.60，tan37°≈0.75）

二十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
47．（2022•惠山区校级二模）如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．

二十八．扇形统计图（共2小题）
48．（2022•江都区二模）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注．学校为了了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成下列不完整的统计图：
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请计算扇形统计图中“3次“所对应的扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

49．（2022•广陵区二模）八（2）班数学兴趣小组分别调查了甲、乙两个小区居民的家庭人口数，并分别绘制了下面甲、乙的扇形统计图．
（1）在甲图中，求出该小区居民家庭人口数的众数、中位数和平均数；
（2）兴趣小组的小明认为：乙小区中人口数为3人的居民家庭比甲小区中人口数为3人的居民家庭多，你认为合理吗，为什么？

二十九．条形统计图（共2小题）
50．（2022•建湖县二模）李阿姨要在网上购买一台扫地机器人，她对某款扫地机器人的外观和功能比较满意，就进入评论区浏览购买过的人们对该商品的评价，在评论区中，好评，中评，差评的情况统计如图1：

（1）这款扫地机器人的好评率是　 　%；
（2）李阿姨把好评和中差评的原因进行分类整理，结果如图2：
①请分别求出由于物流服务原因给好评的用户人数和中差评的用户人数；
②李阿姨比较看重商品的质量，根据统计图提供的信息，你是否建议她购买这款扫地机器人？　 　（填“建议”，或“不建议”），理由是　 　．
51．（2022•宿城区二模）市教育局想知道某校学生对麋鹿自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有　 　名；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中的选项“D．不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为　 　°；
（4）若该校共有1000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于麋鹿自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？

三十．折线统计图（共1小题）
52．（2022•鼓楼区校级二模）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 　 　；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．

三十一．列表法与树状图法（共8小题）
53．（2022•鼓楼区校级二模）贴春联是中华民族的传统文化．不识字的王爷爷不小心将两副对联弄混了，已知这四张联纸上的文字分别是：①天涯若比邻，②修业勤为贵，③行文意必高，④海内存知己．若他任意取出两张联纸，求这两张联纸恰好组成一副对联的概率．
54．（2022•海陵区二模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
（1）从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 　 　．
（2）从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边形是平行四边形的概率．

55．（2022•宜兴市二模）某校共有2名男生和2名女生竞选学校学生会主席，现抽签决定演说顺序．
（1）第一个演说的是男生的概率是 　 　；
（2）求第一个和第二个演说的都是女生的概率．（请用画树状图或列表的形式给出分析过程）
56．（2022•建湖县二模）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小明想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 　 　；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率．
57．（2022•灌南县二模）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指对人体健康或者自然环境造成直接或潜在危害的、应当专门处置的有害垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指废塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小红各投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是A类的概率为 　 　；
（2）求小红投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
58．（2022•宿城区二模）第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”和D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．

（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 　 　；
（2）从中随机抽取两张，请你用列表或画树状图的方法，求两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的概率．
59．（2022•鼓楼区二模）2022年北京冬奥会用全新的方式向世界展示了一个文化自信、底蕴深厚的中国．小明和小颖都比较感兴趣的有：花样滑冰、冰壶、短道速滑、冬季两项，依次记为项目A，B，C，D．他们各自随机观看其中的两个项目．
（1）求小明观看的项目是A，B的概率；
（2）小明和小颖观看的项目完全不相同的概率是 　 　．
60．（2022•广陵区二模）口袋里装有1个红球和2个白球，这三个球除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从中摸出1个球，然后将取出的球放回袋里搅匀再摸出第2个球．
（1）求摸出的两个球都是红球的概率；
（2）写出一个概率为的事件．

2022年江苏省中考数学模拟题（二模）精选按题型分层分类汇编-06解答题（中档题）
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2022•玄武区二模）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣2．
【解答】解：（）÷
＝÷
＝
＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2时，
原式＝
＝
＝
＝1﹣．
二．解分式方程（共2小题）
2．（2022•鼓楼区校级二模）解方程：+＝1．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1得：2x﹣3＝x﹣1，
解得：x＝2，
检验：将x＝2代入x﹣1＝2﹣1＝1≠0．
所以x＝2是原分式方程的解，
即原方程的解为x＝2．
3．（2022•宜兴市二模）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣4得：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x﹣4≠0，
所以x＝3是原方程的解，
即原方程的解是x＝3；

（2）
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
三．分式方程的应用（共3小题）
4．（2022•丰县二模）金山银山不如绿水青山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树900棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务．原计划每天种树多少棵？
【解答】解：设原计划每天种树x棵．则实际每天种树1.5x棵，
由题意，得：＝+4，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种树75棵．
5．（2022•仪征市二模）为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力，某校策划了以“拥抱自然”为主题的作文大赛，某班开展了此项活动，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如图所示．

试用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了？
【解答】解：设软面笔记本的单价为x元，则硬面笔记本的单价为（x+3）元，
由题意得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
则＝2.4，
∵笔记本的数量为整数，
∴x＝5不合题意，
∴说学习委员搞错了．
6．（2022•鼓楼区二模）小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆．已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度．
【解答】解：设小明跑步的平均速度为xm/min，则小明骑车的平均速度为1.5xm/min，
根据题意得：﹣＝5.5，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．
答：小明跑步的平均速度为100m/min．
四．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2022•灌南县二模）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以不等式组的解集是x＞﹣．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2022•金坛区二模）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），将点A向右平移3个单位长度，再向下平移a个单位长度得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，1），连接AD，BD，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）把点A（3，4）代入y＝中得：k＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵将点A向右平移3个单位长度，再向下平移a个单位长度得到点B，
∴B（6，4﹣a），
∴6（4﹣a）＝12
∴a＝2
∴B（6，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴y＝﹣x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6）；
（2）由（1）知CD＝6﹣1＝5，
∴S△ABD＝S△BCD﹣S△ACD＝CD•|xB|﹣CD•|xA|＝×5×6﹣×5×3＝．
六．一次函数的应用（共3小题）
9．（2022•建湖县二模）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的1.5倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；
（2）若甲比乙晚3min到达B地，求甲整个行程所用的时间．

【解答】解：（1）如图：

（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，
由题意得：1.5v•t＝（t+1+3）v，
解得：t＝8，
8+1+3＝12（min），
答：甲整个行程所用的时间为12min．
10．（2022•宿城区二模）随着电商时代发展，某水果商以“线上”与“线下”相结合的方式销售．我市瓯柑共1000箱，已知“线上”销售的每箱利润为50元．“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x箱（200≤x≤800）之间的函数关系如图中的线段AB．
（1）求y与x之间的函数关系．
（2）当“线下“的销售利润为28000元时，求x的值．
（3）实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用m（0＜m＜10），若“线上”与“线下”售完这1000箱瓯柑所获得的最大总利润为56250元，请求出m的值．

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（200，75），（800，60）在该函数图象上，
∴，
解得，
即y与x的函数关系式为y＝﹣x+80（200≤x≤800）；
（2）由题意可得，xy＝28000，
又∵y＝﹣x+80，
∴x（﹣x+80）＝28000，
解得x1＝400，x2＝2800（舍去），
即x的值400；
（3）设“线下”销售瓯柑a箱，则“线上”销售瓯柑（1000﹣a）箱，总利润为w元，
由题意可得，w＝a（﹣a+80﹣m）+50（1000﹣a）＝﹣a2+（30﹣m）a+50000，
该函数的对称轴为直线a＝﹣＝600﹣20m，
∵0＜m＜10，
∴400＜600﹣20m＜600，
∵“线上”与“线下”售完这1000箱榴莲所获得的最大总利润为56250元，
∴当a＝600﹣20m时，﹣（600﹣20m）2+（30﹣m）（600﹣20m）+50000＝56250，
化简，得m2﹣60m+275＝0，
解得m1＝5，m2＝55（舍去），
∴m＝5．
11．（2022•秦淮区二模）小明骑自行车从家匀速驶往学校，经过一个路口时恰好遇到红灯，红灯变成绿灯后，小明立即以原速骑到学校．在整个过程中，小明离家的距离y1（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小明家与学校的距离是 　1500　m，小明骑车的速度是 　150　m/min；
（2）求图中点A的坐标，并解释它的实际意义；
（3）小明从家出发一段时间后，妈妈发现粗心的小明把数学书忘在家里了，于是立即从家出发，沿着小明上学的路线骑电动车以300m/min的速度追赶小明，经过路口时遇到红灯，等待30s后以原速继续骑行，结果在离学校还有150m处追上小明．在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象．

【解答】解：（1）由图象可知，小明家与学校的距离是1500m，小明骑车的速度是600÷4＝150（m/min），
故答案为：1500；150；
（2）点A的横坐标为11﹣（1500﹣600）÷150＝5，
故点A的坐标为（5，600），它的实际意义小明骑5分钟后离家距离为600米；
（3）妈妈追上小明时，小明骑了10分钟，故妈妈从出发到追上小明所以时间为：（1500﹣150）÷300+＝4.5，
10﹣4.5﹣0.5＝5（min），
故小明出发5分钟后，妈妈开始出发，
在图中画出妈妈从出发到追上小明的过程中，她离家的距离y2（m）与小明出发的时间x（min）之间的函数图象如下：

七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
12．（2022•镇江二模）如图，点C的坐标为（﹣6，0），点A在y轴正半轴上，cos∠ACO＝，CB⊥CA，且CB＝CA．反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．

【解答】解：（1）∵点C的坐标为（﹣6，0）
∴OC＝6
∵cos∠ACO＝＝，
∴AC＝10，AO＝＝8，
∴点A的坐标是（0，8）；

（2）作BH⊥x轴于点H，
则∠BHC＝∠COA＝90°，
∵CB⊥CA，
∴∠BCH＝∠CAO＝90°﹣∠ACO，
∴△BHC∽△COA，
∴＝＝＝，
∴CH＝4，BH＝3，
∴点B的坐标是（﹣10，3），
∴k＝﹣10×3＝﹣30，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．

八．反比例函数的应用（共1小题）
13．（2022•玄武区二模）生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等．
【数学概念】
点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）用以下方式定义：k（A，B）＝．
【数学理解】
（1）点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，求证：k（A，B）是一个定值，并求出这个定值．
（2）点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，且x4﹣x3＝2．当k（C，D）＝﹣4时，则点C的坐标为 　（，10）　．
（3）点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，且x5+x6＜2，求k（E，F）的取值范围．
【问题解决】
（4）实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离y（单位：m）是汽车速度x（单位：km/h）的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表：
汽车速度x
78
80
82
84
86
88
90
停车距离y
35.1
36.8
38.54
40.32
42.14
44
45.9
当x＝100时，y的值为 　56　．
【解答】（1）证明：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，
∴y1＝﹣2x1+4，y2＝﹣2x2+4，
∴k（A，B）＝＝＝＝＝﹣2，
∴k（A，B）是一个定值，这个定值为﹣2；
（2）解：∵点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，
∴y3＝，y4＝，
∴k（C，D）＝＝＝﹣＝﹣4，
∴x3•x4＝，
又∵x4﹣x3＝2，
∴联立方程组，
解得，
∴y3＝＝＝10，
∴C（，10），
故答案为：（，10）；
（3）解：∵点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，
∴y5＝﹣2x+8x5﹣3，y6＝﹣2x+8x6﹣3，
∴k（E，F）＝＝＝8﹣2（x5+x6），
∵x5+x6＜2，
∴﹣2（x5+x6）＞﹣4，
∴﹣2（x5+x6）+8＞4，
∴k（E，F）＞4；
（4）解：∵y与x的关系是二次函数，
∴设y与x的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
把x＝80，y＝36.8，x＝82，y＝38.54，x＝90，y＝45.9代入解析式得：
，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝0.005x2+0.06x，
∴当x＝100时，y＝0.005×10000+0.06×100＝56．
故答案为：56．
九．二次函数的应用（共1小题）
14．（2022•玄武区二模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70m，坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
（3）落点P与坡顶C之间的距离为 　50　m．

【解答】解：（1）∵OA为70m，
∴A（0，70），
设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，
把（0，70）（4，75）（8，78）代入得，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（2）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，

∵坡高OC为60m，着陆坡BC的坡度（即tanα）为3：4，
∴OB＝80m，即B（80，0），
设线段BC的关系式为y＝kx+b，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，
设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），
则MN＝﹣a2+a+70+﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离是30.25米；
（3）如图，

由题意得﹣x2+x+70＝﹣x+60，
解得x1＝40，x2＝﹣4（舍去），即P（40，30），
∴PD＝40米，OD＝30米，
∴CD＝60﹣30＝30（米），
∴PC＝＝50（米），
答：落点P与坡顶C之间的距离为50米，
故答案为：50．
一十．二次函数综合题（共1小题）
15．（2022•广陵区校级二模）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝﹣x+6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．
（1）求函数y1和y2图象的交点坐标，并直接写出y0关于x的函数关系式；
（2）现有二次函数y＝x2﹣8x+c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；
（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴函数y1和y2图象交点坐标（2，4）；
y0关于x的函数关系式为y0＝ ；

（2）∵对于函数y0，y0随x的增大而减小，
∴y0＝﹣x+6（x ≥2），
又∵函数y＝x 2﹣8x+c的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0，
∴当x＜4时，y随x的增大而减小，
∴2≤x ＜4；

（3）①若函数y＝x 2﹣8x+c与y0＝﹣x+6只有一个交点，且交点在2＜x ＜4范围内，
则x 2﹣8x+c＝﹣x+6，即x 2﹣7x+（ c﹣6）＝0，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4（ c﹣6）＝73﹣4c＝0，
解得c＝ ，
此时x1＝x2＝ ，符合2＜x ＜4，
∴c＝ ；
②若函数y＝x 2﹣8x+c与y0＝﹣x+6有两个交点，其中一个在2＜x ＜4范围内，另一个在2＜x ＜4范围外，
∴Δ＝73﹣4c＞0，
解得c ＜ ，
∵对于函数y0，当x＝2时，y0＝4；当x＝4时y0＝2，
又∵当2＜x ＜4时，y随x的增大而减小，
若y＝x 2﹣8x+c与y0＝﹣x+6在2＜x ＜4内有一个交点，
则当x＝2时y＞y0；当x＝4时y＜y0，
即当x＝2时，y≥4；当x＝4时，y≤2，
∴，
解得16＜c ＜18，
又c ＜ ，
∴16＜c ＜18，
综上所述，c的取值范围是：c＝ 或16＜c ＜18．
一十一．全等三角形的判定与性质（共3小题）
16．（2022•丰县二模）如图，点F是△ABC的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，DF＝EF，连接CE．
（1）求证：△ADF≌△CEF；
（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的长．

【解答】（1）证明：∵F为AC的中点，
∴AF＝CF，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；

（2）解：∵△ADF≌△CEF，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∵DE∥BC，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE，
∵DE＝4，
∴BC＝4．
17．（2022•惠山区一模）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．

【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．
18．（2022•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．
（1）求证AD＝AB；
（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵BC＝BD，AC＝AC，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴AB＝AD；
（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，

∵△ACB≌△ACD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴＝，
∴BC＝CE，
∵BC＝CD＝6，
∴CE＝CD＝6，
∴∠D＝∠CED，
∵AB＝AC，AB＝AD，
∴AD＝AC，
∴∠ACD＝∠D，
∴∠CED＝∠ACD，
∴△DEC∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），
∴AD＝AE+DE＝9，
∴AB＝AC＝AD＝9，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝3，
∴AF＝＝＝6，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，
∴（6﹣r）2+32＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
一十二．三角形综合题（共2小题）
19．（2022•建湖县二模）[问题情境]小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形：
如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC、AB为底边在线段AB的同侧作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ，PC、AQ相交于点D．当P、Q、B在同一直线上时，他发现：∠PAQ＝∠CPB．请帮他解释其中的道理；
[问题探究]
如图2，在上述情境下中的条件下，过点C作CE∥AP交PB于点E，若PD＝2CD，PA＝9，求CE的长．
[类比应用]
如图3，△ABC是某村的一个三角形鱼塘，点D、E分别在边AB、BC上，AE、CD的交点F为鱼塘的钓鱼台，测量知道∠CAD＝∠CDA＝67.5°，∠CEA＝2∠B，AD2＝（40000﹣20000）m2，且DB＝2AD．直接写出CF的长为 　　m．


【解答】解：（1）∵AP＝PC，AQ＝BQ，
∴∠PAC＝∠PCA，∠B＝∠QAB，
∵∠PCA＝∠B+∠CPB，∠PAC＝∠PAQ+∠QAB，
∴∠PAQ＝∠CPB；
（2）由（1）可知，∠PAQ＝∠CPB，
∴∠PAD＝∠CPE，
∵PD＝2CD，PC＝9，
∴PA＝PC＝9，PD＝PC＝6，
∵CE∥PA，
∴∠APD＝∠PCE，
在△PAD和△CPE中，
，
∴△PAD≌△CPE（ASA），
∴CE＝PD＝6；
（3）过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠CAD＝∠CDA＝67.5°，
∴AC＝CD，∠ACD＝180°﹣∠CAD＝∠CDA＝45°，
在Rt△CDH中，sin∠ACD＝，
∴CD＝DH，
设DH＝k，则AC＝CD＝k，CH＝k，AH＝AC﹣CH＝（﹣1）k，
在Rt△ADH中，AD2＝AH2+DH2，
∴40000﹣20000＝，
解得，k＝100，
∴AC＝100（m），
过点D作DG∥AC交BC于G，

∴△DGB∽△ACB，
∴，
∴，
∴DG＝（m），
由[问题探究]可知△PAD≌△CPE，
∴CF＝DG＝（m），
故答案为：．
20．（2022•金坛区二模）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P、H分别是边BC、AB上一点，将△BPH沿PH翻折，使得点B落在AB边上的点D处．
（1）如图1，PE平分∠CPD，交AC边于点E，连接DE．
①探索PE与AB的位置关系，证明你的结论；
②若AE＝DE，求△BPD的面积；
（2）连接CD，若∠CDA＝∠BPD，求BP的长．


【解答】解：（1）①PE∥AB，
证明：∵PE平分∠CPD，
∴∠CPE＝∠DPE，
∵∠CPD＝∠B+∠BDP，∠B＝∠BDP，
∴∠CPE＝∠B，
∴PE∥AB；
②∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵PE∥AB，
∴∠EAD＝∠CEP，∠EDA＝∠PED，
∴∠CEP＝∠PED，
∵∠B+∠A＝90°，
∴∠BDP+∠ADE＝90°，
∴∠PDE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴PC＝PD，
∵PB＝PD，
∴PB＝PC，
∵BC＝8，
∴BP＝4，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴sinB＝，
∴PH＝BP•sinB＝4×＝，BH＝BP•cosB＝4×＝，
∴＝＝；
（2）取AB的中点F，连接CF，则AF＝BF＝CF＝5，

∴∠B＝∠BCF，∠FCA＝∠A，
∴∠CFD＝2∠B＝∠CPD，
∵∠CDA＝∠BPD，
∴∠CDF＝∠CPD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴CD＝CF＝5，
∵∠CPD＝∠CDB，∠PCD＝∠DCB，
∴△CDP∽△CBD，
∴，
∴CD2＝CP•CB，
∴CP＝，
∴BP＝8﹣＝．
一十三．平行四边形的判定与性质（共1小题）
21．（2022•海陵区二模）中国建筑师以潜望镜为灵感设计了一个在私密空间内也能享受到窗外美景的未来公共卫生间（如图1），该建筑总高BE＝6.2m，剖面设计如图2，BE⊥ED，CD⊥ED，AB∥CG∥ED，点F为CG与BE的交点，FE＝4.2m，其中HI为平面镜，在墙面BC上也全部安装与之贴合的镜面，HI∥BC，HI＝0.6m，HE＝1.2m，记BC与CG的夹角为α，AB与GF之间为外界光线入射的区域．（提示：法线垂直于平面镜，入射角等于反射角，外界射入的均为与地面平行的水平光线）
（1）如图3，当α＝60°时（其中，JK为入射光线，HK为反射光线，LK为法线）：
①求∠BKH的度数；
②若入射光线JK经平面镜BC反射后，刚好到达平面镜HI的最顶端H处成像，求该入射光线与地面的距离；
（2）当α＝45°时，利用图2分析，要在不影响观景体验的同时尽可能地节约建筑成本，可以在BC边上安装镜面时减少 　2.22　米耗材．（直接在横线上填写答案，参考数据：


【解答】解：①∵法线LK垂直于平面镜BC，
∴∠BKL＝∠LKC＝90°，
∵JK∥GC，
∴∠BKJ＝∠BCG＝α＝60°，
∴∠JKL＝30°，
∴∠LKH＝∠JKL＝30°，
∴∠BKH＝∠BKL+∠LHK＝120°；
②由①可知，∠BKJ＝60°，
∴∠KBN＝30°，
∵∠BKH＝120°，
∴∠BHK＝30°，
∴∠KBN＝∠BHK＝30°，
∴BK＝KH，
∵KN⊥BH，
∴N为BH中点，
∴BN＝NH＝BH，
∵HE＝1.2，BE＝6.2，
∴BH＝BE﹣HE＝5，
∴NH＝BH＝2.5，NE＝NH+HE＝3.7，
∴入射光线与地面的距离为3.7米；
（2）当∠BCG＝α＝45°时，∠CBF＝45°，
∵HI∥BC，
∴∠IHE＝∠CBF＝45°，
假设入射光MP经镜面反射正好到达I处，
∵LP⊥BC，
∴∠BPL＝90°，
∵AB∥CG，
∴∠BPM＝∠BCG＝45°，
∴∠MPL＝45°，
∴∠LPI＝∠MPL＝45°，
∴∠MPI＝90°，
∴BH⊥PI，
∵BP∥HI，
∴四边形BPIH为平行四边形，
∴BP＝HI＝0.6，
当入射光线到达镜面在P点之下时，反射后也无法到达HL，
∴只需要在BP处安装镜面，
∵BF＝BE﹣EF＝2，
∴BC＝＝＝2.82，
∴BC﹣BP＝2.22，
即可减少2.22米耗材，
故答案为：2.22．
一十四．菱形的判定（共1小题）
22．（2022•秦淮区二模）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，AD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）要使四边形ADCF是菱形，△ABC的边需要满足的条件是 　AB2+AC2＝BC2　．

【解答】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴AE＝EC，DE∥AB，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）解：AB2+AC2＝BC2，四边形ADCF是菱形，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝90°，
∴DF⊥AC，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形．
故答案为：AB2+AC2＝BC2．
一十五．矩形的性质（共1小题）
23．（2022•江都区二模）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，菱形ABCD的周长是20，求FH的长．

【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE，
（2）如图，连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，
又∵AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴EG＝AB，
∵菱形ABCD的周长是20，
∴AB＝5＝EG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴FH＝EG＝5．

一十六．矩形的判定（共1小题）
24．（2022•玄武区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．
（1）求证EF＝EC；
（2）连接AC，DF，若AC平分∠FCB，求证：四边形ACDF为矩形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EDC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
∵AE＝DE，∠FEA＝∠DEC，∠FAE＝∠EDC，
∴△EAF≌△DEC（ASA），
∴EF＝EC；
（2）如图，

∵EF＝EC，AE＝DE，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵AC平分∠FCB，
∴∠ACE＝∠ECA，
∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴AE＝CE，即AD＝FC，
∴四边形ACDF为矩形．
一十七．正方形的性质（共1小题）
25．（2022•武进区二模）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）设∠AEC＝α，∠AFD＝β，试求β关于α的表达式．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝α，
∴∠CEB＝α＝∠AEB，
∴∠DEF＝α，
∴∠AFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣45°﹣α＝β．
∴β＝135°﹣α．

一十八．圆周角定理（共1小题）
26．（2022•秦淮区二模）如图，A，B是⊙O上的两点，点C在⊙O内，点D在⊙O外，AD，BD分别交⊙O于点E，F．求证∠ACB＞∠ADB．

【解答】解：延长AC交⊙O于M，连接BM，BE，

∵∠ACB＞∠AMB，∠AEB＞∠ADB，
又∵∠AMB＝∠AEB，
∴∠ACB＞∠ADB．
一十九．切线的判定与性质（共1小题）
27．（2022•仪征市二模）如图，点D是Rt△ABC斜边AB上一点，且CD＝CB，点O在AC上，以O为圆心，OA为半径的⊙O经过点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若OA＝5，tan∠EDC＝，求CB的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD＝CB，OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，∠B＝∠CDB，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DC与⊙O相切；
（2）解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADO+∠ODE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A+∠ODE＝90°，
∵∠CDE+∠ODE＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∴tanA＝tan∠EDC＝＝，
∵∠A＝∠CDE，∠ACD＝∠DCE，
∴△ADC∽△DEC，
∴＝＝2，
设CE＝x，CD＝2x，
∵∠ODC＝90°，
∴OD2+CD2＝OC2，
∴52+（2x）2＝（5+x）2，
∴x＝，
∴BC＝CD＝．

二十．三角形的内切圆与内心（共1小题）
28．（2022•鼓楼区二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，＝，点I为△ABC的内心，求GI的长．

【解答】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴＝，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴＝＝，
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴＝，
∴＝，
∴BG＝4（负值舍去），
∴GI的长为4．

二十一．作图—复杂作图（共6小题）
29．（2022•鼓楼区校级二模）尺规作图：如图，已知正方形ABCD，在边CD上求作一点P，使∠PBC＝15°．（保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：如图，点P即为所求．

30．（2022•海陵区二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y＝的函数图象．
（1）如图1，点A是该函数图象第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO＝A'O，判断点A'是否为该函数图象第三象限上的点，并说明理由；
（2）如图2，点B、C均为该函数图象第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）

【解答】解：（1）结论：点A'是该函数图象第三象限上的点．
理由：如图1中，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F．

在△AOE和△A′OF中，
，
∴△AOE≌△A′OF（AAS），
∴AE＝A′F，OE＝OF，
设A（m，n），则A′（﹣m，﹣n），
∵点A在y＝的图象上，
∴mn＝3，
∴﹣m×（﹣n）＝mn＝3，
∴A′在反比例函数y＝的图象上．
即点A'是该函数图象第三象限上的点；

（2）如图，点D′即为所求．

31．（2022•宜兴市二模）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，AC＜BC．
（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分△ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝10，AC＝2EC，求AE的长．

【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求作．


（2）连接AE．∵AC＝2CE，
∴可以假设EC＝m，则AC＝2m，BE＝3m，
∴CB＝4m，
∴CA2＝CE•CB，
∴＝，
∵∠ACE＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝＝＝，
∴AE＝AB＝5．
32．（2022•建湖县二模）如图，在▱ABCD中，点N在BC上，AB＝BN，BM平分∠ABC交AD于点M，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

（1）在图1中，过点A画出△ABM中BM边上的高AP，并证明你的结论；
（2）在图2中，过点C画出C到BM的垂线段CQ．

【解答】解：（1）如图1中，线段AP即为所求．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠AMB＝∠NBM，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠NBM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝BN，
∴AM＝BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AM＝AB，
∴四边形ABNM是菱形，
∴AN⊥BM，
∴线段AP即为所求．

（2）如图，线段CQ即为所求．

33．（2022•鼓楼区二模）尺规作图：如图，在▱ABCD的边AD上求作点P，使P分别满足以下要求：
（1）BP＝CP；
（2）BP＝AP+BC．

【解答】解：（1）如图1在中，点P即为所求；
（2）如图2中，点P即为所求．

34．（2022•玄武区二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
（2）在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．

【解答】解：（1）如图①中，∠BMC即为所求；
（2）如图②中，∠BNC即为所求．

二十二．作图—应用与设计作图（共1小题）
35．（2022•镇江二模）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）D到AB的距离是 　　．

【解答】解：（1）如图，点D即为所求．


（2）设点D到AB的距离为x，则有S△ABC＝•AB•h+•BC•h，
∴×2×4＝×5×h+×2×h，
∴h＝．
故答案为：．
二十三．相似三角形的判定与性质（共4小题）
36．（2022•仪征市二模）如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABFE是菱形；
（2）若AB＝4，∠D＝60°，求四边形ABFE的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
∴四边形ABFE是菱形；
（2）解：如图，过点A作AH⊥BF于H，

∴∠AHB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴AH＝，
由（1）知四边形ABFE是菱形，
∴BF＝AB＝4，
∴四边形ABFE的面积＝BF×AH＝4×＝8．
37．（2022•宿城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BF＝BD．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：如图，连接OE，

∵BF＝BD，
∴∠F＝∠BDF，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠BDF，
∴∠OED＝∠BFD，
∴OE∥BF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，

∵tan∠EDB＝2，∠EDB＝∠F
∴tanF＝，
∵CF＝1，
∴CE＝2，
∴EF＝＝，
∵BD是直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠BEF＝90°，
又∵∠ECF＝90°，∠F＝∠F，
∴△ECF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BF＝5，
∴⊙O的半径＝．
38．（2022•秦淮区二模）如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．
（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．
①求证：△BDF∽△CBA；
②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为 　　．

【解答】解：（1）作图如下：

（2）①如下图：

∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵EB＝EC，
∴∠EBD＝∠C，
∴△BDF∽△CBA；
②过点A作AH⊥BD于点H，

∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵cos∠ABH＝，
∴＝，
∴BH＝，
∵AB＝AD，
∴BD＝2BH＝，
由①知△BDF∽△CBA，
∴，
即，
解得DF＝，
故答案为：．
39．（2022•鼓楼区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F，连接AF，其中AC＝3，BC＝4．
（1）求证：△CFA∽△CEB；
（2）当E从B运动到A时，F运动路径的长为 　　．

【解答】（1）证明：∵CE⊥CF，
∴∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
∵∠AFC+∠AEC＝180°，∠CEB+∠AEC＝180°，
∴∠AFC＝∠CEB，
∴△CFA∽△CEB；

（2）解：在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵△CFA∽△CEB，
∴＝，∠CAF＝∠B，
∴AF＝BE，
∴点F的运动轨迹是射线AF，
∴当E从B运动到A时，F运动路径的长为×5＝，
故答案为：．
二十四．相似形综合题（共1小题）
40．（2022•仪征市二模）如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，E垂足为点E、F．如果＝sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正DF平分线．
（1）如图2，AB＝AC，∠CAB＝45°，BD＝CD，试说明AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
（2）如图3，若AD为△ABC关于∠CAB的正平分线，过点D作DF⊥AB，DM//AB，MN⊥AB．
①试说明：四边形MNFD为正方形；
②若AB＝120，边AB上的高为80，tanB＝，求∠CAB的正平分线AD的长．


【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠CED＝∠BFD＝90°，
∴△CDE∽△BDF，
∴，
∵∠CAB＝45°，
∴＝sin∠CAB，
∴AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
（2）①证明：∵DF⊥AB，DM∥AB，MN⊥AB，
∴DM⊥MN，
∴∠DMN＝∠MNF＝∠DFN＝90°，
∴四边形DFNM是矩形，
∵DM∥AB，
∴∠CMD＝∠CAB，
∴sin∠CAB＝sin∠CMD，
∴，
∴DF＝DM，
∴四边形MNFD为正方形；
②解：过点C作CH⊥AB于点H，交MD于点G，

∵tanB＝，
设DF＝4x，
∴FB＝3x，DM＝4x，
∵DM∥AB，
∴△CMD∽△CAB，
∴，
∴CG＝x，
∴，
解得x＝12，
∴DF＝48，AF＝AB﹣FB＝84，
∴AD＝＝＝12．
二十五．解直角三角形的应用（共3小题）
41．（2022•鼓楼区校级二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD＝10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：≈1.73）

【解答】解：由题意得：∠DAB＝37.5°+7.5°＝45°．
设AB＝xcm，则DB＝xcm，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
∵tan∠CAB＝，
∴BC＝AB•tan∠CAB＝x，
∵CD＝BD﹣BC，
∴x﹣x＝10，
∴x≈23.65．
因此，平面镜放置点与墙面的距离AB是23.65cm．
42．（2022•镇江二模）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：（1）连接OP，

∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA＝PO＝45cm，
∵PC⊥BC，
∴∠PCO＝90°，
∵BC＝12cm，OB＝24cm，
∴OC＝OB+BC＝36（cm），
∴PC＝＝＝27（cm），
∴PC的长为27cm；
（2）过点D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，过点D作DF⊥PC，垂足为F，

由题意得：
DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC＝60°，
∵D为AO的中点，
∴OD＝OA＝12（cm），
在Rt△DOE中，DE＝DO•sin60°＝12×＝6（cm），
OE＝DO•cos60°＝12×＝6（cm），
∴DE＝CF＝6cm，DF＝EC＝OE+OB+OC＝42（cm），
∵DF∥EC，
∴∠FDO＝∠DOE＝60°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠PDF＝∠PDO﹣∠FDO＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝DF•tan30°＝42×＝14（cm），
∴PC＝PF+CF＝20≈34.6（cm），
∴PC的长约为34.6cm．
43．（2022•秦淮区二模）如图，一条宽为0.5km的河的两岸PQ，MN互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥CD，EF．测得公路AC的长为6km，公路AC，AE与河岸PQ的夹角分别为45°，71.6°，公路BD，BF与河岸MN的夹角分别为60°，30°．
（1）求两座桥CD，EF之间的距离（精确到0.1km）；
（2）比较路径①：A﹣C﹣D﹣B和路径②：A﹣E﹣F﹣B的长短，则较短路径为 　①　（填序号），两路径相差 　0.5　km（精确到0.1km）．（参考数据：tan71.6°≈3.0，≈1.41，≈1.73，≈2.24．）

【解答】解：（1）过点A作AG⊥PQ，垂足为G，

在Rt△ACG中，AC＝6km，∠ACG＝45°，
∴AG＝AC•sin45°＝6×＝3（km），
CG＝AC•cos45°＝6×＝3（km），
在Rt△AEG中，∠AEG＝71.6°，
∴EG＝≈＝（cm），
∴CE＝CG﹣EG＝3﹣＝2≈2.8（km），
∴两座桥CD，EF之间的距离约为2.8km；
（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为Q，

由题意得：
CE＝DF＝2km，
∵∠BDH是△BDF的一个外角，
∴∠FBD＝∠BDH﹣∠BFD＝30°，
∴∠BFD＝∠DBF＝30°，
∴DB＝DF＝2km，
在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，
∴BH＝BD•sin60°＝2×＝，
∴BF＝2BH＝2（km），
在Rt△AEG中，AE＝＝＝2，
∴路径①的长＝AC+CD+BD＝6+0.5+2≈9.32（km），
路径②的长＝AE+EF+BF＝2+0.5+2≈9.86（km），
9.86﹣9.32≈0.5（km），
∴较短路径为：①，两路径相差0.5km，
故答案为：①，0.5．


二十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
44．（2022•金坛区二模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

【解答】解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，
∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，
∴令CF＝k，则AF＝2.4k，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
CF2+AF2＝AC2，
∴k2+（2.4k）2＝262，
解得k＝10，
∴AF＝24，CF＝10，
∴EF＝30，
在Rt△DEF中，tanE＝，
∴DF＝EF•tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，
∴CD＝DF﹣CF＝23.3，
因此，古树CD的高度约为23.3m．

45．（2022•宿城区二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯，图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面的距离AD＝1.8m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL（BL∥MN）向正前方走了2m，发现日光灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m，求日光灯C到一楼地面的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）
【解答】解：过点C作CF⊥MN于F、交BL于G，过点B作BE⊥MN于E，过点D作DJ⊥CF于J、交BE于H，如图（2）所示：
则BG＝2m，四边形BEFG、四边形ADJF是矩形，∠CDJ＝37°，
∴EF＝BG＝2m，AD＝FJ＝1.8m，AF＝DJ，
设AE＝xm，
∵AB的坡度为1：2.4，
∴＝，
∴BE＝xm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+（x）2＝132，
解得：x＝12（m），
∴AF＝AE+EF＝12+2＝14（m），
∴DJ＝14m，
在Rt△CDJ中，tan∠CDJ＝，
∴≈0.75，
∴CJ＝10.5（m），
∴CF＝CJ+FJ＝10.5+1.8＝12.3（m），即日光灯C到一楼地面的高度为12.3m．

46．（2022•玄武区二模）如图，山顶的正上方有一塔AB，为了测量塔AB的高度，在距山脚M一定距离的C处测得塔尖顶部A的仰角∠ACM＝37°，测得塔底部B的仰角∠BCM＝31°，然后沿CM方向前进30m到达D处，此时测得塔尖仰角∠ADM＝45°（C，D，M三点在同一直线上），求塔AB的高度．
（参考数据：tan31°≈0.60，tan37°≈0.75）

【解答】解：延长AB交CM于点E，

设DE＝x米，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
∴AE＝DE•tan45°＝x（米），
∵CD＝30米，
∴CE＝CD+DE＝（x+30）米，
在Rt△AEC中，∠ACE＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
∴x＝90，
经检验：x＝90是原方程的根，
∴AE＝90米，CE＝120米，
在Rt△BCE中，∠BCE＝31°，
∴BE＝CE•tan31°≈120×0.6＝72（米），
∴AB＝AE﹣BE＝90﹣72＝18（米），
∴塔AB的高度约为18米．

二十七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
47．（2022•惠山区校级二模）如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．

【解答】解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝
∴AC＝40（海里），
即此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
即此时“昆明舰”的航行距离为（60﹣20）海里．

二十八．扇形统计图（共2小题）
48．（2022•江都区二模）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注．学校为了了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成下列不完整的统计图：
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　17　，b＝　20　；
（2）请计算扇形统计图中“3次“所对应的扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

【解答】解：（1）13÷26%＝50人，a＝50﹣7﹣13﹣10﹣3＝17，10÷50＝20%，即，b＝20，
故答案为：17，20．
（2）360°×20%＝72°，
答：扇形统计图中“3次“所对应的扇形的圆心角的度数为72°．
（3）2000×＝120人，
答：该校2000名学生中在一周内借阅图书“4次及以上”的约有120人．
49．（2022•广陵区二模）八（2）班数学兴趣小组分别调查了甲、乙两个小区居民的家庭人口数，并分别绘制了下面甲、乙的扇形统计图．
（1）在甲图中，求出该小区居民家庭人口数的众数、中位数和平均数；
（2）兴趣小组的小明认为：乙小区中人口数为3人的居民家庭比甲小区中人口数为3人的居民家庭多，你认为合理吗，为什么？

【解答】解：（1）该小区居民家庭人口数的众数为3人，中位数为3人，平均数为＝3.2人．
（2）不合理．由甲乙两图可知：乙小区中人口数为3人的居民家庭占的百分比比甲小区中人口数为3人的居民家庭占的百分比大，不能说明乙小区中人口数为3人的居民家庭比甲小区中人口数为3人的居民家庭多，因为各小区中人口总数可能不同．如果甲小区中有200人，乙小区中有100人，那么乙小区中人口数为3人的居民家庭比甲小区中人口数为3人的居民家庭少．
二十九．条形统计图（共2小题）
50．（2022•建湖县二模）李阿姨要在网上购买一台扫地机器人，她对某款扫地机器人的外观和功能比较满意，就进入评论区浏览购买过的人们对该商品的评价，在评论区中，好评，中评，差评的情况统计如图1：

（1）这款扫地机器人的好评率是　90　%；
（2）李阿姨把好评和中差评的原因进行分类整理，结果如图2：
①请分别求出由于物流服务原因给好评的用户人数和中差评的用户人数；
②李阿姨比较看重商品的质量，根据统计图提供的信息，你是否建议她购买这款扫地机器人？　建议　（填“建议”，或“不建议”），理由是　在好评用户中，商品质量原因的占85%，说明绝大部分用户对商品质量比较满意；中差评用户中，商品质量原因的占10%，说明该商品出现质量问题的可能性很小　．
【解答】解：（1）由图1可得，
这款扫地机器人的好评率是：180÷（180+4+16）×100%＝180÷200×100%＝90%，
故答案为：90；
（2）①180×10%＝18（人），
（4+16）×35%＝20×35%＝7（人），
即由于物流服务原因给好评的用户有18人，中差评的用户有7人；
②建议，
理由：在好评用户中，商品质量原因的占85%，说明绝大部分用户对商品质量比较满意；中差评用户中，商品质量原因的占10%，说明该商品出现质量问题的可能性很小．
51．（2022•宿城区二模）市教育局想知道某校学生对麋鹿自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有　100　名；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中的选项“D．不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为　36　°；
（4）若该校共有1000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于麋鹿自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？

【解答】解：（1）从条形图知“了解较少”的有30名，从扇形图知“了解较少”占30%，
所以抽查的学生数为：30÷30%＝100（名）；
故答案为：100；
（2）因为100﹣20﹣30﹣10＝40（名）；
补全图形如下：

（3）扇形图中的选项“D．不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为360°×＝36°，
故答案为：36；
（4）“十分了解”和“了解较多”的学生占抽查学生数的百分比为：×100%＝60%，
所以1000×60%＝600（名），
答：估计该校对于麋鹿自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有600名．
三十．折线统计图（共1小题）
52．（2022•鼓楼区校级二模）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 　100　；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．

【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数＝26+32＝58（人），
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8（人），补全折线图如下：

（3）1000×10%＝100（人），
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人．
三十一．列表法与树状图法（共8小题）
53．（2022•鼓楼区校级二模）贴春联是中华民族的传统文化．不识字的王爷爷不小心将两副对联弄混了，已知这四张联纸上的文字分别是：①天涯若比邻，②修业勤为贵，③行文意必高，④海内存知己．若他任意取出两张联纸，求这两张联纸恰好组成一副对联的概率．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中这两张联纸恰好组成一副对联的有4种结果，
所以这两张联纸恰好组成一副对联的概率为＝．
54．（2022•海陵区二模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．
（1）从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率是 　　．
（2）从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画四边形是平行四边形的概率．

【解答】解：（1）从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，共有4种可能，
其中选取C或E或F点时，所画三角形是等腰三角形，
∴所画三角形是等腰三角形的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中以这两点及点C、F为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的结果有4种，即AB、AE、BA、EA，
∴所画四边形是平行四边形的概率为＝．
55．（2022•宜兴市二模）某校共有2名男生和2名女生竞选学校学生会主席，现抽签决定演说顺序．
（1）第一个演说的是男生的概率是 　　；
（2）求第一个和第二个演说的都是女生的概率．（请用画树状图或列表的形式给出分析过程）
【解答】解：（1）∵共有2名男生和2名女生竞选学校学生会主席，
∴第一个演说的是男生的概率是＝，
故答案为：；
（2）画树状图图如下：

共有12种等可能的情况，其中第一个和第二个演说的都是女生的情况有2种，
∴第一个和第二个演说的都是女生的概率为＝．
56．（2022•建湖县二模）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小明想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 　　；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率．
【解答】解：（1）小明想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为，
故答案为：；
（2）根据题意可以画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的有2种结果，
所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率为＝．
57．（2022•灌南县二模）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指对人体健康或者自然环境造成直接或潜在危害的、应当专门处置的有害垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指废塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小红各投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是A类的概率为 　　；
（2）求小红投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
【解答】解：小明投放的垃圾恰好是A类的概率为；
故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

由图可知，共有16种可能结果，其中小红投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，
所以小红投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为＝．
58．（2022•宿城区二模）第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”和D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀．

（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 　　；
（2）从中随机抽取两张，请你用列表或画树状图的方法，求两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的概率．
【解答】解：（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下，

∵共12种等可能情况，其中两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的有2种结果，
∴两张卡片的图案上是B．“高山滑雪”和D．“钢架雪车”运动项目的概率为＝．
59．（2022•鼓楼区二模）2022年北京冬奥会用全新的方式向世界展示了一个文化自信、底蕴深厚的中国．小明和小颖都比较感兴趣的有：花样滑冰、冰壶、短道速滑、冬季两项，依次记为项目A，B，C，D．他们各自随机观看其中的两个项目．
（1）求小明观看的项目是A，B的概率；
（2）小明和小颖观看的项目完全不相同的概率是 　　．
【解答】解：（1）小明观看的项目共有AB、AC、AD、BC、BD、CD这六种等可能结果，其中小明观看的项目是A，B的只有1种结果，
所以小明观看的项目是A，B的概率为；
（2）列表如下：

AB
AC
AD
BC
BD
CD
AB
（AB，AB）
（AC，AB）
（AD，AB）
（BC，AB）
（BD，AB）
（CD，AB）
AC
（AB，AC）
（AC，AC）
（AD，AC）
（BC，AC）
（BD，AC）
（CD，AC）
AD
（AB，AD）
（AC，AD）
（AD，AD）
（BC，AD）
（BD，AD）
（CD，AD）
BC
（AB，BC）
（AC，BC）
（AD，BC）
（BC，BC）
（BD，BC）
（CD，BC）
BD
（AB，BD）
（AC，BD）
（AD，BD）
（BC，BD）
（BD，BD）
（CD，BD）
CD
（AB，CD）
（AC，CD）
（AD，CD）
（BC，CD）
（BD，CD）
（CD，CD）
由表知，共有36种等可能结果，其中小明和小颖观看的项目完全不相同的有6种结果，
所以小明和小颖观看的项目完全不相同的概率为＝，
故答案为：．
60．（2022•广陵区二模）口袋里装有1个红球和2个白球，这三个球除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从中摸出1个球，然后将取出的球放回袋里搅匀再摸出第2个球．
（1）求摸出的两个球都是红球的概率；
（2）写出一个概率为的事件．
【解答】解：（1）摸两次球共有3×3＝9种情况，两个都是红球的情况数只有1种，
P（摸出两个红球）＝．
（2）摸出两个白球（或摸出一红一白球），是概率为的事件．