高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.1 实数指数幂和幂函数综合训练题

4.1   实数指数幂和幂函数  同步课时训练

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)

1、(4分)若过点可以作曲线的两条切线，则(   )

A. B. C. D.

2、(4分)已知幂函数的图象不过原点，则实数(   )

A.1 B.-1 C.4 D.-4

3、(4分)设，，，则(   )

A. B. C. D.

4、(4分)幂函数的图象过点,则该幂函数的解析式为(   )

A. B. C.  D.

5、(4分)已知幂函数在上是减函数，则的值为（    ）

A.1或 B.1 C. D.

6、(4分)若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（    ）

A. B. C. D.

7、(4分)已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8、(4分)已知，则下列大小比较正确的是（   ）

A.     B.      C. D.

9、(4分)已知幂函数的图象过点．设，，，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

10、(4分)下列函数是幂函数且在上是减函数的是(   )

A. B. C. D.

二、填空题(共25分)

11、(5分)若幂函数的图像过点，则的值为__________.

12、(5分)已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.

13、(5分)已知 分别满足下列关系:, 则 的大小关系（从 小到大书写）:____________.

14、(5分)已知数列满足，，则_______.

15、(5分)对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若，，那么当足够大时，一定要____________填≥，>，≤，<)．

三、解答题(共35分)

16、(8分)已知幂函数在上是单调递减函数.

（1）求m的值；

（2）若在区间上恒成立，求实数a的取值范围.

17、(9分)已知幂函数在上单调递增，函数.

(1)求m的值；

(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，若，求实数k的取值范围.

18、(9分)已知幂函数为偶函数.

（1）求的值；

（2）若，求实数a的值.

19、(9分)已知幂函数为偶函数，且在区间内是单调递增函数．

（1）求函数的解析式；

（）设函数，若对任意恒成立，求实数λ的取值范围．

参考答案

1、答案：D

解析：因为曲线在R上单调递增，根据其图象可知要过点作曲线的两条切线，则点应在曲线与x轴之间，即.

2、答案：B

解析：本题考查幂函数性质.幂函数不过原点，则，解得.

3、答案：B

解析：本题考查幂函数的大小比较.构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故.

4、答案：B

解析：设幂函数(a为常数)，幂函数的图象过点，，即，解得，.故选：B.

5、答案：D

解析：依题意是幂函数，所以，解得或.

当时，在递增，不符合题意.

当时，在递减，符合题意.

故选：D

6、答案：A

解析：因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 ，
所以函数 中，
令 ，解得 ，所以 ，
所以 的图象过定点.
故选 : A.

7、答案：C

解析：因为幂函数的图像过点，

所以，所以，所以，

由于函数在上单调递增，所以，解得：．

故的取值范围是.故选：C.

8、答案：C

解析：因为，即，

，

，即，

所以可得：，

故选：C．

9、答案：D

解析： ∵幂函数 的图象过点
，
且 ，
求得 故



故选 :D.

10、答案：D

解析：形如的是幂函数，且当时，其在是减函数.故选D.

11、答案：

解析：

12、答案：

解析：本题考查幂函数的性质应用.是定义域为的递减函数，，则，解得.

13、答案：

解析：

14、答案：5

解析：由，得，，即，又，所以是首项为9，公差为3的等差数列，因此，所以，所以，故.

15、答案：>;>

解析：由于，则函数为增函数，而在时也是增函数，
不过该函数的增长速度要比函数的增长速度小，

根据函数与互为反函数，得到它们的图象关于直线直线对称，
可知当x足够大时，，，的大小关系是，
故答案为：>，>．
 

16、答案：（1）

（2）

解析：（1）在区间上是单调递减函数，则，
解得，又，所以.

（2），则在上恒成立，
则，可知当时，，
所以实数a的取值范围是.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)为幂函数，，或2.

当时，在上单调递增，满足题意；

当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.

.

(2)由(1)知，.

，在上单调递增，，.

，，

解得.

故实数k的取值范围为.

18、答案：（1）由题意知，解得或，

当时，，为奇函数，不满足题意；

当时，，满足题意，

，

.

（2）由和可得，即或，

或.

解析：

19、答案：（1）∵幂函数为偶函数，且在区间内是单调递增函数

∴，解得

又，∴

∵为偶函数，∴应为偶数

∴

（2）∵

∴对任意恒成立，即对任意恒成立

∴对任意恒成立

∵，∴当时，其最大值为

∴

解析：