2021-2022学年四川省广元市剑阁县八年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年四川省广元市剑阁县八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（共10小题，共30分.）

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

3. 下列各图中，不能表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：

该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 关于函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象必经过 B. 随的增大而增大
C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时，

7. 如图，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为，则，间的距离为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分对角

9. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知，两地间有汽车站，客车由地驶向站、货车由地经过站去地客货车在，两地间沿同一条路行驶，两车同时出发，匀速行驶，中间不停留货车的速度是客车速度的如图所示是客、货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系图象．小明由图象信息得出如下结论：客车速度为千米时货车由地到地用小时货车由地出发行驶千米到达站客车行驶千米时与货车相遇．你认为正确的结论有个(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（共6小题，共24分）

11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 菱形的两条对角线分别为，，则它的面积是______．
13. 如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则______．

14. 若一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差为______．
15. 如图所示，圆柱形玻璃容器，高，底面周长为，在外侧下底面点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点处有一飞蛾，急于捕获飞蛾充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是______玻璃容器壁厚度忽略不计
16. 如图，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点
    ，，连接，，给出下列四个结论：；；；一定是等腰三角形，其中正确的结论序号是______．

三、解答题（共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题
    计算：．
18. 本小题
    如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，求证：．

19. 本小题
    已知，求的值．
20. 本小题
    为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中户家庭一年的月平均用水量单位：吨并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
    请将条形统计图补充完整；
    求这个样本数据的平均数，众数和中位数；
    根据样本数据，估计黄冈市直机关户家庭中月平均用水量不超过吨的约有多少户？

21. 本小题
    如图，四边形是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测
    量得知：，，，，，求四边形的面积．

22. 本小题
    在矩形中，点在边上，，，垂足为．
    求证：；
    若，且，求的长．

23. 本小题
    习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在月日世界读书日之前，同时购进，两类图书，已知类图书每本的进价元，类图书每本的进价元．
    该书店计划用元全部购进两类图书，设购进类本，类本，求关于的关系式；
    进货时，类图书的购进数量不少于本，已知类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元，若书店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
24. 本小题
    如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于分别交于点、点，直线的解析式为，直线的解析式为，两直线交于点，且：：．
    求直线的解析式；
    将直线向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过点，且与轴交于点，求四边形的面积．

25. 本小题
    数学课上，张老师给出了一个问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：．
    小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取的中点，连接，则可以证明．
    请你写出证明过程．
    在此基础上，小颖提出：如图，如果把“点是边的中点”改为“点是边上除、外的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
    如图，如果点是的延长线上除点外的任意一点，其他条件不变，结论“”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
     

26. 本小题
    如图，已知直线经过、两点．
    
    求直线的解析式；
    若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上．
    求点和点的坐标；
    若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

解：．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

2.【答案】 

解：，
以，，为边不能组成三角形，即也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形三边关系定理即可判断；先求两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等，即可判断选项C、选项B、选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形三边关系定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

解：对于函数，给定一个自变量的值，都有唯一的值与其对应，
，，都不符合题意，符合题意，
故选：．
根据函数的概念判断即可．
本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．根据销量大的尺码就是这组数据的众数即可解答．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
【解答】
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：．  

5.【答案】 

解：、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式性质逐个判断即可．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握合并二次根式法则及二次根式的相关性质，比如．
 

6.【答案】 

解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
A、时，，故图象必经过，故错误，
B、，则随的增大而减小，故错误，
C、，，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
D、当时，，正确；
故选：．
根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键，根据三角形中位线定理解答．
【解答】
解：点，是，的中点，
，
，
故选B．  

8.【答案】 

解：、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项错误；
B、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项错误；
C、对角线互相平分，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项正确；
D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项错误；
故选：．
根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
此题考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，注意掌握正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．
先根据函数和的图象相交于点，求出的值，从而得出点的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式的解集．
【解答】
解：函数和的图象相交于点，
，
，
点的坐标是，
不等式的解集为；
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数图象性质以及方程思想的实际应用，解答时要注意数形结合．根据图象确定两车速度和距离，问题可解．
【解答】
解：由已知，折线为货车与地之间距离与时间之间的函数图象．则可知客车速度为千米时，则货车速度为千米时
故错误；
由图象可知，之间距离为千米，则距离为千米，货车从到用时为小时，故正确；
两车在同时出发相向而行，到相遇时经过小时，则客车行驶千米，故正确；
故选D．  

11.【答案】 

解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
 

12.【答案】 

解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据，
故答案为：．
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
本题考查了根据对角线计算菱形的面积的方法，本题中根据菱形对角线求得菱形的面积是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出、及之间的关系是解答此题的关键．
先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可得出的值．
【解答】
解：中，，
，
，
、，，
．
故答案为：．  

14.【答案】 

解：由题意得：，
数据的方差，
故答案为：．
先由平均数的公式计算出的值，再根据方差的公式计算．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

15.【答案】 

解：如图：
高，底面周长为，
，，
连接，则即为最短距离，
．
故答案为：．
将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
 

16.【答案】 

解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，，，
≌，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
符合题意；
四边形是矩形，
，，，
≌，
，
，
符合题意；
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
符合题意；
点在上，
只有或或时，才是等腰三角形，
不符合题意；
故答案为：．
由正方形的性质证明≌，得出，由，证明四边形是矩形，得出，进而得出，符合题意；由矩形的性质证明≌，得出，进而得出，符合题意；由正方形的性质结合矩形的性质得出是等腰直角三角形，进而得出，符合题意；只有或或时，才是等腰三角形，不符合题意；即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判断等知识是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是边，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得，；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．
 

19.【答案】解：根据题意知，，
解得：，
当时，，
则． 

【解析】根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，解不等式组可得的值，代入等式得的值，继而可得答案．
本题考查了二次根式的有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

20.【答案】解：根据条形图可得出：
平均用水吨的用户为：户，
如图所示：

平均数为：吨，
根据出现次数最多，故众数为：，
根据个数据的最中间为第和第个数据，
按大小排列后第，个数据是，故中位数为：；
答：这个样本数据的平均数，众数和中位数分别是，，；
样本中不超过吨的有户，
答：黄冈市直机关户家庭中月平均用水量不超过吨的约有：户． 

【解析】根据条形图中数据得出平均用水吨的户数，进而画出条形图即可；
根据平均数、中位数、众的定义分别求解即可；
根据样本估计总体得出答案即可．
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

21.【答案】解：连接，如图，
在中，，，
，
在中，，，
，
为直角三角形，．
，
，
，
答：四边形的面积． 

【解析】连接，由勾股定理求出，利用勾股定理逆定理证得为直角三角形，分别求出和的面积，即可求出求四边形面积．
本题主要考查利用勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，并能熟练掌握勾股定理及逆定理．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】由可证≌，可得；
由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意得：
，
；
根据题意得：
，
，
随的增大而减小．
，且为整数，
当时，有最大值，最大值为，
．
当购进类图书本，类图书本时，该书店所获利润最大，为元． 

【解析】根据“用元全部购进两类图书，设购进类本，类本”即可得出关于的关系式；
根据“类图书每本的售价为元，类图书每本的售价为元”可得出两类图书的利润，再根据类图书所获利润类图书所获利润，可得关于的关系式，利用一次函数的性质可得最大利润．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是找到等量关系得出与的函数关系式．
 

24.【答案】解：将点代入直线的解析式，
解得，
点的坐标为，
：：，，
，
点坐标为，
将点，点，
代入直线的解析式中，
解得
所以直线解析式为．
当时，，解得，
所以点坐标为，
直线向下平移一定的距离，平移后的直线经过点，且与轴交于点，
设直线的解析式为，
把代入得，
所以直线的解析式为．
所以点的坐标为．
如图，

作轴于点，
所以四边形的面积为：
．
答：四边形的面积为． 

【解析】将点代入直线的解析式，求出的值，得点的坐标，再根据：：，求出的长，可得点坐标，进而可求得直线的解析式；
根据直线向下平移一定的距离，使得平移后的直线经过点，求出直线的解析式，可得点坐标，再根据割补法求得四边形的面积．
本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质、两条直线相交或平行问题，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

25.【答案】证明：如图，

四边形是正方形，
，，
点、分别是边、的中点，
，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，
，
，，
，
≌，
；
解：正确．
如图，在上取一点，使，连接，

，
，，
是正方形外交的平分线，
，，
同可证明≌，
；
成立．
理由如下：如图，延长到，使，

，
．
，
，
．
，
，
即．
，
．
在与中，
，
≌，
． 

【解析】取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定≌，从而得到；
如图，在上取一点，使，连接，方法同可得出结论；
延长到，使，根据已知及正方形的性质利用判定≌，从而得到．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

26.【答案】解：将，代入得：
，解得：，
直线的表达式为；

，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
设，则点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为，点的坐标为；
存在，设点的坐标为．
分两种情况考虑，
当为边时，

点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
或，
或，
点的坐标为或；
当为对角线时，

点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为，
，
，
点的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或 

【解析】根据点，的坐标，利用待定系数可求出直线的表达式；
证明≌，利用全等三角形的性质可求出、的长，进而可得出点、的坐标；
设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值．综上，此题得解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式；利用全等三角形的判定和性质求解；分为边和为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标．