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2021-2022学年四川省广元市剑阁县剑州中学九年级（上）期中数学试卷（解析版）
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这是一份2021-2022学年四川省广元市剑阁县剑州中学九年级（上）期中数学试卷（解析版），共19页。
2017-2018学年四川省广元市剑阁县剑州中学九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．6
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3
8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20
9．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE
10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）
11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x= ．
12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k= ．
13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程 ．
14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了 度．
15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 cm．
16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是 ．
17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是 ．
18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为 ．
19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 个点．
20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为 ．
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
三．解答题（本大题共8个小题，共60分）
21．（12分）解方程
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（2）x2﹣2x﹣3=0．
22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：
（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．
（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．
（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．
24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？
25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．
26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
2017-2018学年四川省广元市剑阁县剑州中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个．故选B．
2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选：B．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，[来源:Z§xx§k.Com]
即（x﹣1）2=6．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
故选：B．
4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．6
【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2=5．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：旋转后得到的点A′与点A成中心对称，旋转后A′的坐标为（﹣2，﹣3），所以在第三象限．
故选：C．
6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：∵∠BOC=60°，
∴∠BAC=∠BOC=30°．
故选：D．
7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3
【解答】解：抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（﹣1，3），
所以平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+3．
故选：A．
8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20
【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×=20．
故选：B．
9．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴CE=DE，即AB为CD的垂直平分线，
∴AC=AD；
∴选项B、C正确；
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴∠COE=∠DOE，
∴选项A正确；
故选：D．
10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得
EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2
即s=x2+（1﹣x）2．
s=2x2﹣2x+1，
∴所求函数是一个开口向上，
对称轴是直线x=．
∴自变量的取值范围是大于0小于1．
故选：B．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）
11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x= ﹣2 ．
【解答】解：由对称轴公式：对称轴是直线x=﹣=﹣=﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k= 1 ．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
又∵x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，
∴x1•0=k﹣1，
解得k=1．
13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程 7800（x+1）2=9100 ．
【解答】解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：7800（x+1）2=9100．
故答案为：7800（x+1）2=9100．
14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了 270 度．
【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60=6°，
那么45分钟，分针旋转了45×6°=270°．
故答案为：270．
15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 cm．
【解答】解：连接AC，则∠ACB=90°．
∵E是的中点，OE交弦BC于点D，
∴OE⊥CD，CD=BD=BC=×8=4cm．
设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r．
故OB2=OD2+BD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得：r=5．
故AB=2r=2×5=10cm．
在Rt△ABC中，AC===6cm．
在Rt△ADC中，AC=6cm，CD=4cm，
故AD===2（cm）．
16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是 （4，5） ．
【解答】解：∵x=﹣=﹣=1．
∴P（﹣2，5）关于对称轴的对称点Q的坐标是（4，5）．
故点Q的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是 k＞且k≠1 ．
【解答】解：∵a=k﹣1，b=﹣4，c=﹣5，方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=16﹣4×（﹣5）×（k﹣1）=20k﹣4＞0，
∴k＞，
又∵二次项系数不为0，
∴k≠1，
即k≥且k≠1．
18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为 30°或150° ．
【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，
∴弦AB所对的圆心角=60°，
①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，
②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．
∴圆周角的度数为30°或150°；
故答案为：30°或150°．
19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 n2﹣n+1 个点．
【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；则第n个图中有n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1个点．
20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为 x1＜a＜b＜x2 ．
【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
x1＜a＜b＜x2，
故答案为：x1＜a＜b＜x2．
三．解答题（本大题共8个小题，共60分）
21．（12分）解方程
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（2）x2﹣2x﹣3=0．
【解答】解：（1）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，
x﹣2=0或3x﹣6﹣x=0，
所以x1=2，x2=3；
（2）（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=﹣1．
22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【解答】（1）证明：∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵△=1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣9k+20=0，
解得：k1=4，k2=5．
当k=4时，原方程为x2﹣9x+20=0，
∴x1=4，x2=5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x2﹣11x+30=0，
解得：x1=5，x2=6．
∵5、5、6能围成等腰三角形，
∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：
（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．
（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．
（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，A''B''C''即为所求；
（3）如图，P'（2.5，0）．
24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？
【解答】解：由题意，得
（350﹣10x）（x﹣21）=400，
解得：x1=25，x2=31．
∵x＜21（1+20%），
∴x＜25.2．
∴x=31应舍去．
∴x=25．
答：每件衣服的售价为25元．
25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2﹣AG2=52﹣42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r﹣3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r﹣3）2+42，
解得r=，（8分）
∴⊙O的半径为cm．
26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
解得：m=﹣，
即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=，y=﹣=﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF=﹣1=，
∵直线AC的解析式为y=x﹣1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，
又∵AC==3，
∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．
2017-2018学年四川省广元市剑阁县剑州中学九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．6
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3
8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20
9．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE
10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）
11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x= ．
12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k= ．
13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程 ．
14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了 度．
15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 cm．
16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是 ．
17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是 ．
18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为 ．
19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 个点．
20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为 ．
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三．解答题（本大题共8个小题，共60分）
21．（12分）解方程
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（2）x2﹣2x﹣3=0．
22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：
（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．
（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．
（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．
24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？
25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．
26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
2017-2018学年四川省广元市剑阁县剑州中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在艺术字中，有些字母是中心对称图形，下面的5个字母中，是中心对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：H、I、N是中心对称图形，所以是中心对称图形的有3个．故选B．
2．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选：B．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，[来源:Z§xx§k.Com]
即（x﹣1）2=6．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
故选：B．
4．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．5 C．﹣5 D．6
【解答】解：依据一元二次方程根与系数得：x1+x2=5．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：旋转后得到的点A′与点A成中心对称，旋转后A′的坐标为（﹣2，﹣3），所以在第三象限．
故选：C．
6．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠BOC=60°，则圆周角∠BAC等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：∵∠BOC=60°，
∴∠BAC=∠BOC=30°．
故选：D．
7．（3分）把抛物线y=﹣x2向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2+3 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+3 D．y=（x+1）2+3
【解答】解：抛物线y=﹣x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移一个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（﹣1，3），
所以平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+3．
故选：A．
8．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20
【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×=20．
故选：B．
9．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．AC=AD D．OE=BE
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴CE=DE，即AB为CD的垂直平分线，
∴AC=AD；
∴选项B、C正确；
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴∠COE=∠DOE，
∴选项A正确；
故选：D．
10．（3分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，
∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得
EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2
即s=x2+（1﹣x）2．
s=2x2﹣2x+1，
∴所求函数是一个开口向上，
对称轴是直线x=．
∴自变量的取值范围是大于0小于1．
故选：B．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.把答案填在题中横线上）
11．（3分）已知抛物线y=x2+4x+5的对称轴是直线x= ﹣2 ．
【解答】解：由对称轴公式：对称轴是直线x=﹣=﹣=﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，则k= 1 ．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
又∵x2+2x+k﹣1=0的一个根是0，
∴x1•0=k﹣1，
解得k=1．
13．（3分）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程 7800（x+1）2=9100 ．
【解答】解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：7800（x+1）2=9100．
故答案为：7800（x+1）2=9100．
14．（3分）钟表的运动可以看作是一种旋转现象，那么分针匀速旋转时，它的旋转中心是钟表的旋转轴的轴心，经过45分钟旋转了 270 度．
【解答】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60=6°，
那么45分钟，分针旋转了45×6°=270°．
故答案为：270．
15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为 cm．
【解答】解：连接AC，则∠ACB=90°．
∵E是的中点，OE交弦BC于点D，
∴OE⊥CD，CD=BD=BC=×8=4cm．
设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r．
故OB2=OD2+BD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得：r=5．
故AB=2r=2×5=10cm．
在Rt△ABC中，AC===6cm．
在Rt△ADC中，AC=6cm，CD=4cm，
故AD===2（cm）．
16．（3分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是 （4，5） ．
【解答】解：∵x=﹣=﹣=1．
∴P（﹣2，5）关于对称轴的对称点Q的坐标是（4，5）．
故点Q的坐标是（4，5）．
故答案为：（4，5）．
17．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是 k＞且k≠1 ．
【解答】解：∵a=k﹣1，b=﹣4，c=﹣5，方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=16﹣4×（﹣5）×（k﹣1）=20k﹣4＞0，
∴k＞，
又∵二次项系数不为0，
∴k≠1，
即k≥且k≠1．
18．（3分）已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为6cm，则弦AB所对的圆周角的度数为 30°或150° ．
【解答】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，
∴弦AB所对的圆心角=60°，
①圆周角在优弧上时，圆周角=30°，
②圆周角在劣弧上时，圆周角=180°﹣30°=150°．
∴圆周角的度数为30°或150°；
故答案为：30°或150°．
19．（3分）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 n2﹣n+1 个点．
【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；则第n个图中有n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1个点．
20．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为 x1＜a＜b＜x2 ．
【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
x1＜a＜b＜x2，
故答案为：x1＜a＜b＜x2．
三．解答题（本大题共8个小题，共60分）
21．（12分）解方程
（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）
（2）x2﹣2x﹣3=0．
【解答】解：（1）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，
x﹣2=0或3x﹣6﹣x=0，
所以x1=2，x2=3；
（2）（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=﹣1．
22．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【解答】（1）证明：∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵△=1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣9k+20=0，
解得：k1=4，k2=5．
当k=4时，原方程为x2﹣9x+20=0，
∴x1=4，x2=5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x2﹣11x+30=0，
解得：x1=5，x2=6．
∵5、5、6能围成等腰三角形，
∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
23．（9分）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答：
（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C．
（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．
（3）△A′B′C与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）如图，A''B''C''即为所求；
（3）如图，P'（2.5，0）．
24．（9分）某百货商店从一制衣厂以每件21元的价格购进一批服装，若以每件衣服售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件衣服加价不能超过20%，商店计划要盈利400元，需要卖出多少件衣服？每件衣服售价多少元？
【解答】解：由题意，得
（350﹣10x）（x﹣21）=400，
解得：x1=25，x2=31．
∵x＜21（1+20%），
∴x＜25.2．
∴x=31应舍去．
∴x=25．
答：每件衣服的售价为25元．
25．（10分）如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2﹣AG2=52﹣42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r﹣3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r﹣3）2+42，
解得r=，（8分）
∴⊙O的半径为cm．
26．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2﹣1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；
（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
解得：m=﹣，
即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=，y=﹣=﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF=﹣1=，
∵直线AC的解析式为y=x﹣1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，
又∵AC==3，
∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．
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