1.3 正方形的性质与判定 第1课时 数学北师大版九年级上册学案

3　正方形的性质与判定第1课时【旧知再现】正方形的四条边都__相等__，四个角都是__直角__．【新知初探】阅读教材P20完成下面问题：1．正方形的定义：有一组__邻边__相等，并且有一个角是__直角__的__平行__四边形．2．正方形的性质：(1)一般性质：正方形具有平行四边形、__菱形__、__矩形__的所有性质．(2)特殊性质特殊性质角边对角线文字叙述正方形的四个角都是　直角　 正方形的四条边　相等　 正方形的两条对角线　相等　且互相　垂直平分　 几何语言∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=　90°　 ∵四边形ABCD是正方形,∴　AB=BC=CD=AD　 ∵四边形ABCD是正方形,AC,BD交于点O,∴AC　=　BD,AC　⊥　BD,且AO=CO=BO=DO 【图表导思】　如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，OA＝1.(1)正方形的两条对角线分别是多少？(2)正方形的边长是多少？【解析】(1)AC＝BD＝2OA＝2.(2)∵OB＝OA＝1，∴AB＝＝.即正方形的边长是.【质疑判断】1．正方形的每一条对角线平分一组对角(　√　)2．正方形的邻边相等(　√　)　正方形的性质及应用【P21例1补充】——正方形性质的综合应用　(2020·湘西州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.(1)求证：△BAE≌△CDE.(2)求∠AEB的度数．【思路点拨】(1)―→―→(2)―→―→【自主解答】见全解全析【归纳提升】正方形性质应用的分析方法已知条件分析思路已知中只有正方形时从正方形的边、角入手分析:分析哪些边相等,哪个内角等于90°.已知中出现正方形的“对角线”时从正方形的对角线性质入手分析:①对角线互相垂直、互相平分,相等,特别注意每条对角线平分一组内角.②对角线所在的直线是正方形的对称轴.变式一：巩固 如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【解析】见全解全析变式二：提升 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE＝BF.求证：∠ACF＝∠DBE.【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠EAB＝∠CBF＝∠ABO＝∠BCO＝45°，在△ABE与△BCF中，∴△ABE≌△BCF，∴∠ABE＝∠BCF，∴∠ACF＝∠DBE.【火眼金睛】已知在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示),把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则FC的长是多少?【正解】①如图所示，当点F在线段BC上时，根据题意可得，AF＝AE，AB＝AD，∠D＝∠ABF＝90°，在Rt△ADE和Rt△ABF中，∴Rt△ADE≌Rt△ABF(HL)，∴DE＝BF，∵DC＝BC，∴FC＝EC＝1.②当点F在CB的延长线上时，同理可得△ABF≌△ADE，∴FB＝DE＝2，FC＝BF＋BC＝5，综上，FC的长是1或5.【一题多变】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(C)A．1 B．2C．3 D．4【母题变式】 (变换条件及问法)如图，在正方形ABCD中，点F，E分别在AB，BC的延长线上，且BF＝CE，AE与DF相交于点O.(1)求证：△DAF≌△ABE.(2)求∠AOD的度数．【解析】见全解全析难题拆解 (2021·郑州月考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两边BO，OC分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8.(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)求四边形AEFD的面积．层层剖析——清障碍拆解一：由题意DF∥AE，EF∥AD，可知四边形AEFD是__平行四边形__；再通过证明AE__＝__AD，可得四边形AEFD是菱形，而AE＝AD，可通过证明△ACE≌__△ABD__得到．拆解二：连接DE，要求菱形AEFD的面积，只要求△ADE面积即可，S△AED＝S正方形ABOC－__2S△ABD__－__S△ODE__.水到渠成——破难题【解析】见全解全析关闭Word文档返回原板块