1.3 正方形的性质与判定 第2课时 数学北师大版九年级上册学案

3　正方形的性质与判定第2课时【旧知再现】正方形的定义：有一组__邻边__相等，并且有一个角是__直角__的__平行__四边形叫做正方形．【新知初探】阅读教材P22－P23完成下面问题：1．正方形的判定：(1)对角线__相等__的菱形是正方形．(2)对角线__互相垂直__的矩形是正方形．(3)有一个角是直角的__菱形__是正方形．(4)有一组邻边相等的__矩形__是正方形．2．中点四边形原四边形的形状所得中点四边形的形状平行四边形__平行四边形__菱形__矩形__矩形__菱形__正方形__正方形__你发现的规律：中点四边形的形状取决于四边形的__对角线__．【图表导思】　如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．1．若四边形EFGH为矩形，则AC，BD需满足什么条件？【解析】AC⊥BD2．若四边形EFGH为菱形，则AC，BD需满足什么条件？【解析】AC＝BD【质疑判断】1．对角线相等的矩形是正方形(　×　)2．一个角是直角的平行四边形是正方形(　×　)　正方形的判定【P23例2补充】——有一组邻边相等且有一个内角是90°的平行四边形是正方形　(2021·青岛期中)已知：在△ABC中，CB＝CA，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长交∠ACM的平分线CN于点F.(1)求证：AD＝CF.(2)连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论．【自主解答】见全解全析【归纳提升】正方形判定的三种思路1．如果四边形是一般四边形，先证其是平行四边形，再证其是菱形或矩形，最后证其是正方形．2．如果四边形是菱形，只需证其一个内角是__直角__或对角线__相等__．3．如果四边形是矩形，只需证一组邻边__相等__或对角线__互相垂直__．变式一：巩固 下列说法正确的个数有(D)①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式二：提升如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2.求证：四边形EFGH为正方形．【证明】∵四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL)，∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE＋∠HEA＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH为正方形．　中点四边形【P23“做一做”补充】——中点四边形的判定(2019·抚顺中考)如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是(A)A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC【归纳提升】判定中点四边形形状的一般思路1．借助三角形的中位线，先证明四边形是__平行__四边形．2．由原四边形对角线的关系，证明中点四边形是特殊平行四边形．(1)当原四边形的对角线相等时，中点四边形是__菱形__．(2)当原四边形的对角线相互垂直时，中点四边形是__矩形__．变式一：巩固如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边的中点．如果AC＝，BD＝4，那么四边形A1B1C1D1的面积为__3__．变式二：提升 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB.(1)求证：AD＝BC.(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．【解析】见全解全析【火眼金睛】点E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,四边形EFMN是什么图形?证明你的结论.【正解】∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE.∴EF＝EN＝NM＝MF，∴∠ENA＝∠DMN.∴四边形EFMN是菱形．又∵∠DMN＋∠DNM＝90°，∴∠ENA＋∠DNM＝90°，∴∠ENM＝180°－∠ENA－∠DNM＝90°，∴四边形EFMN是正方形．综合提升　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，E，F是垂足，那么四边形CEDF是正方形吗？说出理由．【解析】见全解全析关闭Word文档返回原板块