初中数学人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质第2课时导学案及答案

第二十二章  二次函数

22.1.3  二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质

第2课时 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质

学习目标：1.会画二次函数y=a(x－h)2的图象.

2.掌握二次函数y=a(x－h)2的性质.

3.比较函数y=ax2与y=a(x－h)2的联系和区别.

重点：会画二次函数y=a(x－h)2的图象.

难点：掌握二次函数y=a(x－h)2的性质并会应用其解决问题.

自主学习

一、知识链接

1.说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象特征.

2.二次函数 y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？

3.函数的图象，能否也可以由函数平移得到？

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质

引例  在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．

根据所画图象，填写下表：

试一试  画出二次函数， 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点．

想一想  通过上述例子，得出函数y=a(x－h)2的图象特征和性质是什么？

要点归纳：二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的性质

当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最小值为0.

当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.

当a＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最大值为0.

当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.

典例精析

例1 已知二次函数y＝(x-1)2

（1）完成下表；

（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．

（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；

（4）当x取何值时，y随x的增大而增大．

（5）若3≤x≤5，求y的取值范围；

想一想：若-1≤x≤5，y的取值范围是什么？；

（6）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．

变式：若点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y1，y2的大小，并说明理由．

探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的图象的关系

想一想  抛物线，与抛物线有什么关系？

要点归纳：二次函数y=a(x－h)2与y=ax2的图象的关系(a≠0)

可以看作互相平移得到( h > 0 )：

y=ax2向右平移 h 个单位得到y=a(x－h)2；

y=ax2向左平移 h 个单位得到y=a(x+h)2.

左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变.

例2  抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数解析式．

方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．

练一练

将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)

A．向上平移1个单位           　 B．向下平移1个单位  

C．向左平移1个单位　　          D．向右平移1个单位

三、课堂小结

1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.

2.如果二次函数y＝a(x-1)2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是_____．

3.把抛物线y=－x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是                    .

4.若（-，y1），（-，y2），（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为___________.

5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，并指出两个图象之间的平移关系．

能力提升

已知二次函数y＝（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值.

参考答案

自主学习

知识链接

1.

2.答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)的图象平移得到：

  当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.

  当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.

3.形状开口均相同，应该也能.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数y=a(x－h)2（a≠0）的图象和性质

引例  列表如下：

描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.

         图①                             图②

填表如下：

试一试

填表如下：

描点、连线，画出这两个函数的图象如图②所示.

典例精析

例1  解：（1）填表如下：

（2）解：描点，画出该二次函数图象如下：

（3）对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1,0).

（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.

（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.

想一想 ∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∴当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤ 8.

（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2.

变式  ∵m＞1，∴1＜m＜m+1，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2.

探究点2：二次函数y=ax2（a≠0）与y=a(x－h)2的关系

想一想

形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.

抛物线向左平移1个单位得到抛物线，抛物线向右平移1个单位得到抛物线.

例2  解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后，得到抛物线的解析式为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a= ， ∴平移后的函数解析式为y＝(x－3)2.

练一练   C

当堂检测

1.填表如下：

2.a＞0   3. y=－(x+3)2或y=－(x－3)2   4. y1＞y2＞ y3

5.   解：图象如图.

函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位长度得到.

能力提升

解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜-1≤x≤3，x＝-1时，y取得最小值4，可得（-1-h）2＝4，解得h＝1（舍）或h＝-3；②若-1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，可得：（3-h）2＝4，解得：h＝1（舍）或h＝5；③若-1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为-3或5.