2021学年第二十二章 二次函数综合与测试精练

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第二十二章 二次函数的图象和性质（二）
知识点思维导图








知识点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标和对称轴
把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，可得二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质.
用配方法化二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）为y＝a(x－h)2＋k的形式，配方过程如下：
y＝ax2＋bx＋c＝
＝
＝
＝
＝
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线，顶点坐标是.

【例1】利用配方法将二次函数y＝x2＋2x＋3化成y＝a(x－h)2＋k（a≠0）的形式为（ ）
A. y＝(x－1)2－2
B. y＝(x－1)2＋2
C. y＝(x＋1)2＋2
D. y＝(x＋1)2－2
【例1】【解析】把二次函数化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式. 对于本题配方如下y＝x2＋2x＋3＝x2＋2x＋1－1＋3，即y＝(x＋1)2＋2. 故选C.
【答案】C
【巩固】
1. 写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
（1） y＝1－2x－x2；
（2） ；
（3） .
2. 二次函数y＝2x2＋8x＋7的图象是（ ）



A B C D
【巩固答案】
1. 解：（1）y＝1－2x－x2＝－(x＋1)2＋2，图象开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是（－1，2）.
（2）＝(x－3)2＋1，图象开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，1）.
（3）＝，图象开口向上，对称轴是直线x＝，顶点坐标是（，）.
2. C
知识点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1. 画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的方法
（1） 描点法
①用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线.
（2） 平移法
①利用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，明确顶点（h，k）；
②作出抛物线y＝ax2；
③将抛物线y＝ax2平移，使其顶点平移到（h，k）处.
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）
y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象





开口方向
向上
向下
顶点坐标

对称轴
直线
增减性
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
最值
当时，y最小值＝.
当时，y最大值＝.
【例2】已知二次函数y＝－2x2＋4x＋3，请回答下列问题：
（1） 试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 在平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－2x2＋4x＋3的图象，并指出抛物线y＝－2x2＋4x＋3是由抛物线y＝－2x2经过怎样的平移得到的；
（3） 对于二次函数y＝－2x2＋4x＋3，当x取何值时，y随x的增大而减小？
【例2】【解析】（1）将二次函数y＝－2x2＋4x＋3配方成顶点式为y＝－2(x－1)2＋5，可知函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）由（1）知二次函数y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5，再根据“左加右减自变量，上加下减常数项”判断抛物线y＝－2x2的平移方式；
（3）由二次函数y＝－2x2＋4x＋3的图象和性质可知当x＞1时，y随x的增大而减小.
【答案】解：（1）∵y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5，
∴该二次函数图象开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，5）；
（2）列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y＝－2x2＋4x＋3
…
－3
3
5
3
－3
…
描点、连线，二次函数y＝－2x2＋4x＋3的图象如图所示：
将抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线y＝－2x2＋4x＋3；
（3）当x＞1时，y随x的增大而减小.




【巩固】
1. 下列对二次函数y＝x²－x的图象的描述，正确的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是y轴
C. 经过原点
D. 在对称轴右侧的部分是下降的
2. 二次函数y＝x2＋2x＋2的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后二次函数图象的顶点坐标是 .
【巩固答案】
3. C
2. （2，3）
知识点三：用待定系数法求二次函数的解析式
1. 常见的二次函数解析式的适用条件
（1） 一般式y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0），当已知抛物线上的三点的坐标时，设此二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c；
（2） 顶点式y＝a(x－h)2＋k（a，h，k为常数，a≠0），当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值时，可设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k；
（3） 交点式y＝a(x－x1)(x－x2)（a，x1，x2为常数，a≠0），当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设此二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2).
2. 用待定系数法求二次函数解析式的步骤
（1） 设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的解析式，如y＝ax2＋bx＋c或y＝a(x－h)2＋k或y＝a(x－x1)(x－x2)，其中a≠0；
（2） 代：把已知点的坐标代入所设的二次函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）；
（3） 解：解此方程或方程组，求出待定系数的值；
（4） 还原：将求出的待定系数还原到解析式中，求得解析式.
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
4
…
y
…
10
1
－2
1
25
…
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 写出这个二次函数图象的顶点坐标.
【例3】【解析】（1）一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法来求抛物线的解析式；
（2）把（1）中解析式配成顶点式可得到这个二次函数图象的顶点坐标.
【答案】解：（1）把（0，1）、（1，－2）和（2，1）代入y＝ax2＋bx＋c中，得
，解得.
所以二次函数的解析式为y＝3x2－6x＋1.
（2）由（1）知抛物线解析式为y＝3x2－6x＋1.
即y＝3x2－6x＋1＝3（x2－2x＋1－1）＋1＝3(x－1)2－2，
所以二次函数图象的顶点坐标为（1，－2）.

【巩固】
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，0）、（3，0）和（0，2），则当x＝2时，y的值为 .
2. 已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
A. y＝－2x2－x＋3
B. y＝－2x2＋4
C. y＝－2x2＋4x＋8
D. y＝－2x2＋4x＋6
【巩固答案】
3. 2
4. D

知识点四：二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与一元二次方程的关系
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象可知：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根.
2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）与二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）二者之间的内在联系与区别，列表如下：
判别式
结果
内容
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0
b2－4ac＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况
有两个不等实根

有两个相等实根

没有实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象
a＞0






a＜0






抛物线与x轴的交点
（x1，0），（x2，0）

没有交点
3. 二次函数与一元二次不等式的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
二次函数y＝ax2＋bx＋c与不等式ax2＋bx＋c＞0及ax2＋bx＋c＜0的关系如下表：
△＝b²－4ac的取值
△＞0
△＝0
△＜0
a＞0
抛物线y＝ax²＋bx＋c






不等式ax²＋bx＋c＞0的解集
x＜x1或x＜x2

全体实数
不等式ax²＋bx＋c＜0的解集
x1＜x＜x2
无解
无解
a＜0
抛物线y＝ax²＋bx＋c








不等式ax²＋bx＋c＞0的解集
x1＜x＜x2
无解
无解
不等式ax²＋bx＋c＜0的解集
x＜x1或x＜x2

全体实数
【例4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点C的坐标为（－1，－3），与x轴交于A（－3，0），B（1，0），根据图象回答下列问题：
（1） 写出方程ax2＋bx＋c＝0的根；
（2） 写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集.




【例4】【解析】（1）根据方程ax2＋bx＋c＝0的根是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标可得；
（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是抛物线在x轴上方的图象对应的x的取值范围，据此可得.
【答案】解：（1）∵方程ax2＋bx＋c＝0的根是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，又由已知知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0），
∴方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－3，x2＝1，
（2）∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是抛物线在x轴上方的图象对应的x的取值范围，
∴不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜－3或x＞1.
【巩固】
1. 若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A. －6 B. 6 C. 3 D. 9
2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A. x＜－1或x＞2
B. x＜－1或x＞3
C. －1＜x＜2
D. －1＜x＜3

3. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝－1，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是（ ）
A. 直线x＝－2
B. 直线x＝2
C. y轴
D. 不能确定
【巩固答案】
1. D
2. D
3. A

知识点五：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c的符号关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置，b2－4ac的符号决定抛物线与x轴的交点情况，具体如下表：

字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下

b＝0
对称轴为y轴
ab＞0（a，b同号）
对称轴在y轴左侧
ab＜0（a，b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c＝0
图象过原点
c＞0
图象与y轴正半轴相交
c＜0
图象与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0
图象与x轴有唯一一个交点
b2－4ac＞0
图象与x轴有两个交点
b2－4ac＜0
图象与x轴没有交点
关于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的几个重要的式子
（1）当x＝1时，y＝a＋b＋c.
此时若y＝0，则a＋b＋c＝0；若y＞0，则a＋b＋c＞0；若y＜0，则a＋b＋c＜0；
（2）当x＝2时，y＝4a＋2b＋c.
（3） 当x＝－1时，y＝a－b＋c.
此时若y＝0，则a－b＋c＝0；若y＞0，则a－b＋c＞0；若y＜0，则a－b＋c＜0；
（4）当x＝－2时，y＝4a－2b＋c.

【例5】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1，0），其部分图象如图所示，给出下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③a－b＋c＞0；④abc＞0；⑤当y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜4；⑥当x＜0时，y随x的增大而增大. 其中正确的个数是（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1


【例5】【解析】如图，根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3，∴②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2－4ac＞0，∴4ac＜b2，∴①正确；∵x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，∴③错误；∵对称轴在y轴右侧，∴ab＜0，由抛物线与y轴交于上半轴，∴c＞0，∴abc＜0，∴④错误；由图象可知，当－1＜x＜3时，y＞0，∴⑤错误；由图象可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，∴⑥正确. ∴正确的结论是①②⑥. 故选B.

【巩固】
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b－2a＜0；③b2－4ac＜0；④a－b＋c＜0. 正确的是（ ）
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ②④
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第 象限.






【巩固答案】
3. A
4. 二