山东省枣庄市2022届高三下学期数学一模试卷及答案

山东省枣庄市2022届高三下学期数学一模试卷

一、单选题

1．已知集合，满足的集合可以是（　　）

A． B． C． D．

2．命题“，”的否定为（　　）

A．， B．，

C．， D．，

3．设，是方程在复数范围内的两个解，则（　　）

A． B．

C． D．

4．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为（　　）

A．66.5 B．67 C．67.5 D．68

5．在长方形中，，，点满足，点满足，则（　　）

A．1 B．0.5 C．3 D．1.5

6．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（　　）

A．或2 B．2 C．或3 D．3

7．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（　　）

A．2 B．3 C． D．

8．已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知正数a，b满足，则（　　）

A．的最大值是 B．的最大值是

C．a-b的最小值是 D．的最小值为

10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球中有红球”，则（　　）

A． B．

C． D．

11．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（　　）

A．

B．

C．四边形的面积为

D．平行六面体的体积为

12．已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线交于A，B两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于C，D两点，则（　　）

A．若，则的斜率

B．的最小值为

C．以为直径的圆与圆相切

D．若，则四边形面积的最小值为

三、填空题

13．已知函数是偶函数，则实数的值为　     　．

14．如图，等腰与矩形所在平面垂直，且，则四棱锥的外接球的表面积为　     　．

15．已知随机变量，若最大，则　     　．

16．已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是　         　.

四、解答题

17．已知是等比数列的前项和．

（1）求及；

（2）设，求的前项和．

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：

（1）；

（2）的取值范围．

19．已知正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面．

（1）作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；

（2）求与该截面所在平面所成角的正弦值．

（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）

20．已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．

（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．

（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：

（i）；

（ii）的分布列及数学期望．

21．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．

（1）求的轨迹的方程；

（2）设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．

22．已知函数．

（1）若，，求的取值范围；

（2）当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由．

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】D

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】A

6．【答案】B

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】A,B,D

10．【答案】A,D

11．【答案】A,B,D

12．【答案】B,C,D

13．【答案】2

14．【答案】12π

15．【答案】24

16．【答案】

17．【答案】（1）解：①当时，，

②当时，，

由题意得，故，

（2）解：，

则，

得

18．【答案】（1）解：因为，

所以，

因为，

，

因为

（2）解：由正弦定理，

，

因为，所以，所以，

所以，所以的取值范围是

19．【答案】（1）解：设分别是棱的中点，顺次连接，则四边形即为所求的截面.

理由如下：因为点分别是棱的中点，故，又，所以，而两平行直线确定一个平面，所以四边形为平面图形.

因为点分别是棱的中点，故，又平面，平面，所以平面.

因为，所以，又不共线，所以，

又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，

所以平面平面.

（2）解：易知与该截面所在平面所成角的正弦值，即与平面所成角的正弦值.

建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，

故，设平面的一个法向量为，则，令，可得，

又，所以，故与平面所成角的正弦值为，

即与该截面所在平面所成角的正弦值为.

20．【答案】（1）解：记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，则由全概率公式：，所求概率为

（2）解：设事件表示小明选择了个选项，，表示选到的选项都是正确的.

则，，.

（i）；

（ii）随机变量的分布列为

21．【答案】（1）解：由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，

则动点到点的距离与到直线的距离相等，

故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，

设抛物线方程为 ，

则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ；

（2）解：由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，

由 ，消去y得： ，

，

设 ，则，

故 ，同理可求得，

所以直线AB的斜率，

故直线AB的方程为：

，

故直线AB过定点 ，设该点为，

又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，

由于 ， ，

故以EF为直径的圆的方程为，

故存在定点，使得线段的长度为定值2.

22．【答案】（1）解：

①若，当时，，，，

当且仅当时取等号，可见，符合题意.

②若，当时，；

当时，，.

可见，当时，，当且仅当，且时取等号.

所以在上单调递增，所以，.

所以符合题意.

③若，因为在上单调递增，在上单调递增，所以，在上单调递增，又，，由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得.

当时，，单调递减，所以，.

可见，不符合题意.

综上，的取值范围是

（2）解：①若，由(1)，时，，在内无零点.

当时，，，，又由单调递增，

则.

可见，若，在内无零点.

②若，由(1)，时，，在内无零点.

当时，，.

可见，若，在内无零点.

③若，由(1)，存在唯一的，当时，.

单调递减；当时，，单调递增.

又，所以.

又，由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得.可见，在内存在唯一的零点.

当时，，所以，，所以，在内没有零点，可见，在有且仅有1个零点.

综上所述，若，在内无零点；若，在内有且仅有1个零点.