2022年山东省济宁市高考数学一模试卷

这是一份2022年山东省济宁市高考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了下列说法正确的是，2，则P=0等内容，欢迎下载使用。


2022年山东省济宁市高考数学一模试卷

1.（5分）已知集合A={y|y=2x,x⩾0}，B={x|y=ln(2-x)}，则A∩B=()
A. [1,2] B. (1,2) C. [1,2) D. (-∞,+∞)
2.（5分）已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.（5分）在等比数列{an}中，a1+a3=1，a6+a8=-32，则a10+a12a5+a7=()
A. -8 B. 16 C. 32 D. -32
4.（5分）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x)，则f(2022)=()
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2022
5.（5分）把函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π6个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ=()
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
6.（5分）甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为()
A. 15 B. 1330 C. 1730 D. 1325
7.（5分）过抛物线y2=4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若AB→=2BF→，则线段BC的中点到准线的距离为()
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.（5分）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PA→⋅PB→+PB→⋅PC→的最大值为()
A. 4 B. 7 C. 8 D. 11
9.（5分）下列说法正确的是()
A. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变
B. 设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强
C. 在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越小，判断两个变量有关的把握越大
D. 若X～N(1,σ²)，P(X>2)=0.2，则P(0 10.（5分）已知复数z1=-2+i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2-1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为M(x,y)，则()
A. 复数z1在复平面内对应的点位于第二象限 B. 1z1=-25-15i
C. (x+1)2+(y-2)2=4 D. |z2-z1|的最大值为32+2
11.（5分）已知函数f(x)=x-2lnx，若a=f(0.30.2)，b=f(log23)，c=f(log34)，则()
A. f(x)在(0,1)上恒为正 B. f(x)在(1,+∞)上单调递减
C. a，b，c中最大的是a D. a，b，c中最小的是b
12.（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则()
A. ||PA1|-|PA2||=2a
B. 若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为5
C. 若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1
D. 若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2=3∠PA1A2，则∠PA1A2=π10
13.（5分）若tanα=2，则cos2α=______．
14.（5分）(2x-1x)6展开式的常数项为______.
15.（5分）在边长为6的菱形ABCD中，∠A=π3，现将△ABD沿BD折起，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 ______.
16.（5分）已知函数f(x)=e|x-1|-sin(π2x)，则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是 ______.
17.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3asinB-bcosA=b. 
(1)求角A的大小； 
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
18.（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=9，S7=49. 
(1)求数列{an}的通项公式； 
(2)设bn={an,n⩽10,2bn-10,n>10,求数列{bn}的前100项和．
19.（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=2AB=2AA1=2，A1B∩AB1=M，A1B⊥B1C. 
(1)求证：AB⊥AC； 
(2)若点N在线段A1C上，满足MN//平面ABC，求直线B1N与平面A1BC所成角的正弦值．

20.（12分）血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性．若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒．根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p(0 方案一：逐个化验； 
方案二：平均分成两组化验． 
在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”． 
(1)若p=13，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列； 
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，
21.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B分别为椭圆C的右顶点、上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率12，△ABF的面积为32. 
(1)求椭圆C的标准方程； 
(2)点P为椭圆C上的动点(不是顶点)，点P与点M、N分别关于原点、y轴对称，连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.（12分）已知函数f(x)=ax2-xlnx+2a(a∈R且a≠0). 
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； 
(2)若不等式f(x)⩽0对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．

答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={y|y=2x,x⩾0}={y|y⩾1}， 
B={x|y=ln(2-x)}={x|x<2}， 
∴A∩B={x|1⩽x<2}. 
故选：C. 
求出集合A，B，由此能求出A∩B. 
此题主要考查集合的运算，考查交集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】A
【解析】解：①因为直线l⊂α，且l⊥β， 
根据面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 
所以由判断定理得α⊥β.∴充分性成立， 
②若α⊥β，直线l⊂α，则直线l⊥β，或直线l//β，或直线l与平面β相交不垂直，∴必要性不成立， 
所以l⊥β是α⊥β的充分不必要条件． 
故选：A. 
根据充分条件和必要条件的定义，结合面面垂直的判定定理进行判断即可． 
此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间面面垂直的判定定理和性质定理是解决本题的关键．

3.【答案】D
【解析】解：在等比数列{an}中，a1+a3=1，a6+a8=-32， 
∴q5=a6+a8a1+a3=-321=-32，∴q=-2，a1=15， 
则a10+a12a5+a7=q5=-32. 
故选：D. 
利用等比数列的通项公式直接求解． 
此题主要考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】A
【解析】解：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x)， 
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 
∴f(x)的周期为4， 
函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0， 
∴f(2)=-f(0)=0， 
∴f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0. 
故选：A. 
求出函数的周期，利用周期和f(0)=0可得答案． 
此题主要考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=sin(2x+φ)，∴将其图象向右平移π6个单位后得到函数y=sin[2(x-π6)+φ]=sin(2x-π3+φ)， 
∵平移后函数为偶函数，∴φ-π3=kπ+π2，k∈Z， 
∴φ=kπ+5π6，k∈Z， 
∴φ的值可以是5π6， 
故选：D. 
利用函数图象的平移变换理论，求得平移后函数的解析式，最后利用函数的对称性解得初相的取值集合，作出正确选择． 
此题主要考查函数图象的平移变换，y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质等基础知识，属基础题

6.【答案】B
【解析】解：设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中， 
事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中， 
事件C表示先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，取出的球是红球， 
则P(A)=35，P(C|A)=36=12，P(B)=25，P(C|B)=26=13， 
∴P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=35×12+25×13=1330. 
故选：B. 
根据全概率公式进行求解即可． 
此题主要考查概率的运算，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】B
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，渐近线的方程为：x=-1， 
由AB→=2BF→，可得|AB||BF|=2， 
由题意如图所示：作BB'垂直于准线于B'， 
而|BB'||AB|=22，∴∠ABB'=45°， 
所以直线AB的斜率为1， 
所以直线AB的方程为x=y+1， 
设B(x1,y1)，C(x2,y2)， 
联立{y2=4xx=y+1，整理可得：x2-6x+1=0， 
可得x1+x2=6， 
所以线段BC的中点到准线的距离为x1+x22+1=4， 
故选：B. 
由向量的关系可得线段|AB|，|BF|的关系，由平行线分线段成比例可得|BF|的值，进而可得|AF|的值，求出直线AB的倾斜角的大小，进而求出直线的斜率，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出B，C横坐标之和，进而求出线段BC的中点到准线的距离． 
此题主要考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．


8.【答案】C
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2， 
∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图： 
则A(2,0)，B(-1,3)，C(-1,-3)， 
设P(2cosθ,2sinθ). 
则PA→=(2-2cosθ,-2sinθ)，PB→=(-2cosθ-1,-2sinθ+3)，PC→=(-1-2cosθ,-3-2sinθ)， 
则PA→⋅PB→+PB→⋅PC→=(2-2cosθ)(-2cosθ-1)+2sinθ(2sinθ-3)+(2cosθ+1)2+(2sinθ-3)(2sinθ+3) 
=4+2cosθ-23sinθ=4+4cos(θ+π3)， 
∴0⩽PA→⋅PB→+PB→⋅PC→⩽8， 
则PA→⋅PB→+PB→⋅PC→的最大值为8. 
故选：C. 
建立坐标系，设P(2cosθ,2sinθ)，求出PA→⋅PB→+PB→⋅PC→，利用余弦函数的性质可求得PA→⋅PB→+PB→⋅PC→的取值范围，从而得到PA→⋅PB→+PB→⋅PC→的最大值． 
此题主要考查了平面向量的数量积及其运算，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．


9.【答案】AD
【解析】解：对于A，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故A正确， 
对于B，具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故B错误， 
对于C，在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量有关的把握越大，故C错误， 
对于D，∵X～N(1,σ²)， 
∴P(01)-P(X>2)=0.5-0.2=0.3，故D正确． 
故选：AD. 
对于A，结合方差的定义，即可求解， 
对于B，结合相关系数的定义，即可求解， 
对于C，结合独立性检验的定义，即可求解， 
对于D，结合正态分布的对称性，即可求解． 
此题主要考查命题真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．

10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(-2,1)，该点位于第二象限，故A正确， 
对于B，1z1=1-2+i=-2-i(-2+i)(-2-i)=-25-15i，故B正确， 
对于C，z2-1+2i=(x-1)+(y+2)i， 
∵|z2-1+2i|=2， 
∴(x-1)2+(y+2)2=4，故C错误， 
对于D，z1-1+2i=-3+3i， 
则|z1-1+2i|=(-3)2+32=32， 
|z2-z1|=|(z2-1+2i)-(z1-1+2i)|⩽|z2-1+2i|+|z1-1+2i|=2+32，故D正确． 
故选：ABD. 
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解． 
此题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．

11.【答案】AC
【解析】解：A：当x∈(0,1)时，lnx<0，x-2<0，所以f(x)=x-2lnx>0，故A正确； 
B：函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f'(x)=lnx-x-2x(lnx)2=lnx+2x-1(lnx)2， 
令g(x)=lnx+2x-1(x>1)，则g'(x)=1x-2x2=x-2x2， 
当1 当x>2时，g'(x)>0， 
所以函数g(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增， 
故g(x)min=g(2)=ln2>0，所以f'(x)>0在(1,+∞)上恒成立， 
即函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，故B错误； 
C：由选项A可知，当x∈(0,1)时，所以f(x)>0， 
因为0<0.30.2<0.30=1，所以f(0.30.2)>0，即a>0； 
当x∈(1,2)时，lnx>0，x-2<0，得f(x)=x-2lnx<0， 
因为1=log22 所以f(log23)<0，f(log34)<0， 
即b<0，c<0，所以a、b、c中最大的是a，故C正确； 
D：log23-log34=lg3lg2-lg4lg3=(lg3)2-lg2⋅lg4lg2·lg3 
>(lg3)2-(lg2+lg42)2lg2·lg3=(lg3)2-(12lg8)2lg2·lg3=(lg3)2-(lg812)2lg2·lg3 
=(lg3)2-(lg812)2lg2·lg3=(lg3)2-[lg(22)]2lg2⋅lg3=[lg3-lg(22)lg3+lg(22)]lg2·lg3>0， 
所以1 所以f(log34)c， 
由选项C可知b<0，c<0，有c 故选：AC. 
根据当x∈(0,1)时，lnx<0，x-2<0即可判断 A； 
利用导数讨论函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B； 
结合选项A和对数函数的单调性可得b<0，c<0即可判断C； 
利用作差法和结合选项B可得b>c，根据C的分析过程可知c 此题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小的问题，属于中档题．

12.【答案】BCD
【解析】解：对于A：在△PA1A2中，根据三角形之差小于第三边，故||PA1|-|PA2||<|A1A2|=2a，故A错误； 
对于B，焦点F2(c,0)，渐近线不妨取y=bax，即bx-ay=0， 
设焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m,n)，则{nm-c×ba=-1b×m+c2-a×n2=0，解得{m=a2-b2cn=2abc， 
即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(a2-b2c,2abc)， 
由题意该点在双曲线上，故(a2-b2)2a2c2-(2ab)2b2c2=1， 
将c2=a2+b2代入，化简整理得b4-3a2b2-4a4=0，即b2=4a2， 
所以e2=c2a2=1+b2a2=5，∴e=5，故B正确； 
对于C：双曲线C为等轴双曲线，即C：x2-y2=a2(a>0)， 
设P(x0,y0)(y0≠0)，则x02-y02=a2，则x02-a2=y02， 
故kPA1⋅kPA2=y0x0+a⋅y0x0-a=y02x02-a2=1，故C正确； 
对于D：双曲线为等轴双曲线，C：x2-y2=a2(a>0)， 
且∠A1PA2=3∠PA1A2，设∠PA1A2=θ，∠A1PA2=3θ，则∠PA2x=4θ， 
根据C的结论kPA1⋅kPA2=1，即有tanθ⋅tan4θ=1， 
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ+4θ=π2，故D正确． 
故选：BCD. 
根据三角形两边之差小于第三边，可判断A；求出焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点的坐标代入到双曲线的方程中，化简求得离心率，可判断B；设P(x0,y0)(y0≠0)，满足等轴双曲线方程，计算kPA1⋅kPA2的值，即可判断C；利用C的结论，可得tanθ⋅tan4θ=1，即可说明θ+4θ=π2，从而判断D. 
此题主要考查双曲线的几何性质，以及分析问题的能力，运算能力，属中档题．

13.【答案】 -13
【解析】解：若tanα=2，则cos2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-13， 
故答案为：-13． 
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值． 
这道题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．

14.【答案】 -160
【解析】解：∵(2x-1x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅26-r⋅(-1)r⋅x6-2r，令6-2r=0，求得 r=3， 
故常数项为-160， 
故答案为：-160. 
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项． 
此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

15.【答案】 60π
【解析】解：边长为6的菱形ABCD，在折叠的过程中， 
当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥的体积最大； 
如图所示： 
 
在平面ABD中，设点F为△ABD的中心，在平面BCD中，设点H为△BCD的中心； 
由于AB=AB=AD=CD=BC=6， 
取BD的中点E，连接AE、CE， 
所以AE=62-32=33， 
则EF=OH=3，CH=23， 
故三棱锥A-BCD的外接球的半径R=(3)2+(23)2=15， 
故S球=4·π·(15)2=60π. 
故答案为：60π. 
首先求出三棱锥的体积最大时平面ABD⊥平面BCD，进一步求出外接球的球心和半径，最后求出球的表面积． 
此题主要考查的知识要点：三棱锥体和外接球的半径的确定，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

16.【答案】 (0，23)
【解析】解：令g(x)=e|x|-cos(π2x)，将其向右平移1个单位长度， 
得y=e|x-1|-cos(π2x-π2)=e|x-1|-sin(π2x)， 
所以f(x)=e|x-1|-sin(π2x)是函数g(x)向右平移1个单位得到的． 
而易知g(x)是偶函数， 
当x>0时，g(x)=e|x|-cos(π2x)，g'(x)=ex+π2sin(π2x)， 
00，当x>2，ex>e2，-π2<π2sin(π2x)<π2，所以g'(x)>0， 
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减， 
从而可知f(x)在(1,+∞)上单调递增，在(-∞,1)上单调递减 
所以f(x)>f(2x)时，有|x-1|>|2x-1|，解得0 所以x的取值范围为(0,23). 
故答案为：(0,23). 
通过研究g(x)=e|x|-cos(π2x)的性质来研究f(x)=e|x-1|-sin(π2x)的性质，再根据单调性解不等式即可． 
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，导数的应用，属于中档题．

17.【答案】解：（1）由3asinB-bcosA=b， 
结合正弦定理得3sinAsinB-sinBcosA=sinB， 
又sinB≠0，∴3sinA-cosA=1， 
∴32sinA-12cosA=12，即sin(A-π6)=12． 
∵A∈（0，π），∴A-π6∈(-π6，5π6)， 
则A-π6=π6，即A=π3； 
（2）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即4=b2+c2-bc． 
∴4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤4． 
当且仅当b=c时，等号成立． 
∴△ABC的面积S=12bcsinA≤12×4×32=3． 
故△ABC面积的最大值为3．
【解析】 
(1)由3asinB-bcosA=b，结合正弦定理得sin(A-π6)=12，再由A的范围可得A=π3； 
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即4=b2+c2-bc，利用基本不等式求得bc⩽4，进一步可得△ABC面积的最大值． 
此题主要考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．

18.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a5=9，S7=49， 
∴a1+4d=9，7a1+7×62d=49， 
解得a1=1，d=2， 
∴an=1+2（n-1）=2n-1． 
（2）∵bn={an,n≤10,2bn-10,n>10, 
∴n=10时，数列{bn}的前10项和=S10=10×(1+19)2=100， 
11≤n≤20时，b11=2b1，b12=2b2，…，b20=2b10， 
∴S20-S10=2（b1+b2+…+b10）=2S10， 
同理可得：S30-S20=4S10，…，S100-S90=29S10， 
∴数列{bn}的前100项和=（1+2+22+…+29）S10 
=2(210-1)2-1×100 
=200×（210-1） 
=204600．
【解析】 
(1)设等差数列{an}的公差为d，由a5=9，S7=49，利用通项公式与求和公式即可得出a1，d，即可得出an. 
(2)由bn={an,n⩽10,2bn-10,n>10,可得n=10时，数列{bn}的前10项和=S10，11⩽n⩽20时，b11=2b1，b12=2b2，…，b20=2b10，可得S20-S10=2(b1+b2+…+b10)=2S10，同理可得：S30-S20=4S10，…，S100-S90=29S10，进而得出数列{bn}的前100项和． 
此题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.【答案】证明：（1）∵ABC-A1B1C1为直三棱柱， 
∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC， 
又AA1=AB，所以四边形AA1B1B为正方形， 
∴A1B⊥AB1，又A1B⊥B1C，AB1∩B1C=B1， 
∴A1B⊥平面AB1C，又AC⊂平面AB1C，∴A1B⊥AC， 
又AC⊥AA1，A1B∩AA1=A1，∴AC⊥平面AA1B1B，又AB⊂平面AA1B1B，∴AC⊥AB． 
解：（2）连接A1C，MN，B1N， 
∵MN∥平面ABC，又MN⊂平面A1BC，平面A1BC∩平面ABC=BC， 
∴MN∥BC．又M为A1B的中点，∴N为A1C的中点． 
如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 
则A1（0，0，1），B（1，0，0），C（0，2，0），B1（1，0，1），N(0，1，12)． 
 
∴B1N→=(-1，1，-12) 
设平面A1BC的法向量为n→=(x，y，z)，又A1B→=(1，0，-1)，A1C→=(0，2，-1)， 
由{n→⋅A1B→=0n→⋅A1C→=0得{x-z=02y-z=0 
所以平面A1BC的一个法向量为n→=(2，1，2) 
∴直线B1N与平面A1BC所成角θ的正弦值为sinθ=|cos〈B1N→，n→〉|=|B1N→⋅n→||B1N→||n→|=232×3=49．
【解析】 
(1)利用线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面AA1B1B，即可证明AC⊥AB. 
(2)连接A1C，MN，B1N.先证明出N为A1C的中点．以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解． 
此题主要考查线线垂直及利用向量法求空间角，考查学生的推理运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：（1）由题意知，X～B(4，13)， 
则P(X=0)=C40(1-13)4=1681； 
P(X=1)=C41×13×(1-13)3=3281； 
P(X=2)=C42×(13)2×(1-13)2=2481=827； 
P(X=3)=C43×(13)3×(1-13)=881； 
P(X=4)=C44(13)4=181． 
则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1681
3281
827
881
181
（2）方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4， 
方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6， 
每组两个样本化验呈阴性的概率为（1-p）2， 
设x=（1-p）2， 
则P（Y=2）=x2， 
P(Y=4)=C21x(1-x)， 
P（Y=6）=（1-x）2， 
所以E(Y)=2×x2+4×C21x(1-x)+6×(1-x)2=6-4x； 
若方案二比方案一更“优”，则E（Y）=6-4x＜4，解得x＞12， 
即x=(1-p)2＞12，解得0＜p＜1-22． 
所以当0＜p＜1-22时，方案二比方案一更“优”．
【解析】 
(1)由题意知X～B(4,13)，利用二项分布的概率计算公式即可求解； 
(2)方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y，则Y的所以可能取值为2，4，6，计算出Y的取值对应的概率，然后根据期望公式求出E(Y)，从而即可求解． 
此题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．

21.【答案】解：（1）因为椭圆的离心率为12， 
所以e=ca=12，即a=2c， 
又A（a，0），B（0，b），F（c，0）， 
因为S△ABF=32， 
所以12（a-c）b=32， 
所以12bc=32，即bc=3， 
因为a2=b2+c2， 
所以4c2=b2+c2，即b2=3c2， 
所以c2=1，b2=3，a2=4， 
所以椭圆的方程为x24+y23=1． 
（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（-x1，-y1），N（-x1，y1），E（-x1，0）， 
所以kPE=y12x1， 
所以直线PE的方程为y=y12x1（x+x1）， 
联立{y=y12x1(x+x1)x24+y23=1， 
所以（3x12+y12）x12+2x1y12x+x1y12-12x12=0， 
所以x1+x2=-2x1y123x12+y12，x1x2=x12(y12-12)3x12+y12， 
所以x2=x1(y12-12)3x12+y12，y2=y12x1（x1y12-12x13x12+y12+x1）=y1(2y12-12+3x12)2(3x12+y12)， 
而kMP•kMQ=y1x1•y2+y1x2+x1代入x2，y2， 
可得kMP•kMQ=y1x1•[（y1(2y12-12+3x12)2(3x12+y12)+y1）×（-3x12+y122x1y12）] 
=y1x1•9x12+4y12-122(3x12+y12)•（-3x12+y122x1y12） 
=-9x12+4y12-124x12 
=-9x12+4y12-3x12-4y124x12 
=-6x124x12 
=-32， 
所以直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积为定值-32．
【解析】 
(1)根据题意可得e=ca=12，12(a-c)b=32，又a2=b2+c2，解得c2，b2，a2，即可得出答案． 
(2)设点P(x1,y1)，则M(-x1,-y1)，N(-x1,y1)，E(-x1,0)，写出直线PE的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，解得x2，y2，而kMP⋅kMQ=y1x1⋅y2+y1x2+x1代入x2，y2，化简即可得出答案． 
此题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．

22.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=x2-xlnx+2，f（1）=3， 
∴f'（x）=2x-（lnx+1）=2x-lnx-1，则f'（1）=1， 
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-3=x-1，即x-y+2=0； 
（2）∵f′（x）=2ax-（lnx+1）=2ax-lnx-1，∴f″(x)=2a-1x=2ax-1x， 
①当a＞0时，f(1)=a+2a＞0，与f（x）≤0恒成立矛盾，不合题意； 
②当a＜0时，f″（x）＜0，f′（x）在（0，+∞）上单调递减． 
∵f′（e-1）=2ae-1＜0，f′（e2a-1）=2a（e2a-1-1）＞0， 
∴∃x0∈(e2a-1，e-1)，使得f′（x0）=2ax0-lnx0-1=0，即a=lnx0+12x0． 
∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 
∴f(x)max=ax02-x0lnx0+2a=lnx0+12x0×x02-x0lnx0+2lnx0+12x0=x0[9-(lnx0)2]2(lnx0+1)≤0． 
∵x0∈(e2a-1，e-1)，∴lnx0+1＜0． 
∴9-(lnx0)2≥0，即-3≤lnx0＜-1，解得e-3≤x0≤e-1． 
∵a=lnx0+12x0，∴设g(x)=lnx+12x，x∈[e-3，e-1）． 
则g'(x)=-lnx2x2＞0，∴g（x）在[e-3，e-1）上单调递增． 
∴g（e-3）≤g（x）＜g（e-1），即-e3≤g（x）＜0． 
∴-e3≤a＜0，即实数a的取值范围是[-e3，0）．
【解析】 
(1)当a=1时，f(x)=x2-xlnx+2，求其导函数，再求出f(1)与f'(1)的值，利用直线方程的点斜式得答案； 
(2)求出f(x)的二阶导数可得a>0时，f(1)>0，与f(x)⩽0恒成立矛盾，不合题意；a<0时，利用导数求得f(x)的最大值，再由最大值小于等于0可得9-(lnx0)2⩾0，求得e-3⩽x0⩽e-1，再由a=lnx0+12x0，利用导数研究函数的单调性，即可求得实数a的取值范围． 
此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查化归与转化思想，是中档题．