2021届山东省济宁市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届山东省济宁市高三数学一模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.           B. 

          C.           D. 



2.复数 满足 ，那么 在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限



3. ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 



4.随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产．经统计，2021年7月份到12月份的月产量〔单位：吨〕逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，那么8月到11月这四个月的产量之和为〔    〕
A. 48吨                                    B. 54吨                                    C. 60吨                                    D. 66吨



5.假设 的展开式中 的系数是80，那么实数 〔    〕
A. -2                                          B. -1                                          C. 1                                          D. 2



6.为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽取了该地区局部人员，调查了2021年其人均纯收入状况．经统计，这批人员的年人均纯收入数据〔单位：百元〕全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如下列图的频率分布直方图．现采取分层抽样的方法，从 ， ， 这三个区间中随机抽取6人，再从6人中随机抽取3人，那么这三人中恰有2人年人均纯收入位于 的概率是〔 〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 



7. 、 、 均为单位向量，且满足 ，那么 的值为〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 



8. 、 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是双曲线 上的任意一点〔不是顶点〕，过 作 角平分线的垂线，垂足为 ， 是坐标原点．假设 ，那么双曲线 的渐近线方程为〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 



二、多项选择题
9.以下说法正确的选项是〔    〕
A. 命题“ ，使得 〞的否认是“ ，使得 〞


B. 设随机变量 ，假设 ，那么


C. 正实数 ， 满足 ，那么 的最小值为5


D. 是等比数列，那么“ 〞是“ 〞的充分不必要条件



10.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 


B. 是函数 图象的一个对称中心


C. 函数 在 上单调递增


D. 函数 在 上的值域是



11.如图， 为圆锥 底面圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的动点， ，那么以下结论正确的选项是〔    〕

A. 圆锥 的侧面积为


B. 三棱锥 体积的最大值为


C. 的取值范围是


D. 假设 ， 为线段 上的动点，那么 的最小值为



12.函数 ，其中 是自然对数的底数，以下说法中正确的选项是〔    〕
A. 函数 的周期为
B. 在区间 上是减函数


C. 是奇函数
D. 在区间 上有且仅有一个极值点



三、填空题
13. ，那么 ________．
14.函数 ，那么 ________．
15.实数 、 满足 ，那么 的取值范围是________．
16.在长方体 中， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， 是底面 内一动点，假设直线 与平面 平行，当三角形 的面积最小时，三棱锥 的外接球的体积是________．
四、解答题
17. 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ．
〔1〕求角 ；
〔2〕假设 ， 的面积为 ，求 的值．
18.在① ；② ；③ ， ， ．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：数列 满足  ▲  〔 〕，假设 ，求数列 的前 项和 ．
19.垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程．搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容．为推进垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如以下联表〔单位：人〕：

能正确进行垃圾分类
不能正确进行垃圾分类
总计
55岁及以下
90
30
120
55岁以上
50
30
80
总计
140
60
200
附： ，其中 ．










〔1〕根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？
〔2〕将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类〞的人数为 ，假设每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量 的分布列和均值 ．
20.如下列图多面体 中，平面 平面 ， 平面 ， 是正三角形，四边形 是菱形， ， ， ．

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的正弦值．
21.椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的上顶点与抛物线 ： 的焦点 重合，且抛物线 经过点 ， 为坐标原点．
〔1〕求椭圆 和抛物线 的标准方程；
〔2〕直线 ： 与抛物线 交于 ， 两点，与椭圆 交于 ， 两点，假设直线 平分 ，四边形 能否为平行四边形？假设能，求实数 的值；假设不能，请说明理由．
22.函数 ．
〔1〕求函数 的单调区间；
〔2〕假设 且 ，证明： ， ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，
所以
故答案为：C

【分析】 求出集合A，B，根据并集的定义求出A∪B．
2.【解析】【解答】由 ，得 ，
所以复数z在复平面内对应的点为 ，
所以对应点位于第四象限.
故答案为：D.

【分析】 先利用复数的除法运算求出z的代数形式，然后由复数的几何意义求出对应的点的坐标，即可得到答案．
3.【解析】【解答】由 知： ，
那么 ；
由 知： ，
那么 ；
由 知： ，
那么 ，
所以 ；
故答案为：B.

【分析】 利用正弦函数、对数函数、指数函数的单调性直接求解．
4.【解析】【解答】设 年 的产量为 ，由题意可知，数列 是等差数列，
那么 ， ，那么 月到 月这四个月的产量之和为 吨.
故答案为：C.

【分析】利用等差数列下标和的性质可求得结果。
5.【解析】【解答】二项式展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
那么 ，所以 ，解得 .
故答案为：A

【分析】 求出展开式的通项公式，利用次数为5建立方程进行求解即可．
6.【解析】【解答】由图可知 ，解得： ，
的频率为 ， 的频率为 ， 的频率为 ，那么对应的频率之比为 ，
那么 组抽3人， 抽取2人， 抽取1人，
那么6人中随机抽取3人，那么这三人中恰有2人年人均纯收入位于 的概率是 .
故答案为：D

【分析】 先利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出a的值，计算出[55，60〕，[60，65〕，[65，70〕的频率的比值，由分层抽样得到各组所抽人数，再利用古典概型的概率公式求解．
7.【解析】【解答】由于 、 、 均为单位向量，那么 ，
由 可得 ，所以， ，
即 ，所以， ，
由 ，可得 ，
即 ，解得 .
所以， .
故答案为：B.

【分析】由 可得 ， 可得出，可计算出，再由可求得， 进而可得出即可得解。
8.【解析】【解答】依题意，延长 交 于Q ， 由 是 的角平分线， 可知， 是 的中点， .

又O是 的中点，故 是 的中位线，
所以 ，
故 ，即 ，故 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为：D.

【分析】 延长 交 于Q，连接ON，由三角形的中位线定理和双曲线的定义、垂直平分线的性质，结合双曲线的a，b，c的关系，可得渐近线方程．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由存在性量词命题的否认知“ ，使得 〞的否认是“ ，使得 〞，A符合题意；
因为随机变量 ，且 ，所以 ，即 ，B符合题意；
因为 ，当且仅当 ，即 等号成立，C不正确；
等比数列中，由 可得 ，解得 ，
当 时，假设 ，那么 ，故“ 〞是“ 〞的充分不必要条件，D符合题意.
故答案为：ABD

【分析】 A．根据特称命题的否认是全称命题进行判断；B．根据对称性进行判断；C．根据根本不等式进行求解判断；D．根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
10.【解析】【解答】 ，
，A不符合题意； ，B符合题意；
时， ，所以函数 在 上单调递增，C符合题意； 时， ，当 时，函数取得最小值-1，当 时，函数取得最大值 ，所以函数的值域是 .
故答案为：BC

【分析】 由题意利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
11.【解析】【解答】在 中， ，
那么圆锥的母线长 ，半径 ，
对于A：圆锥 的侧面积为： ，A不符合题意；
对于B：当 时， 的面积最大，
此时 ，
那么三棱锥 体积的最大值为： ；
B符合题意；
对于C：当点 与点 重合时， 为最小角，当点 与点 重合时， ，到达最大值，
又因为 与 不重合，
那么 ，
又 ，
可得 ，
C不符合题意；
对于D：由 ，
得 ，
又 ，
那么 为等边三角形，
那么 ，
将 以 为轴旋转到与 共面，得到 ，
那么 为等边三角形， ，
如图：

那么 ，
因为 ，
，
那么 ，D符合题意；
故答案为：BD.

【分析】 由求出圆锥侧面积判断A；求出三棱锥S-ABC体积的最大值判断B；由极限观点求解∠SAB的取值范围判断C；利用剪展问题求得SE+CE的最小值判断D．
12.【解析】【解答】对于A： ，
A符合题意；
对于B：由 ，
得 ，
当 时， ，
所以 在区间 上是增函数，
B不正确；
对于C： ，
设 ，
那么
 
，
所以函数 即 是奇函数；
C符合题意；
对于D：由 ，
得 ，
而 ，
〔1〕当 时， ，
所以 ，
即 在区间 单调递减，
又 ，
，
所以 在区间 上存在唯一零点；
〔2〕当 时， ，
又 ，
那么 ，
那么 在区间 上无零点，
综上可得： 在区间 上有且仅有一个极值点；
D符合题意；
故答案为：ACD.

【分析】 求出f〔x+2π〕=f〔x〕即可判断选项A；求出f′〔x〕，利用导数与单调性的关系即可判断选项B；利用函数奇偶性的定义即可判断选项C；利用导数可得f〔x〕的单调性，从而判断极值点个数，即可判断选项D．
三、填空题
13.【解析】【解答】由二倍角的余弦公式可得 .
故答案为： .

【分析】 利用角的变换的思想结合余弦的二倍角公式求解即可．
14.【解析】【解答】由 ，
得 ；
故答案为：e.

【分析】 根据题意，由函数的解析式可得f〔-5〕=f〔-3〕=f〔-1〕=f〔1〕，进而计算可得答案．
15.【解析】【解答】圆 的圆心坐标为 ，该圆的半径为 ，
设 ，可知直线 与圆 有公共点，
所以， ，即 ，解得 .
因此， 的取值范围是[-1,3].
故答案为：[-1,3].

【分析】设 ，可知直线 与圆 有公共点，利用圆心到直线的距离不大于圆的半径可得出关于t的不等式，由此可解得t的取值范围，即为所求。
16.【解析】【解答】补全截面 为截面 如图，设 ，

直线 与平面 不存在公共点， 平面 ，
易知平面 平面 ， ，
且当 与 重合时， 最短，此时 的面积最小，
由等面积法得 ，即 ， ，
， ， 平面 ，那么 ，
又 ， 为三棱锥 的外接球的直径，长度为 ．
三棱锥 的外接球的半径为 ，体积为 ．
故答案为： ．

【分析】 补全截面EFG为截面EFGHQR，可得D1P∥平面EFGHQR，又平面ACD1∥平面EFGHQR，确定点P线段AC上，故当当P与R重合时，△PBB1的面积最小，证明AP⊥B1P，又AB⊥B1B，从而得到AB1为三棱锥A-BB1P的外接球的直径，求出球的半径，利用球的体积公式求解即可．
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕由正弦定理把条件 转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A的关系式，从而可得结论；
〔2〕首先可根据解三角形面积公式得出   ，然后根据余弦定理计算出 。
 
 
18.【解析】【分析】 中选条件①时：先由题设推导出：an=2an-1，n≥2，然后由题设求得a1 ， 从而有数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，即可求得an与bn ， 再利用错位相减法求得Tn；
中选条件②时：先由题设推导出：an=3×2n-1 ， n≥2，然后由题设求得a1 ， 即可求得an与bn ， 再利用错位相减法求得Tn；
中选条件③时：先由题设得到：数列{an}是等比数列，然后求得其公比q，即可求得an与bn ， 再利用错位相减法求得Tn ．
19.【解析】【分析】 〔1〕根据以上数据，计算K的观测值k2 ， 利用表格即可判断出结论．
〔2〕由题意可得：   ，即可得出随机变量X的分布列与E〔X〕．
 
 
20.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面平行的判定定理证明；
〔2〕用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解．
 
 
21.【解析】【分析】 〔1〕 由抛物线  经过点  ，得   ，解得p，进而可得抛物线C2的方程，由椭圆C1的上顶点与抛物线C2的焦点F重合，得b=1①，由椭圆的离心率为 ，得   ，解得a，c，进而可得椭圆C1的方程．
〔2〕由PF⊥y轴，设直线PA，直线PB的斜率分别为  ， ， 直线  平分    ， 设  ，  ， ，用坐标表示， 化简可得 ，进而可得  ， 写出直线l的方程为y=-x+m，分别联立椭圆，抛物线的方程，由判别式△＞0，解得 ，设 设  ， ，由弦长公式可得|CD|，|OP|，由四边形OCPD为平行四边形，得|CD|=|OP|，解得m．
 
 
22.【解析】【分析】 〔1〕求出函数的导数，解关于导函数的方程，结合a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔2〕问题转化为证    ，  ，令  ，根据函数的单调性证明即可。