2021届山东省烟台市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届山东省烟台市高三数学一模试卷及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 



2.假设复数 ，那么 〔    〕
A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 



3.展开式中含 项的系数为〔    〕
A. 240                                     B. -240                                     C. 176                                     D. -176



4. 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 两点，假设 中点的横坐标为 那么 〔    〕
A. 8                                         B. 10                                         C. 12                                         D. 16



5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 (单位： )与时间 (单位： )间的关系式为 ，其中 为正常数.如果一定量的废气在前 的过滤过程中污染物被消除了 那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据： )〔    〕
A. 11h                                      B. 21h                                      C. 31h                                      D. 41h



6.平行四边形 中， ， ， ， 为 中点，点 在对角线 上，且 ，假设 ，那么 〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 



7. 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，那么〔    〕
A.                                                        B. 2是 的一个周期


C. 当 时，                         D. 的解集为



8.某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线 上取长度为 的线段 并作等边三角形 第一次画线：以点 为圆心､ 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ；第二次画线：以点 为圆心､ 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 以此类推，得到的螺线如如以下图，那么〔   〕

A. 第二次画线的圆弧长度为


B. 前三次画线的圆弧总长度为4π


C. 在螺线与直线 恰有4个交点(不含 点)时停止画线，此时螺线的总长度为30π


D. 在螺线与直线 恰有6个交点(不含 点)时停止画线，此时螺线的总长度为60π



二、多项选择题
9.假设 ，那么〔   〕
A.                          B. 

                         C.                          D. 



10.双曲线 的一条渐近线方程为 ，那么〔    〕
A. 为 的一个焦点


B. 双曲线 的离心率为


C. 过点 作直线与 交于 两点，那么满足 的直线有且只有两条


D. 设 为 上三点且 关于原点对称，那么 斜率存在时其乘积为



11.函数 ，那么〔    〕
A. 在 上单调递增                                  B. 直线 是 图象的一条对称轴


C. 方程 在 上有三个实根                  D. 的最小值为-1



12.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字 .现有一款闯关游戏，共有4关，规那么如下：在第 关要抛掷六面骰 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这 次抛掷所出现的点数之和大于 ，那么算闯过第 关， 假定每次闯关互不影响，那么〔    〕
A. 直接挑战第2关并过关的概率为


B. 连续挑战前两关并过关的概率为


C. 假设直接挑战第3关，设 “三个点数之和等于 〞， “至少出现一个5点〞，那么


D. 假设直接挑战第4关，那么过关的概率是



三、填空题
13. ，假设 ，那么 的值为________.
14.2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.在党委政府精准扶贫政策下，自2021年起某地区贫困户第 年的年人均收入 (单位：万元)的统计数据如下表：
年份
2021
2021
2021
2021
年份编号
1
2
3
4
年人均收入




根据上表可得回归方程 中的 为0.3，据此模型预报该地区贫困户2021年的年人均收入为________.(单位：万元).
15.点 为直线 上一点，且 位于第一象限，点 ，以 为直径的圆与 交于点 (异于 )，假设 ，那么点 的横坐标的取值范围为________.
16.正三棱锥 的底面边长为2,侧棱长为 ，其内切球与两侧面 分别切于点 ，那么 的长度为________.
四、解答题
17.在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题： 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和 为常数， ，
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
18.将函数 图象上所有点向右平移 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 的图象.
〔1〕求函数 的解析式及单调递增区间；
〔2〕在 中，内角 的对边分别为 ，假设 ， ，求 的面积.
19.如图，四边形 是边长为 的正方形， 将三角形 沿 折起使平面 平面 .

〔1〕假设 为 上一点，且满足 ，求证： ；
〔2〕假设二面角 的余弦值为 ，求 的长.
20.某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求､丰富产品花色､提高企业竞争力，研发了一款新产品.该产品每份本钱60元，售价80元，产品保质期为两天，假设两天内未售出，那么产品过期报废.由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产､集中配送一次.该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续30天的日销量(单位：百份)，假定该款新产品每日销量相互独立，得到右侧的柱状图：

〔1〕记两天中销售该新产品的总份数为 (单位：百份)，求 的分布列和数学期望；
〔2〕以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份､28百份两种方案中应选择哪种？
21. 分别是椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶点， 是面积为4的直角三角形.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设圆 上任意一点 处的切线 交椭圆 于点 ，问： 是否为定值？假设是，求出此定值；假设不是，说明理由.
22.函数 为 的导函数.
〔1〕求函数 的极值；
〔2〕设函数 ，讨论 的单调性；
〔3〕当 时， ，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，
所以
故答案为：B

【分析】 可求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．
2.【解析】【解答】 ，
故答案为：D

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．
3.【解析】【解答】 展开式的通项： ，
展开式中含 项为
，
所以展开式中含 项的系数为176.
故答案为：C

【分析】利用二项式的通项公式可得 展开式的通项： ， 结合多项式相乘，使x的指数为2，即可求解。
4.【解析】【解答】解：抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，假设 的中点的横坐标为4，
设 ， ， ， ， ，
那么 ．
故答案为：C．

【分析】设 ， ， ， ， ，根据抛物线的定义即可得出答案。
5.【解析】【解答】由得 ，方程两边取自然对数得 ，所以 ，
设污染物减少到最初含量的 需要经过t小时，那么 ，两边取自然对数得 ，解得 ，
所以还需要经过 个小时的时间使污染物减少到最初含量的50%，
故答案为：B.

【分析】 先根据求出k，然后令P=50%P0 ， 化简即可求解．
6.【解析】【解答】以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如以下图所示的平面直角坐标系，

那么 、 、 、 、 ，
， ， ，
所以， ，
， ，那么 ，
因此， .
故答案为：A.

【分析】以点A为坐标原点， AD 所在直线为 轴建立如以下图所示的平面直角坐标系，求出   的坐标，由题意可得出， 由此可求得实数 的值。
7.【解析】【解答】因为 是定义在 上的奇函数，所以
所以 ，所以
所以 的最小正周期是4，B不符合题意
，A不符合题意
因为当 时， ， 是定义在 上的奇函数
所以当 时， ，
当 时， ， ，C不符合题意
因为当 时， ， 的最小正周期是4，
所以 的解集为 ，D符合题意
故答案为：D

【分析】 根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析f〔x〕的周期，可得B错误，再利用周期和解析式求出f〔2021〕的值，可得A错误，进而求出f〔x〕在区间[-1，3]上的解析式，可得C错误，利用周期性分析f〔x〕＞0的解集，可得D正确，即可得答案．
8.【解析】【解答】第 次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ；
第2次划线，以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ，A选项错误；交 累计1次.
第3次划线，以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ，B选项错误；交 累计2次.
第4次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ；
第5次划线，以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ，交 累计3次；
前5次累方案线 .
第6次划线，以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ，交 累计4次，累方案线 ，C选项错误.
第7次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ；
第8次划线，以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ，交 累计5次；
第9次划线，以点 为圆心， ，旋转 ，划线圆弧长 ，交 累计6次，累方案线 ，D选项正确.
故答案为：D

【分析】 根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A，当 时， 单调递增，所以由 可得 ，A符合题意；
对于B，当 时，所以 ，所以 在 单调递增，由 可得 ，B符合题意；
对于C，因为 ，又 ，所以 ，所以 ，C符合题意；
对于D，当 时， 单调递增，所以由 可得 ，
那么 ，即 ，D不正确.
故答案为：ABC.

【分析】 由指数函数的性质可判断选项A，B；利用作差法即可判断选项C；利用对数函数的性质即可判断选项D．
10.【解析】【解答】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线 ，所以 ， ， ，所以那么其焦点为 、 ，离心率 ，A不符合题意，B符合题意；过点 作直线与 交于 两点，因为 为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时 ，当直线的斜率为 时， ，所以由双曲线的对称性得，满足 的直线有4条，C不符合题意；
设 ， ， ，所以 ， ，因为 在双曲线上，所以 ， ，两式相减得 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：BD

【分析】 由渐近线方程，可得m的方程，求得m，可得a，b，c，可判断A；由双曲线的离心率公式，计算可判断B；分别讨论A，B分别在左、右两支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断C；由点差法和直线的斜率公式，计算可判断D．
11.【解析】【解答】对于A选项， ， ，那么 ，
所以，函数 在 上不是增函数，A选项错误；
对于B选项， ，
所以，直线 是 图象的一条对称轴，B选项正确；
对于C选项，由 ，可得 ，
显然 ，等式 两边平方得 ，
整理可得 ，解得 或 .
当 时， ，那么 或 .
方程 在 时有两解，方程 在 时只有一解.
所以，方程 在 上有三个实根，C选项正确；
对于D选项，假设 的最小值为 ，即 ，即 ，
且存在 ，使得 ，此时 ，
这与 矛盾，假设不成立，D选项错误.
故答案为：BC.

【分析】 直接利用分类讨论思想的应用，对函数的关系式进一步变换，进一步利用正弦型函数的性质的应用和零点定理的应用判断A、B、C、D的结论．
12.【解析】【解答】对于A项， ，所以两次点数之和应大于6，
即直接挑战第2关并过关的概率为 ，
A符合题意；
对于B项， ，所以挑战第一关通过的概率 ，
那么连续挑战前两关并过关的概率为 ，B不符合题意；
对于C项，由题意可知，抛掷3次的根本领件有 ，
抛掷3次至少出现一个5点的共有 种，
故 ,而事件AB包括：含5,5,5的1种，
含4,5,6的有6种，共7种，故 ,
所以 ,C符合题意；
对于D项，当n=4时， ，根本领件有 个，
而“4次点数之和大于20〞包含以下35种情况：
含5,5,5,6的有4种，含5,5,6,6的有6种，
含6,6,6,6的有1种，含4,6,6,6的有4种，
含5,6,6,6的有4种，含4,5,6,6的有12种，
含3,6,6,6的有4种，所以 ，
D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】 分别求出根本领件的总数，求出符合条件的事件数，然后利用条件概率以及古典概型的概率公式进行求解，对每个选项逐一判断即可．
三、填空题
13.【解析】【解答】 ， ，
， ，
.
故答案为： .

【分析】 由诱导公式可得，再结合余弦的二倍角公式与同除余弦，即可得解．
14.【解析】【解答】 .
故 ，
所以 ，
年，对应 ，预测值为 〔万元〕


【分析】 由求得样本中心点的坐标，代入线性回归方程求得 ，在线性回归方程中，取x=5求得得答案．
15.【解析】【解答】由题意设 ，设 的中点为 ，由中点坐标公式可得： ，
所以以 为直径的圆的方程为： ，把 代入得： ，所以 ，
因为 是直径，所以 ，因此 ，因为 ，
所以 ，
即 ，化简得： ，
而 ，解得 .
故答案为：

【分析】据题意求出圆的方程，进而求出C点坐标，根据圆的几何性质，结合锐角三角函数定义及性质进行求解即可。
16.【解析】【解答】如图，

设正三棱锥内切球的半径为 ， 为内切球与侧面 的切点， 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为 ，
为等边三角形，
, , ,
,
,
, 即
,
，解得 ，
,

由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故 ,
由余弦定理可得 ，
所以
故答案为：

【分析】 根据正三棱锥的性质结合图形，利用比例关系求出内切圆半径，再求出侧面切点所在圆的半径，即可求出MN的长度．
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕设   的公差为d，d不为零，{bn}的公比为q，结合等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
〔2〕由   的通项公式和[x]的定义，求得cn的特点，计算可得所求和．
18.【解析】【分析】 〔1〕直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果；
〔2〕利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
 
 
19.【解析】【分析】 〔1〕利用面面垂直的性质证明AB⊥平面PAD，从而可证PD⊥AB，又PD⊥BM，由线面垂直的判定定理可证明PD⊥平面ABM，即可证明PD⊥AM；
〔2〕建立空间直角坐标系，设OP=a，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面PBC和平面PCD的法向量，由向量的夹角公式列出关于a的等式，求出a的值，即可求出AP的值．
 
 
20.【解析】【分析】 〔1〕根据题意可得ξ的所有可能取值为24，25，26，27，28，29，30，分别求出相应的概率，能求出ξ的分布列和E〔ξ〕；
〔2〕分别求出每天生产配送27百份时的利润和每天生产配送28百份时的利润，推导出选择每天生产配送27百份．
21.【解析】【分析】〔1〕   是面积为4的直角三角形可得b,c的值，再由a,b,c的值求出a的值，进而求出椭圆的方程；
〔2〕分切线的斜率不存在时，求出P,M,N的坐标可得 ，当切线的斜率存在时，设切线  的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由直线与圆相切可得参数的关系，将数量积  ，然后求出数量积 ，再由参数的范围可得   ，可得 。
22.【解析】【分析】〔1〕两次求出  的导数，可得  在  单增， 又 ， 那么可判断出  的单调性，求出极值；
〔2〕可得 ， 由〔1〕得 ， 讨论  和   两种情况可得出单调性；
〔3〕两次求出   的导数，可得  在  单调递减 ，再讨论   和 的情况，得出的正负情况，判断 的单调性可得。