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2022年山东省日照市高考数学一模试卷
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这是一份2022年山东省日照市高考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了已知p等内容，欢迎下载使用。
2022年山东省日照市高考数学一模试卷
1.（5分）集合A={-2,0,1,2}，B={-2,1,3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {-2} B. { 0,1,3}
C. { 0,2,3} D. { 1,2,3}
2.（5分）复平面内表示复数z=6+2i2-i的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（5分）若抛物线x2=my上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则m=( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 12
4.（5分）已知角θ的终边经过点P(12,-32)，则角θ可以为( )
A. 5π6 B. 2π3 C. 11π6 D. 5π3
5.（5分）已知p：|x+1|>2，q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的范围是( )
A. [1,+∞) B. (-∞,1]
C. [-3,+∞) D. (-∞,-3]
6.（5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3a5)的值为( )
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
7.（5分）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1)，b=g(20.5)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. S1>S2 B. S1
x
2
4
7
10
15
22
y
8.1
9.4
12
14.4
18.5
24
A. 变量y与x呈正相关 B. 样本点的中心为(10,14.4)
C. \hat a=6.8 D. 当x=16时，y的估计值为13
10.（5分）已知函数f(x)=cos[π4(x-2)]-sin[π4(x+2)]，则( )
A. 函数f(x)的图像关于y轴对称
B. x∈[2,4]时，函数f(x)的值域为[1,2]
C. 函数f(x)的图像关于点(5,0)中心对称
D. 函数f(x)的最小正周期是8
11.（5分）已知曲线C：x|x|4+y2=1，则( )
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C上任意点P满足|OP|⩾1(O为坐标原点)
C. 曲线C与x2-4y2=0有且仅有两个公共点
D. 曲线C上有无数个整点(整点指横纵坐标均为整数的点)
12.（5分）已知球O的半径为4，球心O在大小为60°的二面角α-l-β内，二面角α-l-β的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆O1，O2，若两圆O1，O2的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体OAO1O2的体积为V，则正确的是( )
A. O，E，O1，O2四点共圆 B. OE=23
C. O1O2=3 D. V的最大值为32
13.（5分）二项式(x-12x)6展开式的常数项是 ______.
14.（5分）已知数列{an}是正项等比数列，函数y=x2-5x+3的两个零点是a1，a5，则a3=______.
15.（5分）设函数f(x)=lnx,x>0,已知x1
17.（12分）已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，sinA+asinB=23.
(1)求角A；
(2)若asinA+csinC=6sinB，求ΔABC的面积．
18.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=23(an-1)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=an.sinnπ2，求数列{bn}的前100项的和T100.
19.（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，PA⊥AB，BC=CD=12AD，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为π2.
(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，并说明理由；
(2)若二面角P-CD-A的大小为π6，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
20.（12分）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20,40)，9：40～10：00记作[40,60)，10：00～10：20记作[60,80)，10：20～10：40记作[80,100)，例如10点04分，记作时刻64．
(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数)．
若T～N(μ,σ2)则P(μ-σ
21.（12分）已知函数f(x)=(ax2+x+1)lnx.
(1)若a=0，证明：当x>1时，f(x)>0；
(2)令ϕ(x)=f(x)-32ax2+2(a-1)x，若x=1是ϕ(x)极大值点，求实数a的值．
22.（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=22，P为椭圆上一动点，ΔPF1F2面积的最大值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点．证明：OM→.ON→为定值；
(3)平面内到两定点距离之比是常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆x2+y2=8上，求2|QA|+|QP|-|PF2|的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={-2,0,1,2}，B={-2,1,3}，
∴A∪B={-2,0,1,2,3}，A∩B={-2,1}，
∴图中阴影部分所表示的集合为：∁A∪B(A∩B)={ 0,2,3}，
故选：C.
求出A∪B={-2,0,1,2,3}，A∩B={-2,1}，图中阴影部分所表示的集合为∁A∪B(A∩B)，求解即可．
此题主要考查交集，并集，补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】
该题考查复数的四则运算以及几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
利用复数的运算法则化简复数为a+bi的形式，然后求解坐标所在的象限．
解：z=6+2i2-i=(6+2i)(2+i)(2-i)(2+i)
=10+10i5=2+2i，
它在复平面对应的点在第一象限．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线x2=my的焦点为(0,m4)，准线方程为y=-m4，
由抛物线上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，
由抛物线的定义可得2+m4=4，
解得m=8，
故选：A.
求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得m的方程，解方程可得所求值．
此题主要考查抛物线的定义和方程、性质，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵角θ的终边经过点P(12,-32)，
∴θ是第四象限角，且cosθ=12，sinθ=-32，
则θ=5π3.
故选：D.
由已知可得θ是第四象限角，且cosθ=12，sinθ=-32，结合选项得结论．
此题主要考查象限角与轴线角，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：p：|x+1|>2⇔x+1<-2或x+1>2⇔x<-3或x>1，
¬p是¬q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，
可知(a,+∞)⫋(-∞,-3)∪(1,+∞)，
∴a∈[1,+∞).
故选：A.
p：|x+1|>2⇔x+1<-2或x+1>2⇔x<-3或x>1，¬p是¬q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件⇔(a,+∞)⫋(-∞,-3)∪(1,+∞)，根据前面转化可解决此题．
此题主要考查绝对值不等式解法及充分、必要条件应用，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
该题考查等比数列的两项积的对数值求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
推导出{an}是以2为公比的等比数列，且S7=a1(1-27)1-2=1016，解得a1=8，由此能求出log2(a3⋅a5)的值．
解：现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，
这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，
则{an}是以2为公比的等比数列，
∴S7=a1(1-27)1-2=1016，127a1=1016，
解得a1=8，
∴log2(a3⋅a5)=log2(8×22×8×24)=12．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x)，
可得g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，即g(x)为偶函数，
当x⩾0时，g'(x)=f(x)+xf'(x)⩾0，即有g(x)在[0,+∞)单调递增．
因为a=g(-log25.1)=g(log25.1)，
2
首先判断g(x)的奇偶性，再由g(x)的导数判断g(x)的单调性，结合对数函数和指数函数的单调性可得所求大小关系．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设PQ与x轴夹角为θ，令|PF|=m，|QF|=n，
则|PM|=m，|QN|=n，
∵S1=π(|PM|+|QN|)⋅|PQ|=π(m+n)2，S2=π(m+n)2sin2θ，
∴S1⩾S2 当且仅当θ=90°时，等号成立．
故选：C.
根据已知条件，结合抛物线的定义，以及圆台的侧面积公式和球的表面积公式，即可求解．
此题主要考查抛物线的定义，考查转化能力，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，∵y关于x的线性回归方程为\hat y=0.8x+\hat a，0.8>0，
∴变量y与x呈正相关，故A正确，
对于B，- x=1 6×(2+4+7+10+15+22)=10，- y=1 6×(8.1+9.4+12+14.4+18.5+24)=14.4，
故样本点的中心为(10,14.4)，故B正确，
将样本的中心(10,14.4)代入\hat y=0.8x+\hat a可得，14.4=0.8×10+\hat a，解得\hat a=6.4，故C错误，
将x=16代入回归方程可得，\hat y=0.8×16+6.4=19.2，故D错误．
故选：AB.
先根据回归方程判断选项A，求出样本中心，结合回归方程，即可依次求解．
此题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：f(x)=cos[π4(x-2)]-sin[π4(x+2)]
=cos(π4x-π2)-sin(π4x+π2)=sinπ4x-cosπ4x
=2sin(π4x-π4)，
A：当x=0时，则f(0)=2sin(-π4)=-1≠±2，∴A错误，
B：当x∈[2,4]，即π4x-π4∈[π4,3π4]时，sin(π4x+π4)∈[22,1]，∴f(x)∈[1,2]，∴B正确，
C：当x=5时，则f(5)=2sinπ=0，∴C正确，
D：∵T=2ππ4=8，∴函数f(x)的最小正周期是8，∴D正确，
故选：BCD.
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式得到f(x)=2sin(π4x-π4)，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．
此题主要考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，正弦函数的图象与性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：选项A，(2,0)满足x|x|4+y2=1，故点(2,0)在曲线上，但(-2,0)不满足x|x|4+y2=1，故点(-2,0)不在曲线上，故曲线C不关于原点对称，故A错误；
选项B，设P(x,y)在曲线上，故|OP|=x2+y2=x2+1-x|x|4，
当x⩾0时，|OP|=x2+1-x24=3x24+1⩾1，
当x<0时，|OP|=x2+1+x24=5x24+1>1，
故曲线C上任意点P满足|OP|⩾1(O为坐标原点)，故B正确；
选项C，联立{x|x|4+y2=1x2-4y2=0，故x|x|+x2=4，
x<0时，0=4，无解，
故曲线C与x2-4y2=0且仅有两个公共点，故C正确；
选项D，当x⩾0时，曲线C为x24+y2=1，
若为整点，则x24=1,y2=0或x24=0,y2=1，
故有(2,0)，(0,1)，(0,-1)三个整点；
当x<0时，曲线C为-x24+y2=1，
若为整点，则x=2k,k∈Z,y=±1+k2，
若y=±1+k2∈Z，则k=0，与x<0矛盾，
故曲线C上只有三个整点，故D不正确；
故选：BC.
选项A，取特殊点(2,0)，(-2,0)验证即可判断；选项B，由|OP|=x2+y2=x2+1-x|x|4，分x⩾0，x<0讨论，即可判断；选项C，联立{x|x|4+y2=1x2-4y2=0,分x⩾0，x<0讨论，即可判断；选项D，分x⩾0，x<0讨论，分析即可判断．
此题主要考查了由曲线的方程研究曲线的性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为公共弦AB在棱l上，连结OE，O1E，O2E，O1O2，OA，
则OE=OA2-AE2=23，故B正确；
因为二面角α-l-β的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，O为球心，
所以OO1⊥α，OO2⊥β，
又O1E⊂平面α，O2E⊂平面β，
所以OO1⊥O1E，OO2⊥O2E，
故O，E，O1，O2四点共圆，故选项A正确；
因为E为弦AB的中点，
故O1E⊥AB，O2E⊥AB，故∠O1EO2即为二面角α-l-β的平面角，
所以∠O1EO2=60°，
故O1O2=OEsin60°=3，故选项C错误，
设OO1=d1，OO2=d2，
在ΔOO1O2中，由余弦定理可得，O1O12=9=d12+d22+d1d2⩾3d1d2，
所以d1d2⩽3，故SΔOO1O2⩽332，
所以V=13⋅AE⋅SΔOO1O2⩽32，
当且仅当d1=d2时取等号，故选项D正确．
故选：ABD.
利用球心和截面圆之间的关系可以得到O，E，O1，O2四点共圆，即可判断选项A；利用二面角的定义得到∠O1EO2即为二面角α-l-β的平面角，求出O1O2即可判断选项B，C；利用余弦定理和基本不等式以及锥体的体积公式即可判断选项D.
此题主要考查了立体几何的综合应用，考查的知识点：球的几何性质、截面圆的几何性质、二面角的平面角、余弦定理、基本不等式以及锥体的体积公式，综合性强，属于中档题．
13.【答案】 1516
【解析】解：由二项式(x-12x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6-r(-12x)r=(-12)rC6rx12-3r2，
令12-3r=0，
解得r=4，
即二项式(x-12x)6展开式的常数项是(-12)4C64=1516，
故答案为：1516.
由二项式展开式的通项公式求解即可．
此题主要考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：数列{an}是正项等比数列，函数y=x2-5x+3的两个零点是a1，a5，
∴a32=a1a5=3，
∴a3=3.
故答案为：3.
利用韦达定理和等比数列的性质直接求解．
此题主要考查等比数列的第3项的求法，考查韦达定理和等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】 1-e
【解析】解：令f(x1)=f(x2)=t，由图象可知t∈(-∞,-a].
因为x1
所以x2-x1=et-t-a.
令g(t)=et-t-a(t⩽-a)，
则g'(t)=et-1(t⩽-a)，
所以当a⩾0时，g(t)在(-∞,-a]上单调递减，
所以g(t)min=g(-a)=e-a+a-a=e-a=e，
解得a=-1与a⩾0矛盾，舍去；
当a<0时，g(t)在(-∞,0]上单调递减，在(0,-a]上单调递增，
所以g(t)min=g(0)=e0-0-a=e，解得a=1-e<0，符合题意．
综上可得a=1-e.
故答案为：1-e.
令f(x1)=f(x2)=t，得到x2-x1=et-t-a.令g(t)=et-t+a(t⩽-a)，则g'(t)=et-1(t⩽a)，分类讨论，求出函数的单调性，可得g(t)的最小值，即可求得a的值．
此题主要考查利用导数研究函数的性质，利用导数求最值的方法等知识，属于中档题．
16.【答案】 27220
【解析】解：a2→=a1→-(a1→⋅b2→)b2→=(1,1)-12(12,0)=(34,1),a3→=a2→-(a2→⋅b3→)b3→=(34,1)-14(13,0)=(23,1)，
归纳出，an→=(n+12n,1),n∈N*，接下来用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a1=(1+12×1,1)=(1,1)满足题意；
假设当n=k时，ak→=(k+12k,1)，则当n=k+1时，ak+1→=ak→-(ak→⋅bk+1→)bk+1→
=(k+12k,1)-[(k+12k,1)⋅(1k+1,0)](1k+1,0)=(k+22(k+1),1)=(k+1+12(k+1),1)，故an=(n+12n,1),n∈N*，
其中an→⋅bn+2→(n+1)2=(n+12n,1)⋅(1n+2,0)(n+1)2=12n(n+1)(n+2)=14(1n(n+1)-1(n+1)(n+2))
所以a1→⋅b3→22+a2→⋅b4→32+…+a9→⋅b11→102=14(11×2-12×3+12×3-13×4+⋯+19×10-110×11)=14(12-1110)=27220
故答案为：27220.
先通过数学归纳法证明出an=(n+12n,1),n∈N*，然后代入式子中，利用裂项相消法进行求和计算．
此题主要考查数列与向量的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）∵b=3，sinA+asinB=23，且asinB=bsinA，
∴sinA+3sinA=23，得sinA=32，
∵A为锐角，
∴A=π3；
（2）∵A=π3，
又asinA+csinC=6sinB，结合正弦定理可得a2+c2=6b=18，
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc•cosA，即18-c2=9+c2-6c•12=9+c2-3c，
∴2c2-3c-9=0，解得c=-32（舍去），或c=3．
∴S△ABC=12bc•sinA=12×3×3×32=934．
【解析】
(1)由已知利用正弦定理可得sinA+3sinA=23，得sinA=32，即可求得角A；
(2)由asinA+csinC=6sinB，利用正弦定理化角为边得a2+c2=6b=18，再由余弦定理求解c，然后利用三角形面积公式求解．
此题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=23(an-1)-23(an-1-1)，
整理得anan-1=-2，
又a1=S1=23(a1-1)，得a1=-2
则数列{an}是以-2为首项，-2 为公比的等比数列．
则an=(-2)n，n∈N*
（2）已知bn=an·sinnπ2，
当n=4k，k∈N*时，b4k=(-2)4k⋅sin4kπ2=0，
当n=4k-1，k∈N*时，b4k-1=(-2)4k-1⋅sin(4k-1)π2=24k-1，
当n=4k-2，k∈N*时，b4k-2=(-2)4k-2⋅sin(4k-2)π2=0，
当n=4k-3，k∈N*时，b4k-3=(-2)4k-3⋅sin(4k-3)π2=-24k-3，
则T100=b1+b2+b3+⋯+b100=-(2+25+⋯+297)+(23+27+⋯+299)
=-2-2971-2+2-2991-2=3×297．
【解析】
(1)利用an与Sn的递推关系，即可求出通项公式．
(2)求出b4k，b4k-1，b4k-2，b4k-3，然后分组求和．
此题主要考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=12AD，
∵BC=CD=12AD，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．
∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，
∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，
∵M∈AB，AB⊂平面PAB，
∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．
（2）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，
∴AP⊥平面ABCD．
∴CD⊥PD，PA⊥AD．
因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为π6，
∴PA=33AD．
不妨设AD=6，则BC=CD=12AD=3．∴P（0，0，23），E（0，3，0），C（-3，6，0），
∴EC→=（-3，3，0），PE→=（0，3，-23），AP→=（0，0，23），
设平面PCE的法向量为n→=（x，y，z），则{n→·PE→=0n→·EC→=0，可得：{3y-23z=0-3x+3y=0．
令z=3，则y=2，x=2，∴n→=（2，2，3）．
设直线PA与平面PCE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜AP→，n→＞|=|AP→·n→|AP→|·|n→||=623×4+4+3=311=3311．
【解析】
(1)延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=12AD，由BC=CD=12AD，可得ED=BC，已知ED//BC.可得四边形BCDE为平行四边形，即EB//CD.利用线面平行的判定定理证明得直线CM//平面PBE即可．
(2)如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD.由CD⊥PD，PA⊥AD.因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为π6，PA=AD.不妨设AD=6，则BC=CD=12AD=1.可得P(0,0,23)，E(0,3,0)，C(-3,6,0)，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．
此题主要考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以P（X=0）=C64C104=114，
P（X=1）=C41C 36 C104=821，
P（X=2）=C42C 26 C104=37，
P（X=3）=C43C 16 C104=435，
P（X=4）=C44C104=1210，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
114
821
37
435
1210
所以E（X）=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85．
（3）由（1）得μ=64，
σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，
所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，
由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=P(μ-σ＜T≤μ+σ)2+P(μ-2σ＜T≤σ+2σ)2=0.8186，
所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．
【解析】
(1)将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
(2)抽样比为10600=160，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．
(3)根据频率分布直方图估计出方差，再结合(1)求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．
该题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．
21.【答案】解：（1）证明：a=0时，f（x）=（x+1）lnx，x＞1时，x+1＞2，lnx＞0，∴f（x）=（x+1）lnx＞0．
（2）φ(x)=f(x)-32ax2+2(a-1)x=（ax2+x+1）lnx-32ax2+2（a-1）x，
φ′（x）=（2ax+1）lnx+（ax2+x+1）1x-3ax+2（a-1）=（2ax+1）lnx-2ax+1x+2a-1，φ′（1）=0，
φ″（x）=2alnx+2a+1x-2a-1x2=2alnx+1x-1x2=g（x），g（1）=0，
g′（x）=2ax-1x2+2x3=2ax2-x+2x3，
令g′（1）=2a+1=0，解得a=-12，
当a=-12时，g′（x）=-x2-x+2x3=(x+2)(1-x)x3，
可得x=1时，φ″（x）取得极大值即最大值，φ″（1）=0，
∴φ″（x）≤0，
又φ′（1）=0，
∴x=1是φ（x）极大值点，
∴实数a=-12．
【解析】
(1)a=0时，f(x)=(x+1)lnx，x>1时，x+1>2，lnx>0，即可证明结论．
(2)ϕ(x)=(ax2+x+1)lnx-32ax2+2(a-1)x，ϕ'(x)=(2ax+1)lnx-2ax+1x+2a-1，ϕ'(1)=0，需要ϕ''(x)⩽0恒成立，进而得出a的值．
此题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次求导解决函数极值问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解：（1）当P为短轴端点时，△PF1F2的面积最大，bc=2，
{ca=22bc=2a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，
∴椭圆方程为x24+y22=1．
（2）证明：由（1）知C（-2，0），D（2，0），
设直线CM：y=k（x+2），N（x1，y1），
∵MD⊥CD，∴M（2，4k），
联立{x24+y22=1y=k(x+2)，整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0，
由-2x1=8k2-42k2+1，得x1=2-4k22k2+1，y1=k(x1+2)=4k2k2+1，
∴N（2-4k22k2+1，4k2k2+1），
∴OM→·ON→=2×2-4k22k2+1+4k×4k2k2+1=4，
∴OM→·ON→为定值4．
（3）由题意A（0，2），设R（0，m），Q（x，y），使2|QA|=|QR|．
|QR||QA|=2，x2+(y-m)2x2+(y-2)2=4，整理得x2+y2+2m-823y=m2-83，
∵点Q在圆x2+y2=8上，∴{2m-823=0m2-83=8，解得m=42，R（0，42），
由椭圆定义得|PF2|=4-|PF1|，
∴2|QA|+|QP|-|PF2|=|QR|+|QP|-（4-|PF1|）=|QR|+|QP|+|PF1|-4，
当R，P，F1共线时，R（0，42），F1（02，0），
∴2|QA|+|QP|-|PF2|取最小值34-4．
【解析】
(1)结合离心率和ΔPF1F2面积的最大值，列出a，b，c的方程，解方程能求出椭圆E的方程；
(2)设直线CM方程，写出点M坐标，联立椭圆方程，求出N点坐标，通过向量数量积公式能证明OM→.ON→为定值．
(3)设占R坐标，借助点Q在圆x2+y2=8上，将2|QA|转化成|RA|，再借助椭圆定义将|PF2|转化成4-|PF1|，最后通过R，P，F1三点共线能求出2|QA|+|QP|-|PF2|的最小值．
此题主要考查椭圆方程的求法，考查向量数量积为定值的证明，考查椭圆与直线的位置关系、韦达定理、椭圆方程、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2022年山东省日照市高考数学一模试卷
1.（5分）集合A={-2,0,1,2}，B={-2,1,3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {-2} B. { 0,1,3}
C. { 0,2,3} D. { 1,2,3}
2.（5分）复平面内表示复数z=6+2i2-i的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（5分）若抛物线x2=my上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则m=( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 12
4.（5分）已知角θ的终边经过点P(12,-32)，则角θ可以为( )
A. 5π6 B. 2π3 C. 11π6 D. 5π3
5.（5分）已知p：|x+1|>2，q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的范围是( )
A. [1,+∞) B. (-∞,1]
C. [-3,+∞) D. (-∞,-3]
6.（5分）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3a5)的值为( )
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
7.（5分）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1)，b=g(20.5)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a
A. S1>S2 B. S1
x
2
4
7
10
15
22
y
8.1
9.4
12
14.4
18.5
24
A. 变量y与x呈正相关 B. 样本点的中心为(10,14.4)
C. \hat a=6.8 D. 当x=16时，y的估计值为13
10.（5分）已知函数f(x)=cos[π4(x-2)]-sin[π4(x+2)]，则( )
A. 函数f(x)的图像关于y轴对称
B. x∈[2,4]时，函数f(x)的值域为[1,2]
C. 函数f(x)的图像关于点(5,0)中心对称
D. 函数f(x)的最小正周期是8
11.（5分）已知曲线C：x|x|4+y2=1，则( )
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C上任意点P满足|OP|⩾1(O为坐标原点)
C. 曲线C与x2-4y2=0有且仅有两个公共点
D. 曲线C上有无数个整点(整点指横纵坐标均为整数的点)
12.（5分）已知球O的半径为4，球心O在大小为60°的二面角α-l-β内，二面角α-l-β的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆O1，O2，若两圆O1，O2的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体OAO1O2的体积为V，则正确的是( )
A. O，E，O1，O2四点共圆 B. OE=23
C. O1O2=3 D. V的最大值为32
13.（5分）二项式(x-12x)6展开式的常数项是 ______.
14.（5分）已知数列{an}是正项等比数列，函数y=x2-5x+3的两个零点是a1，a5，则a3=______.
15.（5分）设函数f(x)=lnx,x>0,已知x1
17.（12分）已知锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，sinA+asinB=23.
(1)求角A；
(2)若asinA+csinC=6sinB，求ΔABC的面积．
18.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=23(an-1)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=an.sinnπ2，求数列{bn}的前100项的和T100.
19.（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，PA⊥AB，BC=CD=12AD，E是边AD的中点，异面直线PA与CD所成角为π2.
(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，并说明理由；
(2)若二面角P-CD-A的大小为π6，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
20.（12分）2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20,40)，9：40～10：00记作[40,60)，10：00～10：20记作[60,80)，10：20～10：40记作[80,100)，例如10点04分，记作时刻64．
(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数)．
若T～N(μ,σ2)则P(μ-σ
21.（12分）已知函数f(x)=(ax2+x+1)lnx.
(1)若a=0，证明：当x>1时，f(x)>0；
(2)令ϕ(x)=f(x)-32ax2+2(a-1)x，若x=1是ϕ(x)极大值点，求实数a的值．
22.（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=22，P为椭圆上一动点，ΔPF1F2面积的最大值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点．证明：OM→.ON→为定值；
(3)平面内到两定点距离之比是常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆x2+y2=8上，求2|QA|+|QP|-|PF2|的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={-2,0,1,2}，B={-2,1,3}，
∴A∪B={-2,0,1,2,3}，A∩B={-2,1}，
∴图中阴影部分所表示的集合为：∁A∪B(A∩B)={ 0,2,3}，
故选：C.
求出A∪B={-2,0,1,2,3}，A∩B={-2,1}，图中阴影部分所表示的集合为∁A∪B(A∩B)，求解即可．
此题主要考查交集，并集，补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】
该题考查复数的四则运算以及几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
利用复数的运算法则化简复数为a+bi的形式，然后求解坐标所在的象限．
解：z=6+2i2-i=(6+2i)(2+i)(2-i)(2+i)
=10+10i5=2+2i，
它在复平面对应的点在第一象限．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线x2=my的焦点为(0,m4)，准线方程为y=-m4，
由抛物线上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，
由抛物线的定义可得2+m4=4，
解得m=8，
故选：A.
求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得m的方程，解方程可得所求值．
此题主要考查抛物线的定义和方程、性质，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵角θ的终边经过点P(12,-32)，
∴θ是第四象限角，且cosθ=12，sinθ=-32，
则θ=5π3.
故选：D.
由已知可得θ是第四象限角，且cosθ=12，sinθ=-32，结合选项得结论．
此题主要考查象限角与轴线角，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：p：|x+1|>2⇔x+1<-2或x+1>2⇔x<-3或x>1，
¬p是¬q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，
可知(a,+∞)⫋(-∞,-3)∪(1,+∞)，
∴a∈[1,+∞).
故选：A.
p：|x+1|>2⇔x+1<-2或x+1>2⇔x<-3或x>1，¬p是¬q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件⇔(a,+∞)⫋(-∞,-3)∪(1,+∞)，根据前面转化可解决此题．
此题主要考查绝对值不等式解法及充分、必要条件应用，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
该题考查等比数列的两项积的对数值求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
推导出{an}是以2为公比的等比数列，且S7=a1(1-27)1-2=1016，解得a1=8，由此能求出log2(a3⋅a5)的值．
解：现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，
这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，
则{an}是以2为公比的等比数列，
∴S7=a1(1-27)1-2=1016，127a1=1016，
解得a1=8，
∴log2(a3⋅a5)=log2(8×22×8×24)=12．
故选：B．
7.【答案】B
【解析】解：奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x)，
可得g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，即g(x)为偶函数，
当x⩾0时，g'(x)=f(x)+xf'(x)⩾0，即有g(x)在[0,+∞)单调递增．
因为a=g(-log25.1)=g(log25.1)，
2
首先判断g(x)的奇偶性，再由g(x)的导数判断g(x)的单调性，结合对数函数和指数函数的单调性可得所求大小关系．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设PQ与x轴夹角为θ，令|PF|=m，|QF|=n，
则|PM|=m，|QN|=n，
∵S1=π(|PM|+|QN|)⋅|PQ|=π(m+n)2，S2=π(m+n)2sin2θ，
∴S1⩾S2 当且仅当θ=90°时，等号成立．
故选：C.
根据已知条件，结合抛物线的定义，以及圆台的侧面积公式和球的表面积公式，即可求解．
此题主要考查抛物线的定义，考查转化能力，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，∵y关于x的线性回归方程为\hat y=0.8x+\hat a，0.8>0，
∴变量y与x呈正相关，故A正确，
对于B，- x=1 6×(2+4+7+10+15+22)=10，- y=1 6×(8.1+9.4+12+14.4+18.5+24)=14.4，
故样本点的中心为(10,14.4)，故B正确，
将样本的中心(10,14.4)代入\hat y=0.8x+\hat a可得，14.4=0.8×10+\hat a，解得\hat a=6.4，故C错误，
将x=16代入回归方程可得，\hat y=0.8×16+6.4=19.2，故D错误．
故选：AB.
先根据回归方程判断选项A，求出样本中心，结合回归方程，即可依次求解．
此题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：f(x)=cos[π4(x-2)]-sin[π4(x+2)]
=cos(π4x-π2)-sin(π4x+π2)=sinπ4x-cosπ4x
=2sin(π4x-π4)，
A：当x=0时，则f(0)=2sin(-π4)=-1≠±2，∴A错误，
B：当x∈[2,4]，即π4x-π4∈[π4,3π4]时，sin(π4x+π4)∈[22,1]，∴f(x)∈[1,2]，∴B正确，
C：当x=5时，则f(5)=2sinπ=0，∴C正确，
D：∵T=2ππ4=8，∴函数f(x)的最小正周期是8，∴D正确，
故选：BCD.
利用两角和与差的正弦公式，诱导公式得到f(x)=2sin(π4x-π4)，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．
此题主要考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，正弦函数的图象与性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：选项A，(2,0)满足x|x|4+y2=1，故点(2,0)在曲线上，但(-2,0)不满足x|x|4+y2=1，故点(-2,0)不在曲线上，故曲线C不关于原点对称，故A错误；
选项B，设P(x,y)在曲线上，故|OP|=x2+y2=x2+1-x|x|4，
当x⩾0时，|OP|=x2+1-x24=3x24+1⩾1，
当x<0时，|OP|=x2+1+x24=5x24+1>1，
故曲线C上任意点P满足|OP|⩾1(O为坐标原点)，故B正确；
选项C，联立{x|x|4+y2=1x2-4y2=0，故x|x|+x2=4，
x<0时，0=4，无解，
故曲线C与x2-4y2=0且仅有两个公共点，故C正确；
选项D，当x⩾0时，曲线C为x24+y2=1，
若为整点，则x24=1,y2=0或x24=0,y2=1，
故有(2,0)，(0,1)，(0,-1)三个整点；
当x<0时，曲线C为-x24+y2=1，
若为整点，则x=2k,k∈Z,y=±1+k2，
若y=±1+k2∈Z，则k=0，与x<0矛盾，
故曲线C上只有三个整点，故D不正确；
故选：BC.
选项A，取特殊点(2,0)，(-2,0)验证即可判断；选项B，由|OP|=x2+y2=x2+1-x|x|4，分x⩾0，x<0讨论，即可判断；选项C，联立{x|x|4+y2=1x2-4y2=0,分x⩾0，x<0讨论，即可判断；选项D，分x⩾0，x<0讨论，分析即可判断．
此题主要考查了由曲线的方程研究曲线的性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为公共弦AB在棱l上，连结OE，O1E，O2E，O1O2，OA，
则OE=OA2-AE2=23，故B正确；
因为二面角α-l-β的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，O为球心，
所以OO1⊥α，OO2⊥β，
又O1E⊂平面α，O2E⊂平面β，
所以OO1⊥O1E，OO2⊥O2E，
故O，E，O1，O2四点共圆，故选项A正确；
因为E为弦AB的中点，
故O1E⊥AB，O2E⊥AB，故∠O1EO2即为二面角α-l-β的平面角，
所以∠O1EO2=60°，
故O1O2=OEsin60°=3，故选项C错误，
设OO1=d1，OO2=d2，
在ΔOO1O2中，由余弦定理可得，O1O12=9=d12+d22+d1d2⩾3d1d2，
所以d1d2⩽3，故SΔOO1O2⩽332，
所以V=13⋅AE⋅SΔOO1O2⩽32，
当且仅当d1=d2时取等号，故选项D正确．
故选：ABD.
利用球心和截面圆之间的关系可以得到O，E，O1，O2四点共圆，即可判断选项A；利用二面角的定义得到∠O1EO2即为二面角α-l-β的平面角，求出O1O2即可判断选项B，C；利用余弦定理和基本不等式以及锥体的体积公式即可判断选项D.
此题主要考查了立体几何的综合应用，考查的知识点：球的几何性质、截面圆的几何性质、二面角的平面角、余弦定理、基本不等式以及锥体的体积公式，综合性强，属于中档题．
13.【答案】 1516
【解析】解：由二项式(x-12x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6-r(-12x)r=(-12)rC6rx12-3r2，
令12-3r=0，
解得r=4，
即二项式(x-12x)6展开式的常数项是(-12)4C64=1516，
故答案为：1516.
由二项式展开式的通项公式求解即可．
此题主要考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：数列{an}是正项等比数列，函数y=x2-5x+3的两个零点是a1，a5，
∴a32=a1a5=3，
∴a3=3.
故答案为：3.
利用韦达定理和等比数列的性质直接求解．
此题主要考查等比数列的第3项的求法，考查韦达定理和等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】 1-e
【解析】解：令f(x1)=f(x2)=t，由图象可知t∈(-∞,-a].
因为x1
所以x2-x1=et-t-a.
令g(t)=et-t-a(t⩽-a)，
则g'(t)=et-1(t⩽-a)，
所以当a⩾0时，g(t)在(-∞,-a]上单调递减，
所以g(t)min=g(-a)=e-a+a-a=e-a=e，
解得a=-1与a⩾0矛盾，舍去；
当a<0时，g(t)在(-∞,0]上单调递减，在(0,-a]上单调递增，
所以g(t)min=g(0)=e0-0-a=e，解得a=1-e<0，符合题意．
综上可得a=1-e.
故答案为：1-e.
令f(x1)=f(x2)=t，得到x2-x1=et-t-a.令g(t)=et-t+a(t⩽-a)，则g'(t)=et-1(t⩽a)，分类讨论，求出函数的单调性，可得g(t)的最小值，即可求得a的值．
此题主要考查利用导数研究函数的性质，利用导数求最值的方法等知识，属于中档题．
16.【答案】 27220
【解析】解：a2→=a1→-(a1→⋅b2→)b2→=(1,1)-12(12,0)=(34,1),a3→=a2→-(a2→⋅b3→)b3→=(34,1)-14(13,0)=(23,1)，
归纳出，an→=(n+12n,1),n∈N*，接下来用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a1=(1+12×1,1)=(1,1)满足题意；
假设当n=k时，ak→=(k+12k,1)，则当n=k+1时，ak+1→=ak→-(ak→⋅bk+1→)bk+1→
=(k+12k,1)-[(k+12k,1)⋅(1k+1,0)](1k+1,0)=(k+22(k+1),1)=(k+1+12(k+1),1)，故an=(n+12n,1),n∈N*，
其中an→⋅bn+2→(n+1)2=(n+12n,1)⋅(1n+2,0)(n+1)2=12n(n+1)(n+2)=14(1n(n+1)-1(n+1)(n+2))
所以a1→⋅b3→22+a2→⋅b4→32+…+a9→⋅b11→102=14(11×2-12×3+12×3-13×4+⋯+19×10-110×11)=14(12-1110)=27220
故答案为：27220.
先通过数学归纳法证明出an=(n+12n,1),n∈N*，然后代入式子中，利用裂项相消法进行求和计算．
此题主要考查数列与向量的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）∵b=3，sinA+asinB=23，且asinB=bsinA，
∴sinA+3sinA=23，得sinA=32，
∵A为锐角，
∴A=π3；
（2）∵A=π3，
又asinA+csinC=6sinB，结合正弦定理可得a2+c2=6b=18，
由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc•cosA，即18-c2=9+c2-6c•12=9+c2-3c，
∴2c2-3c-9=0，解得c=-32（舍去），或c=3．
∴S△ABC=12bc•sinA=12×3×3×32=934．
【解析】
(1)由已知利用正弦定理可得sinA+3sinA=23，得sinA=32，即可求得角A；
(2)由asinA+csinC=6sinB，利用正弦定理化角为边得a2+c2=6b=18，再由余弦定理求解c，然后利用三角形面积公式求解．
此题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=23(an-1)-23(an-1-1)，
整理得anan-1=-2，
又a1=S1=23(a1-1)，得a1=-2
则数列{an}是以-2为首项，-2 为公比的等比数列．
则an=(-2)n，n∈N*
（2）已知bn=an·sinnπ2，
当n=4k，k∈N*时，b4k=(-2)4k⋅sin4kπ2=0，
当n=4k-1，k∈N*时，b4k-1=(-2)4k-1⋅sin(4k-1)π2=24k-1，
当n=4k-2，k∈N*时，b4k-2=(-2)4k-2⋅sin(4k-2)π2=0，
当n=4k-3，k∈N*时，b4k-3=(-2)4k-3⋅sin(4k-3)π2=-24k-3，
则T100=b1+b2+b3+⋯+b100=-(2+25+⋯+297)+(23+27+⋯+299)
=-2-2971-2+2-2991-2=3×297．
【解析】
(1)利用an与Sn的递推关系，即可求出通项公式．
(2)求出b4k，b4k-1，b4k-2，b4k-3，然后分组求和．
此题主要考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=12AD，
∵BC=CD=12AD，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．
∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，
∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，
∵M∈AB，AB⊂平面PAB，
∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．
（2）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，
∴AP⊥平面ABCD．
∴CD⊥PD，PA⊥AD．
因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为π6，
∴PA=33AD．
不妨设AD=6，则BC=CD=12AD=3．∴P（0，0，23），E（0，3，0），C（-3，6，0），
∴EC→=（-3，3，0），PE→=（0，3，-23），AP→=（0，0，23），
设平面PCE的法向量为n→=（x，y，z），则{n→·PE→=0n→·EC→=0，可得：{3y-23z=0-3x+3y=0．
令z=3，则y=2，x=2，∴n→=（2，2，3）．
设直线PA与平面PCE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜AP→，n→＞|=|AP→·n→|AP→|·|n→||=623×4+4+3=311=3311．
【解析】
(1)延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=12AD，由BC=CD=12AD，可得ED=BC，已知ED//BC.可得四边形BCDE为平行四边形，即EB//CD.利用线面平行的判定定理证明得直线CM//平面PBE即可．
(2)如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD.由CD⊥PD，PA⊥AD.因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小为π6，PA=AD.不妨设AD=6，则BC=CD=12AD=1.可得P(0,0,23)，E(0,3,0)，C(-3,6,0)，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．
此题主要考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以P（X=0）=C64C104=114，
P（X=1）=C41C 36 C104=821，
P（X=2）=C42C 26 C104=37，
P（X=3）=C43C 16 C104=435，
P（X=4）=C44C104=1210，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
114
821
37
435
1210
所以E（X）=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85．
（3）由（1）得μ=64，
σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，
所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，
由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=P(μ-σ＜T≤μ+σ)2+P(μ-2σ＜T≤σ+2σ)2=0.8186，
所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．
【解析】
(1)将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
(2)抽样比为10600=160，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．
(3)根据频率分布直方图估计出方差，再结合(1)求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．
该题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．
21.【答案】解：（1）证明：a=0时，f（x）=（x+1）lnx，x＞1时，x+1＞2，lnx＞0，∴f（x）=（x+1）lnx＞0．
（2）φ(x)=f(x)-32ax2+2(a-1)x=（ax2+x+1）lnx-32ax2+2（a-1）x，
φ′（x）=（2ax+1）lnx+（ax2+x+1）1x-3ax+2（a-1）=（2ax+1）lnx-2ax+1x+2a-1，φ′（1）=0，
φ″（x）=2alnx+2a+1x-2a-1x2=2alnx+1x-1x2=g（x），g（1）=0，
g′（x）=2ax-1x2+2x3=2ax2-x+2x3，
令g′（1）=2a+1=0，解得a=-12，
当a=-12时，g′（x）=-x2-x+2x3=(x+2)(1-x)x3，
可得x=1时，φ″（x）取得极大值即最大值，φ″（1）=0，
∴φ″（x）≤0，
又φ′（1）=0，
∴x=1是φ（x）极大值点，
∴实数a=-12．
【解析】
(1)a=0时，f(x)=(x+1)lnx，x>1时，x+1>2，lnx>0，即可证明结论．
(2)ϕ(x)=(ax2+x+1)lnx-32ax2+2(a-1)x，ϕ'(x)=(2ax+1)lnx-2ax+1x+2a-1，ϕ'(1)=0，需要ϕ''(x)⩽0恒成立，进而得出a的值．
此题主要考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次求导解决函数极值问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解：（1）当P为短轴端点时，△PF1F2的面积最大，bc=2，
{ca=22bc=2a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，
∴椭圆方程为x24+y22=1．
（2）证明：由（1）知C（-2，0），D（2，0），
设直线CM：y=k（x+2），N（x1，y1），
∵MD⊥CD，∴M（2，4k），
联立{x24+y22=1y=k(x+2)，整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0，
由-2x1=8k2-42k2+1，得x1=2-4k22k2+1，y1=k(x1+2)=4k2k2+1，
∴N（2-4k22k2+1，4k2k2+1），
∴OM→·ON→=2×2-4k22k2+1+4k×4k2k2+1=4，
∴OM→·ON→为定值4．
（3）由题意A（0，2），设R（0，m），Q（x，y），使2|QA|=|QR|．
|QR||QA|=2，x2+(y-m)2x2+(y-2)2=4，整理得x2+y2+2m-823y=m2-83，
∵点Q在圆x2+y2=8上，∴{2m-823=0m2-83=8，解得m=42，R（0，42），
由椭圆定义得|PF2|=4-|PF1|，
∴2|QA|+|QP|-|PF2|=|QR|+|QP|-（4-|PF1|）=|QR|+|QP|+|PF1|-4，
当R，P，F1共线时，R（0，42），F1（02，0），
∴2|QA|+|QP|-|PF2|取最小值34-4．
【解析】
(1)结合离心率和ΔPF1F2面积的最大值，列出a，b，c的方程，解方程能求出椭圆E的方程；
(2)设直线CM方程，写出点M坐标，联立椭圆方程，求出N点坐标，通过向量数量积公式能证明OM→.ON→为定值．
(3)设占R坐标，借助点Q在圆x2+y2=8上，将2|QA|转化成|RA|，再借助椭圆定义将|PF2|转化成4-|PF1|，最后通过R，P，F1三点共线能求出2|QA|+|QP|-|PF2|的最小值．
此题主要考查椭圆方程的求法，考查向量数量积为定值的证明，考查椭圆与直线的位置关系、韦达定理、椭圆方程、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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