2023中考数学一轮复习测试卷5.3《矩形菱形和正方形》(2份打包，教师版+答案版)

2023中考数学一轮复习测试卷5.3

《矩形菱形和正方形》

一 、选择题

1.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为(     ) 

A.31°      B.28°        C.62°        D.56°

答案为：D

2.矩形的对角线一定具有的性质是(　　)

A.互相垂直    B.互相垂直且相等      C.相等    D.互相垂直平分

答案为：C.

3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）

A．         B．6         C．4          D．5

B  

4.Rt△ABC中，∠C=90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（　　）

A.5cm                         B.15cm                         C.10cm                           D.2.5cm

A

5.如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　)

A.16   B.12   C.24   D.18

答案为：A.

6.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有（     ）

  A.2对           B.3对           C.4对           D.5对

C

7.菱形的周长为20cm，它的一条对角线长为6cm，则其面积为(　    　)cm2.

A.6           B.12             C.18            D.24

答案为：D.

8.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°.

有下列结论：

①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF.

其中结论正确的个数是(　　  )

A.3        B.4      C.1     D.2

答案为：A.

9.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长是(　　)

A.2.4                B.4.8               C.7.2             D.10

B

10.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为(     )

A.20                              B.24                              C.                              D.

答案为：B

二 、填空题

11.已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是______.

答案为：2

12.如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连结AC交BN于点E，连结DE交AM于点F，连结CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是________.

答案为：3－3

13.如图，菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，已知AB=5，OB=3，则菱形ABCD的面积是            ．

答案为：24．

14.如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB=4，则BC边的长为       ．

答案为：6．

三 、解答题

15.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.

(1)求证：△ADE≌△FCE；

(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．

 (1)证明：∵点E是CD的中点，

∴DE=CE，

∵AB∥CF，

∴∠BAF=∠AFC，

在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE(AAS)；

(2)解：由(1)知CD=2DE，

∵DE=2，

∴CD=4，

在Rt△ABC中，点D为AB的中点，

∴AB=2CD=8，AD=CD=AB.

∵AB∥CF，

∴∠BDC=180°－∠DCF=180°－120°=60°，

∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°，

∴在Rt△ABC中，BC=AB=×8=4.

四 、综合题

16.小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ.

(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明.

(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明.

(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分).

 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD.

∵∠EAF＝∠B，∴∠EAF＋∠C＝180°，

∴∠AEC＋∠AFC＝180°.

∵AE⊥BC，∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

∴△AEB≌△AFD，

∴AE＝AF.

(2)证明：由(1)得∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

∴△AEP≌△AFQ，

∴AP＝AQ.

(3)解：答案不唯一.已知：AB＝4，∠B＝60°，

求四边形APCQ的面积.

解：如图，连结AC，BD交于O.

∵∠ABC＝60°，BA＝BC，

∴△ABC为等边三角形.

∵AE⊥BC，∴BE＝EC.

同理，CF＝FD，

∴四边形AECF的面积＝×四边形ABCD的面积，

由(2)得四边形APCQ的面积＝四边形AECF的面积，

OA＝AB＝2，OB＝AB＝2，

∴四边形ABCD的面积＝×2×2×4＝8，

∴四边形APCQ的面积＝4.

17.在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.

【感知】

如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)

【探究】

如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：

(1)BE＝FG；

(2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为 2 .

【应用】

如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为________.

解：【感知】 ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°.

∵AF⊥BE，

∴∠ABE＋∠BAF＝90°，

∴∠BAF＝∠CBE.

在△ABF和△BCE中，

∴△ABF≌△BCE(ASA).

【探究】 证明：(1)如图，过点G作GP⊥BC于P.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，

∴四边形ABPG是矩形，

∴PG＝AB，∴PG＝BC.

同感知的方法得∠PGF＝∠CBE，

在△PGF和△CBE中，

∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE＝FG.

(2)由(1)知，FG＝BE，

如图，连结CM.

∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，

∴BE＝2CM＝2，∴FG＝2.

【应用】 9

18.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.

(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.

①若点G为DE的中点，求FG的长.

②若DG＝GF，求BC的长.

(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.

解：(1)①在正方形ACDE中，DG＝GE＝6.

在Rt△AEG中，AG＝＝6.

∵EG∥AC，

∴△ACF∽△GEF，

∴＝，

∴＝＝，

∴FG＝AG＝2.

②如图1中，正方形ACDE中，AE＝ED，∠AEF＝∠DEF＝45°.

图1

∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，

∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.

∵AE∥BC，∴∠B＝∠1＝x.

∵GF＝GD，∴∠3＝∠2＝x.

在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，

∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，

解得x＝30°，

∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，

BC＝＝12.

(2)在Rt△ABC中，AB＝＝＝15.

如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.

图2

∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.

设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，

∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.

∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，

∴＝，∴＝，

整理得x2－6x＋5＝0，

解得x＝1或5(舍去)，

∴腰长GD＝4x＝4.

如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，

图3

此时只有GF＝DG，设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，

∴FG＝DG＝12＋4x.

∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，

∴＝，∴＝，

解得x＝2或－2(舍去)，

∴腰长DG＝4x＋12＝20.

如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点在BD下方时，

图4

此时只有DF＝DG，连结DF，过点D作DH⊥FG.

设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x＋12，

∴FH＝GH＝DG·cos ∠DGB＝(4x＋12)×＝，

∴GF＝2GH＝，∴AF＝GF－AG＝.

∵AC∥DG，∴△ACF∽△GEF，

∴＝，∴＝，

解得x＝或－(舍去).

∴腰长GD＝4x＋12＝.

如图5中，当点D在线段CB的延长线上时，此时只有DF＝DG，作DH⊥AG于H.

图5

设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，DG＝4x－12，

∴FH＝GH＝DG·cos ∠DGB＝，

∴FG＝2FH＝，

∴AF＝AG－FG＝.

∵AC∥EG，∴△ACF∽△GEF，

∴＝，∴＝，

解得x＝或－(舍去)，

∴腰长DG＝4x－12＝.

综上所述，等腰△DFG的腰长为4或20或或.