（通用版）中考数学一轮复习讲与练24《矩形菱形正方形》精讲精练（教师版）

这是一份（通用版）中考数学一轮复习讲与练24《矩形菱形正方形》精讲精练（教师版），共14页。试卷主要包含了关于▱ABCD的叙述，正确的是，求证，判定，∵D是AB中点，∴AD＝5等内容，欢迎下载使用。

1.关于▱ABCD的叙述，正确的是( C )
A.若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B.若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C.若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
D.若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
菱形的判定及相关计算
2.求证：菱形的两条对角线互相垂直.
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.
求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( B )
A.③→②→①→④ B.③→④→①→②
C.①→②→④→③ D.①→④→③→②
3.如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝( B )
A.3 B.4 C.5 D.6
正方形性质的相关计算
4.如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( A )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图，边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD上.若BF＝3，则小正方形的边长为( B )
A.eq \r(12) B.eq \f(15,4) C.5 D.6
6.如图，菱形ABCD的周长为12 cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长为__3eq \r(3)__cm.
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__3eq \r(3)__.
8.)如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动(任何一个点到达即停止)，过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，
(1)AE和BF的位置关系为__垂直__；
(2)线段MN的最小值为__eq \f(\r(5)－1,2)__.
中考考点清单
矩形的性质与判定
1.定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图.
2.性质
3.判定
菱形的性质与判定
4.定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图②.
5.性质
6.判定
正方形的性质与判定
7.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图③：
8.性质
9.判定
易错 对特殊的平行四边形的判定理解不透彻
【例】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点.
(1)求证：△MBA≌△NDC；
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？
【答案】解：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.
∵M，N分别是AD，BC的中点，
∴AM＝eq \f(1,2)AD，CN＝eq \f(1,2)BC，∴AM＝CN.
在△MAB和△NCD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,∠A＝∠C＝90°，,AM＝CN，))
∴△MAB≌△NCD；
(2)四边形MPNQ是菱形.
理由如下：连接AP，易证A，P，N三点共线，且△ABN≌△BAM，∴AN＝BM.
∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN.
∵P，Q分别是BM，DN的中点，
∴PM＝NQ，DQ＝BP，
又易知DM＝BN，∠MDQ＝∠NBP，
∴△MQD≌△NPB，∴MQ＝NP，
∴四边形MPNQ是平行四边形.
∵M是AD的中点，Q是DN的中点，
∴MQ＝eq \f(1,2)AN，∴MQ＝eq \f(1,2)BM.
∵P是BM的中点，
∴MP＝eq \f(1,2)BM，∴MP＝MQ，
∴四边形MQNP是菱形.
中考重难点突破
矩形的性质与判定
【例1】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由.
解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥CB，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.
又E是AD的中点，
∴AE＝DE.∴△AFE≌△DCE(AAS).
∴AF＝DC.又AF＝BD，∴BD＝CD；
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形.理由如下：
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
又AF＝BD，且AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形.
1.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于( B )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,3) C.eq \f(7,3) D.eq \f(5,4)
菱形的性质与判定
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，DC.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长.
解：(1)∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵D，E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.
∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，DF⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵D是AB中点，∴AD＝5.
∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝CF＝AD＝5，
∴四边形ABCF周长为8＋10＋5＋5＝28.
2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为__eq \r(7)－1__.
正方形的性质与判定
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为点F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE＝AD；
(2)四边形BECD是菱形.
理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD.
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.
∵D为BA中点，∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴菱形BECD是正方形，
∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形.
3.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则eq \f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)的值等于__eq \f(8,9)__.
第六节 矩形、菱形、正方形
1.下列判断错误的是( D )
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
2.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2eq \r(3)，DE＝2，则四边形OCED的面积为( A )
A.2eq \r(3) B.4 C.4eq \r(3) D.8
3.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH为( A )
A.eq \f(24,5) B.eq \f(12,5) C.5 D.4
4.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC的长为( B )
A.5 B.4 C.3.5 D.3
5.如图，在菱形中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( A )
A.3.5 B.4 C.7 D.14
6.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点.若AC＝2eq \r(3)，∠AEO＝120°，则FC的长度为( A )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为( C )
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
8.如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB长为( C )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
9.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
10.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为( B )
A.(3，1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(4,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,3))) D.(3，2)
11.如图，四边形ABCD是正方形，把△AEB绕点A沿顺时针方向旋转一定角度后得到△AFD，连接EF，则下列说法：①旋转角度是90°；②△AEB≌△AFD；③△AEF是等腰直角三角形；④∠EAB＋∠AFD＝90°，其中正确的是( B )
A.①② B.②③④ C.①②③ D.①②③④
12.如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则▱ABCD的周长为( C )
A.6 B.9 C.12 D.15
13.如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是__24__.
14.如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为__3__s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是__18__cm2.
15.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为_eq \r(17)__.
16.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为__eq \r(5)__.
17.如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB.
(1)求证：CF＝AD；
(2)若∠ACB＝90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由.
解：(1)∵CD是△ABC的中线，
∴D为AB的中点，AD＝BD.
又∵点E是AF的中点，∴DC∥BF.
又∵CF∥AB，∴四边形BFCD为平行四边形，
∴FC＝BD，∴FC＝AD；
(2)四边形BFCD为菱形.
理由：由(1)知四边形BFCD为平行四边形.
∵∠ACB＝90°，∴在Rt△ACB中，中线CD＝eq \f(1,2)AB＝BD，
∴平行四边形BFCD为菱形.
18.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.
(1)求证：四边形DEFG为菱形；
(2)若CD＝8，CF＝4，求eq \f(CE,DE)的值.
解：(1)由轴对称的性质得
∠AED＝∠AEF，ED＝EF，GD＝GF.
∵FG∥CD，∴∠AED＝∠EGF，
∴∠FEG＝∠FGE，
∴FE＝FG.∴ED＝EF＝GF＝GD，
∴四边形DEFG为菱形；
(2)设DE＝x，则FE＝DE＝x.
∵CD＝8，∴EC＝8－x.
在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，
即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，
∴CE＝8－x＝3，∴eq \f(CE,DE)＝eq \f(3,5).文字描述
字母表示[参考图①]
(1)对边平行且相等
AD綊BC，AB綊CD
(2)四个内角都是直角
__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
(3)两条对角线相等且互相平分
AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD
(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形
文字描述
字母表示[参考图①]
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形
若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形
(2)有三个角是直角的四边形是矩形
若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形
(3)对角线相等的平行四边形是矩形
若AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是矩形
文字描述
字母表示[参考图②]
(1)菱形四条边都相等
AB＝__BC__＝CD＝DA
(2)对角相等
∠DAB＝∠DCB，
∠ADC＝__∠ABC__
(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角
__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC
(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形
文字描述
字母表示[参考图②]
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形
若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，则四边形ABCD是菱形
(2)四条边相等的四边形是菱形
若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形
(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形
文字描述
字母表示[参考图③]
(1)四条边都相等
即AB＝BC＝CD＝DA
(2)四个角都是90°
即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°
(3)对角线互相垂直平分且相等
即AC⊥__BD__，AO＝OC＝OD＝OB
(4)对角线平分一组对角
∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°
(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形
文字描述
字母表示[参考图③]
(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形
(2)有一个角是直角的__菱形__是正方形
若∠ABC＝90°，且四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD是正方形
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形
若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD是正方形
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
若四边形ABCD中，AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD，则四边形ABCD是正方形