(通用版)中考数学一轮总复习突破训练：第19讲《矩形、菱形和正方形》(教师版)

第19讲　矩形、菱形和正方形

(时间45分钟　满分120分)

A卷

一、选择题

1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )

A．∠BAC＝∠DCA　　B．∠BAC＝∠DAC

C．∠BAC＝∠ABD  D．∠BAC＝∠ADB

2．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( D )

A．AB＝AC  B．AD＝BD   C．BE⊥AC  D．BE平分∠ABC

3．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( D )

A．(，1)  B．(2，1)   C．(1，)  D．(2，)

4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点，若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为(A)

A．1　　　　B．2　　　　C.　　　　D.

5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( D )

A．5 cm　　B．10 cm　　C．14 cm　　D．20 cm

6．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为( C )

A．一定不是平行四边形

B．一定不是中心对称图形

C．可能是轴对称图形

D．当AC＝BD时，它是矩形

7．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是(B)

A．(2，7)  B．(3，7)  C．(3，8)  D．(4，8)

8．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝，∠EAF＝135°，则以下结论正确的是( C )

A．DE＝1   B．tan∠AFO＝   C．AF＝  D．四边形AFCE的面积为

二、填空题

9．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝_20°_.

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_3_.

11．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为_4或2_.

12．如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝__.

13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为_10－10_cm.

14．如图，△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连接DE，DF，EF.在此运动变化过程中.

有下列结论：

①DE＝DF；                    ②∠EDF＝90°；

③四边形CEDF不可能为正方形； ④四边形CEDF的面积保持不变．

一定成立的结论有_①②④_.(把你认为正确的序号都填上)

三、解答题

15．(11分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.

(1)求证：△AGE≌△BGF；

(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEG＝∠BFG，

∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，

在△AGE和△BGF中，

∴△AGE≌△BGF(AAS)；

(2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下：

∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，

∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，

又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．

16．(11分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.

(1)求证：AE＝CF；

(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，

∵BE＝DF，∴OE＝OF，

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF；

(2)解：∵∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，

∴AC＝2OA＝12，

在Rt△ABC中，BC＝＝6.

∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6＝36.

17．(11分)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.

(1)求证：四边形BCDE为菱形；

(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，

∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE，

∴四边形BCDE是菱形；

(2)解：如解图，连接AC.

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，

∴AB＝BC＝1，

∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，

∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，

∵AD＝2，

∴CD＝1，AC＝.

18．(12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.

(1)求证：四边形EDFG是正方形；

(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．

(1)证明：连接CD，如解图①所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，

∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.

∵∠ADE＋∠EDC＝90°，

∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，

∴△EDF为等腰直角三角形．

∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，

∴四边形EDFG是正方形；

图①　　图②

(2)解：过点D作DE′⊥AC于E′，如解图②所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝BC＝2，AB＝4，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2(点E与点E′重合时取等号)．

∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8，

∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.

B卷

1．(3分)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为(  )

A．60°  B．67.5°  C．75°  D．54°　　　

2．(3分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点，过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′，设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为(  )

A．28  B．24  C．32  D．32－8

3．在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_6＋3_.(结果保留根号)

4．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5 cm，BC＝9 cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(点P与点B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于点Q.

(1)求证：△PCM≌△QDM；

(2)当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．

(1)证明：∵AD∥BC，

∴∠QDM＝∠PCM，

∵M是CD的中点，∴DM＝CM，

∵∠DMQ＝∠CMP，

在△PCM和△QDM中

∴△PCM≌△QDM(ASA)；

(2)解：当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．

5．(12分)如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；

①当点Q与点C重合时(如图②)，求菱形BFEP的边长；

②若限定点P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，

∴点B与点E关于PQ对称，

∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，

又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，

∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，

∴BP＝BF＝EF＝EP，

∴四边形BFEP为菱形；

(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°，

∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5 cm，

在Rt△CDE中，DE＝＝4 cm，

∴AE＝AD－DE＝5－4＝1 cm；

在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－PE，

∴EP2＝12＋(3－EP)2，解得：EP＝ cm，

∴菱形BFEP的边长为 cm；

图①　　图②

②当点Q与点C重合时，如解图①：

点E离点A最近，由①知，此时AE＝1 cm；

当点P与点A重合时，如解图②所示，

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3 cm，

∴点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.