高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换教学设计，共48页。教案主要包含了第1课时，教学过程，第2课时，第3课时，第4课时，教学目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。
三角恒等变换

【第1课时】
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【教学目标】
【核心素养】
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．（重点）
2．理解用向量法导出公式的主要步骤．（难点）
3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．（重点、易混点）
1．通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．
2．借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
两角差的余弦公式
公式
cos（α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
适用条件
公式中的角α，β都是任意角
公式结构
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反
二、初试身手
1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝（ ）
A．
B．
C．－
D．－
答案：B
解析：∵sin14°＝cos76°，cos74°＝sin16°，
∴原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos（76°－16°）＝cos60°＝．
2．cos（－15°）的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
解析：cos（－15°）＝cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝．
3．cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝________．
答案：
解析：cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos（65°－20°）＝cos45°＝．
三、合作探究
给角求值问题
类型1
例1：（1）cos的值为（ ）
A．
B．
C．
D．－
（2）求下列各式的值：
①cos75°cos15°－sin75°sin195°；
②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；
③cos15°＋sin15°．
答案：（1）D
cos＝cos＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝－×－×＝－．
（2）解：①cos75°cos15°－sin75°sin195°
＝cos75°cos15°－sin75°sin（180°＋15°）
＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°
＝cos（75°－15°）＝cos60°＝．
②sin46°cos14°＋sin44°cos76°
＝sin（90°－44°）cos14°＋sin44°cos（90°－14°）
＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°
＝cos（44°－14°）＝cos30°＝．
③cos15°＋sin15°
＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°
＝cos（60°－15°）＝cos45°＝．
规律方法
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
（1）同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
（2）把所得的积相加．
跟踪训练
1．化简下列各式：
（1）cos（θ＋21°）cos（θ－24°）＋sin（θ＋21°）sin（θ－24°）；
（2）－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°．
解：（1）原式＝cos[θ＋21°－（θ－24°）]＝cos45°＝．
（2）原式＝－sin（180°－13°）sin（180°＋43°）＋sin（180°＋77°）·sin（360°－47°）
＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°
＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°
＝cos（13°－43°）＝cos（－30°）＝．
给值（式）求值问题
类型2
探究问题
1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？
提示：cosα＝cos[（α＋β）－β]
＝cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ．
2．利用α－（α－β）＝β可得cosβ等于什么？
提示：cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）．
例2：（1）已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos（α－β）＝（　　）
A．－
B．－
C．
D．
（2）已知sin＝，α∈，求cosα的值．
思路点拨：（1）先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C（α－β）求cos（α－β）．
（2）由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．
答案：（1）D
因为sinα－sinβ＝1－，
所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝2，①
因为cosα－cosβ＝，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝2，②
①，②两式相加得1－2cos（α－β）＋1＝1－＋＋
所以－2cos（α－β）＝－
所以cos（α－β）＝．
（2）解：∵α∈，∴＋α∈，
∴cos＝－
＝－＝－．
∵α＝－，
cosα＝cos
＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝．
母题探究
1．将例2（2）的条件改为“sin＝，且