备考2023年高考数学 一轮难题复习 计数原理与概率统计典型解答题（含答案详解）

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一轮难题复习 计数原理与概率统计典型解答题1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)．2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．3．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1.(4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C.5．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk.6．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.8．概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)＝.(2)互斥事件的概率计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)对立事件的概率计算公式P()＝1－P(A)．9．条件概率（1）条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)＝（2）条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．10．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；(2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝＝.11．贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝＝.(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝＝.12．离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)期望的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.(5)方差的性质①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(6)相互独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝P(A)P(B)．(7)独立重复试验的概率计算公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 例题1．已知函数.（1）指出的单调区间；（不要求证明）（2）若满足，且，求证：；（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.【答案】（1）当时，在，上分别递增，在，上分别递减；当时，在，上分别递减；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）函数的定义域为且，分类讨论时，在，上分别递减，时，在，上分别递减，时为对号函数，写出单调区间即可.（2）由题意可知，中至少有两个大于，不妨设，分情况讨论，当时，，证明即可；当时，，，证明即可.（3）设，由题意可知为偶函数，则需证明时，，即证明即可，利用二项展开式，变形整理为，根据以及，证明即可.【详解】（1）函数的定义域为且，当时，在，上分别递减.当时在，上分别递减.当时为对号函数.则在，上分别递增，在，上分别递减.综上所述：当时，在，上分别递增，在，上分别递减；当时，在，上分别递减.（2）满足，且中至少有两个大于不妨设当时，函数在单调递增所以即当时，若使得成立，则需因为函数在单调递增所以因为所以即综上所述：（3）设，则关于原点对称为偶函数则只需证明时，不等式恒成立.则即综上所述：当时，不等式对任意恒成立.【点睛】本题考查函数的单调性，利用对号函数证明不等式，以及利用二项式定理证明不等式，属于难题.例题2．已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.【答案】(1)-1，；（2）；（3）.【解析】【详解】(1)对等式，令,所以令,所以(2)取，可得，即，所以而所以数列的递推公式为故所以数列的通项公式为.(3)由(2)代入得++++=则