高考数学一轮复习第10章解答题模板构建6统计与概率学案

某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2023年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动，为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η．

(1)求P(ξ＝3)．

(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．

[规范解答]

解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，

所以P(ξ＝3)＝＝＝． 4分

(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，η的取值为50,30,10,0， 5分

P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝， 6分

P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝， 7分

P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝， 8分

P(η＝0)＝1－－－＝． 9分

所以，随机变量η的分布列为

所以E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝．12分

类型一　统计与概率的综合问题

某手机厂家生产A，B，C三种型号的手机，每种型号手机又分为标准版和Pro版两个版本，某月的产量(单位：部)如表：

该厂质检部门采用分层随机抽样的方法从这个月生产的手机中抽取100部，其中A型号手机20部．

(1)求N的值；

(2)在C型号手机中采用分层随机抽样的方法抽取5部手机，再从这5部手机中任意抽取2部，求至多有1部手机为Pro版的概率；

(3)该手机厂家所在城市的质量技术监督部门从B型号手机中采用简单随机抽样的方法抽取了8部手机，经相关技术部门进行检测，这8部手机的综合质量得分分别为9.2,8.8,8.5，9.0，9.3,9.2,8.6,9.4(满分均为10分)．将这8部手机的得分看成一个整体，若这8部手机中，与该整体平均得分之差的绝对值不超过0.3的概率低于0.65时，则该型号的手机不能投入市场．请通过计算判断B型号手机是否能投入市场？

解：(1)由分层随机抽样的性质得＝，

解得N＝400．

(2)在C型号手机中采用分层随机抽样的方法抽取5部手机，

则标准版抽取5×＝2(部)，Pro版抽取5×＝3(部)，

再从这5部手机中任意抽取2部，

样本点总数n＝C＝10，

至多有1部手机为Pro版包含的样本点个数m＝CC＋C＝7，

所以至多有1部手机为Pro版的概率p＝＝．

(3)这8部手机的综合质量得分分别为9.2,8.8,8.5，9.0，9.3,9.2,8.6,9.4(满分均为10分)，

将这8部手机的得分看成一个整体，

该整体平均得分为＝×(9.2＋8.8＋8.5＋9.0＋9.3＋9.2＋8.6＋9.4)＝9，

这8部手机中，与该整体平均得分之差的绝对值不超过0.3的综合质量得分有9.2,8.8,9.0,9.3,9.2，共5个，

所以这8部手机中，与该整体平均得分之差的绝对值不超过0.3的概率p＝≈0.625<0.65，

所以B型号手机不能投入市场．

类型二　回归分析问题

我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金，现该企业为了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2；②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令ui＝x，vi＝ln y(i＝1,2，…，10)，经计算得如下数据：

(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好；

(2)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的非线性经验回归方程(回归系数精确到0.01)．

解：(1)若选择模型①y＝α＋βx2，ui＝x，

故可得其相关系数r1＝＝≈0.87．

若选择模型②y＝eλx＋t，vi＝ln y，

故可得其相关系数r2＝＝＝≈0.92，

则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好．

(2)先建立v关于x的经验回归方程，由y＝eλx＋t得ln y＝λx＋t，即＝x＋．

＝≈0.18，＝－＝5.36－×26＝0.56，

故v关于x的经验回归方程为＝0.18x＋0.56，

故ln ＝0.18x＋0.56，即＝e0.18x＋0.56，

故y关于x的非线性经验回归方程为＝e0.18x＋0.56．

类型三　独立性检验问题

2021年10月16日，搭载“神舟十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表(单位：人)：

(1)将上表中的数据填写完整，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；

(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率．

附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．

解：(1)填写表格如下：

零假设为H0：“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别无关，根据列联表中的数据，经计算得χ2＝＝≈9.091>7.879＝x0.005．

根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．

(2)按分层随机抽样抽取的5人中：

2名为“天文爱好者”，编号为a，b；

3名为“非天文爱好者”，编号为1,2,3，

则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：

ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23,123，

共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，所以概率为．

类型四　分布列、均值与方差

某城市A公司外卖配送员底薪是每月1 800元，设一人每月配送的单数为X．若X∈[1,300]，每单提成3元；若X∈(300,600]，每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2 100元，设一人每月配送单数为Y．若Y∈[1,400]，每单提成3元；若Y∈(400, ＋∞)，每单提成4元．小王想在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在2021年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：

表1　A公司外卖配送员甲送餐量统计

表2　B公司外卖配送员乙送餐量统计

(1)设A公司外卖配送员月工资(单位：元)为f(X)，B公司外卖配送员月工资(单位：元)为g(Y)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系．

(2)将甲、乙4月份的日送餐量的频率视为对应公司的外卖配送员日送餐量的概率．

①计算外卖配送员甲和乙的日送餐量的数学期望E(x)和E(y)；

②请利用所学的统计学知识为小王做出选择，并说明理由．

解：(1)当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，g(Y)＝g(X)．

当X∈(300,400]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0；

当X∈(400,600]时，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0．

所以当X∈(300,400]时，f(X)>g(Y)；当X∈(400,600]时，f(X)<g(Y)．

(2)①甲的日送餐量x的分布列为

乙的日送餐量y的分布列为

则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16，

E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14．

②小王应选择B公司．理由如下：

E(X)＝30E(x)＝480,480∈(300,600]．

E(Y)＝30E(y)＝420,420∈(400，＋∞)．

所以A公司外卖配送员的平均月薪约为1 800＋4E(X)＝3 720(元)，

B公司外卖配送员的平均月薪约为2 100＋4E(Y)＝3 780(元)．

因为3 720<3 780，

所以小王应选择做B公司外卖配送员．