备考2023年高考数学 一轮难题复习 推理与证明典型解答题（含答案详解）

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一轮难题复习 推理与证明典型解答题一、知识网络二、合情推理（一）归纳推理1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。2. 归纳推理的一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质；第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。题型1：用归纳推理发现规律（1）观察：对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故（2）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。则【解题思路】找出的关系式[解析]总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系（二）类比推理1. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。2. 类比推理的一般步骤：第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.题型2：用类比推理猜想新的命题（1）已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高总结：① 不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。② 类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等（三）合情推理1. 定义：归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。简言之，合情推理就是合乎情理的推理。2. 推理的过程：思考探究：（1）归纳推理与类比推理有何区别与联系? ① 归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。② 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。三、演绎推理（一）含义：1. 演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。演绎推理又叫逻辑推理。2. 演绎推理的特点是由一般到特殊的推理。（二）演绎推理的模式1. 演绎推理的模式采用“三段论”：（1）大前提——已知的一般原理(M是P)；（2）小前提——所研究的特殊情况(S是M)；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P)。2. 从集合的角度看演绎推理：（1）大前提：x∈M且x具有性质P；（2）小前提：y∈S且SM（3）结论：y具有性质P（三）演绎推理与合情推理合情推理与演绎推理的关系：1. 从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理。2. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。四、直接证明与间接证明（一）三种证明方法：综合法、分析法、反证法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。反证法：它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2） 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止                            （3） 断言假设不成立（4）肯定原命题的结论成立用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1：综合法在锐角三角形中，求证：[解析]考点2：分析法已知，求证[解析]总结：注意分析法的“格式”是“要证—只需证—”，而不是“因为—所以—”考点3：反证法已知，证明方程没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多五、数学归纳法1. 数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当时命题成立；（2）假设当时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立。这种证明方法称为数学归纳法。2. 数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）3. 数学归纳法步骤：（1）（递推奠基）：当n取第一个值结论正确；（2）（递推归纳）：假设当时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数n都正确。题型1： 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设时命题为真，则还需证明（     ）A. n=k+1时命题成立          B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立        D. n=2（k+2）时命题成立[解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B总结：用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式（3）从的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子题型2：用数学归纳法证明不等式[解析]总结：（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。 例题1．（1）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心；（3）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析；（3）存在，【解析】【分析】（1）根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为，显然直线经过椭圆中心原点；（2）由（1）知，平行弦的中点轨迹必过椭圆中心，所以作出两组平行弦的中点轨迹所在直线，两条直线的交点即为椭圆的中心；（3）由（1）的结论可知，．设出直线和弦的中点坐标，即可求得中点所在的轨迹方程为椭圆方程．当或时，平行弦的轨迹可以在直线上，不总在椭圆上．【详解】（1）证明：设斜率为的直线与椭圆交于点两点，．中点坐标为，所以 ， 所以，，作差得，，即有，即，再根据中点在椭圆内部，所以，即，解得．故平行弦的中点的轨迹方程为，，所以椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹过椭圆中心．（2）如图所示，点即为椭圆中心．（3）由（1）的结论可知，．设交“果圆”于两点，中点为，则，，则，即．易证，当或时，“果圆”的平行弦的轨迹可以在直线上，不总在椭圆上．所以，当时，“果圆”的平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．【点睛】本题主要考查了点差法求中点弦的轨迹方程，以及中点弦的轨迹应用，意在考查学生的数学运算和数学建模能力，属于难题．例题2．（1）证明：；（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）所以原式得证.（2）为奇数时，时，，其中，成立时，，其中，成立时，，其中，成立，则当时，所以得到因为均为整数，所以也均为整数，故原式成立；为偶数时，时，，其中，时，，其中，成立，时，，其中，成立，则当时，所以得到其中，因为均为整数，所以也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，；（3）由（2）可得其中均为有理数，因为为无理数，所以均为无理数，故为无理数，所以不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.例题3．对于数列：、、、、，若不改变，仅改变、、、中部分项的符号（可以都不改变），得到的新数列称为数列的一个生成数列，如仅改变数列、、、、的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、、、、.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.（1）写出的所有可能的值；（2）若生成数列的通项公式为，求；（3）用数学归纳法证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为.【答案】（1）、、、；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据生成数列定义，可知当时，，、分别为、中取值，由此给出的所有可能的情况，即可计算出的所有可能值；（2）利用，分、、三种情况讨论，利用分组求和与等比数列的求和公式即可求得；（3）利用数学归纳法证明：①当时命题成立；②假设当时，，证明出，结合归纳原理即可证明出结论成立.【详解】（1）由题意得，，根据生成数列的定义，可得，，又，，，，因此，所有可能的取值为、、、；（2），当时，；当时，；当时，.综上所述：；（3）利用数学归纳法证明：①当时，，命题成立；②假设当时，命题成立，即所有可能值的集合为.由假设得.则当时，.即或，即，当时，命题成立.由①②知，对于给定的，的所有可能值组成的集合为.【点睛】本题考查等比数列生成数列定义的理解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列问题，着重考查对数列新定义的理解，考查推理、转化、抽象思维与创新思维的综合应用能力，属于难题.例题4．已知正整数数列满足：，，（）.（1）已知，，试求、的值；（2）若，求证：；（3）求的取值范围.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据递推式赋值逆推，分别求出即可求出的值；（2）根据递推式赋值求出的值，即可找出数列的规律，由此得证；（3）依据，讨论与的大小关系即可得出．【详解】（1）令得，，解得；令得，，解得；令得，，解得；令得，，解得；所以．（2）证明：令得，，因为数列各项为正整数，2019的正整数约数有1，3，673，2019，因此的值可能为3，673，2019，即或或.当时，，，所以不符题意，应舍去；当时，，，所以不符题意，应舍去；当时，，，，，……所以，当为奇数时，；当为偶数时，；故，不等式成立．（3）由（1）（2）可知，当或可以满足题意，所以或．．①当时，奇数项都相等，偶数项都相等且，即有，因为数列各项为正整数，且，所以或或或此时或；②当时，奇数项递增，偶数项递增，而 ，随着 的增大，存在时，，这样与条件矛盾，故不成立；③当时，奇数项递减，偶数项递减，而 ，随着 的增大，存在时，，这样与条件矛盾，故不成立；综上，或，即．【点睛】本题主要考查利用递推式求数列中的项，以及归纳推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力．