备考2023年高考数学 一轮难题复习 数列典型解答题（含答案详解）

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一轮难题复习 数列典型解答题1．牢记概念与公式等差数列、等比数列(其中n∈N*) 等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n项和Sn＝＝na1＋d(1)q≠1，Sn＝＝；(2)q＝1，Sn＝na1 2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{an}的常用性质 等差数列等比数列性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) (2)判断等差数列的常用方法①定义法an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；②通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；③中项公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；④前n项和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；②通项公式法an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；③中项公式法a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)通项公式形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.4．数学归纳法用数学归纳法证明分以下两个步骤：(1)证明当n＝1时，命题成立；(2)假设n＝m时，命题成立，那么可以推导出在n＝m＋1时命题也成立．(m代表任意自然数) 例题1．几位大学生响应国家的创业号召，开发了三款软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，试根据下列条件求出三款软件的激活码（1）A款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方（2）B款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和（3）C款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数：①；②该数列的前项和为2的整数幂例题2．已知数列，满足；（1）若，，，求的通项公式；（2）若，，，求的前项和为；（3）若，，满足恒成立，求的取值范围；例题3．已知数列满足，，.（1）若，写出所有可能的值；（2）若数列是递增数列，且、、成等差数列，求p的值；（3）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.例题4．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.（1）若，求和的值；（2）已知命题 存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.例题5．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．（1）若，，成等比数列，求其公比．（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．例题6．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，（1）求的表达式；（2）写出，的值，并求数列的通项公式；（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.例题7．（理）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.（1）试用表示，其中、均为正整数；（2）利用（1）的结论求解：“已知，求”；（3）若数列前项的和分别为，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前项和，前项和，求数列的前2010项的和.”例题8．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.（1）设数列满足，，（、不同时为），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；（2）设数列的前项和为，且．①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；（3）设数列满足，，，，数列的前项和为，试问是否存在、，使对任意的都有成立，若存在，求出、的取值范围；不存在， 说明理由.例题9．已知点、是双曲线：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3.（1）求双曲线的方程；（2）过的直线与相交于、两点，直线的法向量为，且，求的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线在第四象限的部分存在一点满足，求的值及的面积.例题10．定义的“倒平均数”为．已知数列前项的“倒平均数”为，记．（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．（3）设数列满足，且，且，且是周期为3的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．例题11．对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）；（3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.例题12．给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.例题13．已知数列的前项和，满足.（1）若，求数列的通项公式；（2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式；