备考2023年高考数学 一轮难题复习 三角函数与解三角形典型解答题（含答案详解）

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一轮难题复习 三角函数与解三角形典型解答题1．终边相同角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．几种特殊位置的角的集合(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}．(3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}．(4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．(5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．(6)终边在y＝x上的角的集合：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．(7)终边在y＝－x上的角的集合：{α|α＝－45°＋k·180°，k∈Z}．(8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α＝k·45°，k∈Z}．3．1弧度的角在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．4．正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.5．角度制与弧度制的换算(1)1°＝ rad.(2)1 rad＝°.6．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.相关公式：(1)l＝＝|α|r.(2)S＝lr＝＝|α|r2.7．利用单位圆定义任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y.(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x.(3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)．8．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝±.(2)商的关系：＝tan α.9．三种三角函数的性质 正弦函数y＝sin x余弦函数y＝cos x正切函数y＝tan x图象定义域RR{x|x≠＋kπ，k∈Z}值域[－1,1] (有界性)[－1,1] (有界性)R零点{x|x＝kπ，k∈Z}{x|x＝＋kπ，k∈Z}{x|x＝kπ，k∈Z}最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间，(k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，(k∈Z)减区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 对称性对称轴x＝＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z) 对称中心(kπ，0)(k∈Z)(k∈Z)(k∈Z) 10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．(3)图象变换y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．11．准确记忆六组诱导公式对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．12．三角函数恒等变换(1) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.(2)辅助角公式acos x＋bsin x＝，令sin θ＝，cos θ＝，∴acos x＋bsin x＝sin(x＋θ)，其中θ为辅助角，tan θ＝.13．正弦定理及其变形＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.sin A＝，sin B＝，sin C＝.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.14．余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.15．面积公式S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 例题1．就实数的取值范围，讨论关于的函数与 轴的交点个数.【答案】当或时，函数与 轴有0个交点.当时，函数与 轴有1个交点.当或时，函数与 轴有2个交点.当时，函数与 轴有4个交点.当时，函数与 轴有4个交点.【解析】【分析】函数变形为，令，等价变形为关于的一元二次函数，讨论与的交点个数，确定与轴的交点个数，即可.【详解】令，则，设，与当即时函数，与，无交点.此时，函数与 轴有0个交点.当即时函数，与，有1个交点.此时，，即或.故函数与 轴有2个交点.当即时函数，与，有2个交点.此时，有两个大于0，小于1的值，每个值都对应2个值.故函数与 轴有4个交点.当即时函数，与，有2个交点.此时，或，即或或或.故函数与 轴有4个交点.当即时函数，与，有1个交点.此时，有一个大于，小于0的值，这个值对应2个值.故函数与 轴有2个交点.当即时函数，与，有1个交点.此时，，即.故函数与 轴有1个交点.当即时函数，与，无交点.此时，函数与 轴有0个交点.综上所述：当或时，函数与 轴有0个交点.当时，函数与 轴有1个交点.当或时，函数与 轴有2个交点.当时，函数与 轴有4个交点.当时，函数与 轴有4个交点.【点睛】本题考查一元二次函数的根的分布，二倍角余弦公式以及正弦函数的图象和性质，属于一道难题.