高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆精品复习练习题

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

3.1.1《椭圆及其标准方程（一）》同步练习

一、     单选题：

1.已知点是平面内的动点，是平面内的两个定点，则“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知椭圆的焦距等于，则实数的值为（    ）

A．5 B．8 C．16 D．3或5

3．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是

A． B． C．       D．

4．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．或

二、多选题：

5.设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ）

A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线

6．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ）

A．当时，满足的点有2个

B．当时，满足的点有4个

C．的周长小于             D．的面积大于等于

三、填空题： 

7.已知椭圆的对称中心为原点，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点 的轨迹是______.

8．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点,且则的方程为_______________________．

9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，，则______．

10．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．

四、拓展题：

11.求满足下列条件的椭圆的标准方程．

（1）过点，且与椭圆有公共的焦点；

（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．

五、创新题：

12.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且

．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在第二象限，，求的面积．

同步练习答案

一、 选择题：

 1. 答案：C

解析：若点到点的距离之和恰好为两点之间的距离，则点的轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．

由椭圆的定义知，椭圆上一点到两焦点的距离之和为常数，所以后者能推出前者．故“点到点的距离之和为定值”是“点的轨迹是以为焦点的椭圆”的必要不充分条件，      故选：C．

2．答案：D

   解析：若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得；

若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得．

综上，知所求实数的值为3或5.       故选：D.

3．答案：A

   解析：方程可化为：    ，解得：     故选

4．答案：D.

解析：由题意，椭圆的焦距是6，可得，即，

又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得，即，

则，    

 当焦点可以在轴上时，椭圆的方程为；

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为.       故选：D．

 二、多选题：

5. 答案：BC

解析：由题意知，定点，，可得，

因为，可得，  

当且仅当，即时等号成立．

当时，可得的，此时点的轨迹是线段；

当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．  故选：BC．

6．答案：ABC

解析：对于选项A和选项B，当点的坐标为或时，

最大，且当时，，易知选项A和B正确；

对于选项C，的周长为，故选项C正确；

对于选项D，的面积为，故选项D错误．

  故选：ABC.

三、填空题：

7.答案：椭圆

  解析：如图所示，设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得，

因为分别为的中点，可得，

根据椭圆的定义，可得点的轨迹是椭圆．

8.答案：

 解析：依题意设椭圆C的方程为+=1（a>b>0）,由条件可得,,因,即,      所以     解得

所以椭圆C的方程为．

9．答案：

   解析：根据椭圆的定义：，

在焦点中，由余弦定理可得：

，

，     则，     所以 .

10．答案：7

    解析：由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，

设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.

所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，

故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.

四、拓展题：

11.答案：（1）；（2）.

解析：（1）方法一  设所求椭圆的标准方程为，

由，得，即．    ①

又点在所求椭圆上，∴，    ②

由①②得，，     即所求椭圆的标准方程是．

方法二  设所求椭圆的方程为．

∵点在所求椭圆上，     ∴，解得，

∴所求椭圆的标准方程为．

（2）方法一  当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的标准方程为．

依题意有，   得．  由知，不符合题意，故舍去．

当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的标准方程为．

依题意有，得，     ∴所求椭圆的标准方程为．

方法二  设椭圆的方程为 ．

依题意有，解得．

∴所求椭圆的方程为，       故椭圆的标准方程为．

五．创新题：

12．答案：（1）；    （2）．

解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，

则由已知得，|，      所以，所以，

所以 ，    所以椭圆的标准方程为．

（2）在中，||．

由余弦定理，得|，

即，所以|，

所以．