人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试课时训练

这是一份人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试课时训练，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．直角三角形C．正五边形D．矩形
3．点 A(x，y)在第二象限内，且│x│=2，│y│=3，则点A关于原点对称的点的坐标为( )
A．(-2，3)B．(2，-3)C．(-3，2)D．(3，-2)
4．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列运动形式属于旋转的是( )
A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪
7．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
8．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ）
A．1.6B．1.8C．2D．2.6
9．如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（－1，2）C．（0，2）D．（0，3）
10．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，风车图案围绕着旋转中心至少旋转_________度，会与原图案重合．
12．如图，是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________．
13．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
14．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝_______．
15．如图，在中，，，，为内一点，则的最小值为__________．
16．将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若点E的坐标为，则点G的坐标为_____．
17．以水平数轴的原点为圆心过正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转、、、、得到条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点、的坐标分别表示为、，则点的坐标表示为_______．
三、解答题
18．如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
（1）证明：；
（2）如图2，连接，，交于点．
①证明：在点的运动过程中，总有；
②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
19．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）写出C2点的坐标．
20．如图，已知正方形点在边上，以为边在左侧作正方形；以为邻边作平行四边形连接．

（1）判断和的数量及位置关系，并说明理由；
（2）将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，和的数量及位置关系是否发生变化？请说明理由．
21．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
(1)图中点B的坐标是______；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是_____；点A关于y轴对称的点D的坐标是______；
(3)四边形ABDC的面积是______；
(4)在y轴上找一点F，使，那么点F的所有可能位置是______．
22．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）．
（1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
（2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2．
23．△ABC在坐标系中的位置如图1所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)按要求作图：①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2；
(2)如图2，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
先根据点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求出旋转后的抛物线的解析式，再根据二次函数的图象平移的规律即可得．
【详解】
将抛物线的顶点式为
则其与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
点绕坐标原点旋转的坐标变换规律：横、纵坐标均变为相反数
则绕坐标原点旋转后，所得抛物线与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
设旋转后所得抛物线为
将点代入得：，解得
即旋转后所得抛物线为
则再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为
即
故选：C．
【点睛】
本题考查了点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象平移的规律，熟练掌握坐标旋转变换规律和二次函数的图象平移规律是解题关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断可得．
【详解】
解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．直角三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形，解题的关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．B
【解析】
【分析】
根据A（x，y）在第二象限内可以判断x，y的符号，再根据|x|=2，|y|=3就可以确定点A的坐标，进而确定点A关于原点的对称点的坐标．
【详解】
∵A（x，y）在第二象限内，
∴x＜0 y＞0，
又∵|x|=2，|y|=3，
∴x=-2， y=3，
∴点A关于原点的对称点的坐标是（2，-3）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，由点所在的象限能判断出坐标的符号，同时考查了关于原点对称的点坐标之间的关系，难度一般．
4．D
【解析】
【分析】
由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明
，即D选项正确；
【详解】
由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】
A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；
B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．
6．C
【解析】
【分析】
根据旋转的定义逐一进行判断即可得到正确的结论.
【详解】
解：在空气中上升的氢气球，飞驰的火车，运动员掷出标枪属于平移现象，时钟上钟摆的摆动属于旋转现象.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查关于旋转的知识，题目比较简单，属于基础题目，大部分学生能够正确完成，熟练掌握旋转的定义是解决本题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【详解】
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
【点睛】
考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．
8．A
【解析】
【分析】
由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】
由旋转的性质可知，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB
9．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后结合直角坐标系即可得出B'的坐标．
【详解】
解：如图，
根据图形可得：点B′坐标为（0，3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答．
10．B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】
解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
11．60
【解析】
【分析】
根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点解答即可．
【详解】
因为该图形被平分为6份，
则每一份中心的角度为，
即至少旋转60度可与原图形重合，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查旋转角的定义及求法，熟记定义是解题关键．
12．8
【解析】
【分析】
过点A作于M，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时AE取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出．
【详解】
过点A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，
即此时AE取最小值，
在中，，
∴在中，；
故答案为8．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
（1）可作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．连接C1C2．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
（2）根据（1）的作图可知四边形AC1CC2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD＝90°．利用勾股定理得到CB2+CD2＝BD2＝（）2，因为CB+CD＝4﹣，可推出CB•CD的值，进而求出三角形的面积．
【详解】
（1）∵直线y＝与x轴、y轴分别交于C、A两点，把y=0代入，解得x=2，把x=0代入，解得y=2，
∴点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC＝4．
作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质，可知CD＝C1D，CB＝C2B．
∴CB+BD+CD＝C2B+BD+C1D＝C1C2连接AC1、AC2，
可得∠C1AD＝∠CAD，∠C2AB＝∠CAB，AC1＝AC2＝AC＝4．
∵∠DAB＝45°，
∴∠C1AC2＝90°．
连接C1C2．，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
∴△BCD的周长的最小值为4．
故答案为：4．
（2）根据（1）的作图可知四边形AECF的对角互补，其中∠DAB＝45°，因此，∠C2CC1＝135°．
即∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝135°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+2∠BCD＝270°①，
∵∠BC2C＝∠BCC2，∠DCC1＝∠DC1C，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝180°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+∠BCD＝180°②，
①-②得，∠BCD＝90°．
∴CB2+CD2＝BD2＝（）2=，
∵CB+CD＝4﹣，
（CB+CD）2＝CB2+CD2+2CB•CD，
∴2CB•CD＝（CB+CD）2-（CB2+CD2）=
∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．
14．65°
【解析】
【分析】
根据旋转的性质知AB＝AB1，∠BAB1＝50°，然后利用三角形内角和定理进行求解．
【详解】
解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，，
∴AB＝AB1，∠BAB1＝50°，
∴∠ABB1＝（180°−50°）＝65°．
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△，连接、，作CN⊥交的延长线于点N，则△≌△APB，由题意可证△ 是等边三角形，所以，所以当 共线时，最小，求出即可；
【详解】
将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△，连接、，作CN⊥交的延长线于点N，
则△≌△APB，
∴∠BAP=∠ ，
∴ ， ， ，
∴△ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 当 共线时，最小，
∴∠CAN=180°-∠ ，CN⊥AN，
∴∠ACN=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键．
16．或
【解析】
【分析】
先利用正方形的性质，利用旋转画出正方形OEFG，从而得到G点的坐标．
【详解】
把EO绕E点顺时针（或逆时针）旋转90°得到对应点为G（或G´），如图，
则G点的坐标为(2，-3)或G′的坐标为(﹣2，3)，
【点睛】
本题考查坐标与图形的变换，涉及旋转、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．
【解析】
【分析】
根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．
【详解】
解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，、的坐标分别表示为、，根据点的特征，所以点的坐标表示为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．
18．（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；
（2）①由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；②为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．
【详解】
解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，
∴AH=AG，∠HAG=90°，
∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，
∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，
∴；
（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，
∴AE=AF，是等腰直角三角形，
∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，
∴，
∴∠AEH=∠AFG=45°，
∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；
②∵，点，分别为，的中点，
∴AE=AF=2，
∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：
（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，
∴AH平分∠EAF，
∴点H是EF的中点，
∴EH=；
（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠EHA=∠EAH，
∴EH=EA=2；
（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，
综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）C2(2，3)．
【解析】
【分析】
（1）根据平移的方法将三点向右平移2个单位得到，然后将三个点连起来即可；
（2）根据旋转的方法将三点绕点O顺时针方向旋转90°得到，然后将三个点连起来即可；
（3）根据（2）中描出的点C2的位置即可写出C2点的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
（3）由（2）中点C2的位置可得，
C2点的坐标为(2，3)．
【点睛】
此题考查了平面直角坐标系中的平移和旋转变换作图以及求点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移和旋转变换的方法．
20．（1）；；理由见解析；（2）与的数量及位置关系都不变；答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则可得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，，由平行线的性质证出，则可得出结论．
【详解】
解：（1），．
由题意可得，平行四边形为矩形，，，，
，
，，
，
，
设与交于点，
则，
即．
（2）与的数量及位置关系都不变．
如图，延长到点，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
即．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是：熟练掌握正方形的性质．
21．(1)（﹣3，4）
(2)（3，﹣4），（2，0）
(3)16
(4)（0，4）或（0，﹣4）
【解析】
【分析】
（1）根据坐标的定义，判定即可；
（2）根据原点对称，y轴对称的点的坐标特点计算即可；
（3）把四边形的面积分割成三角形的面积计算；
（4）根据面积相等，确定OF的长，从而确定坐标．
(1)
过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
故答案为：（﹣3，4）；
(2)
由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（﹣3，4）关于原点对称点C（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣2，0）关于y轴对称点D（2，0），
故答案为：（3，﹣4），（2，0）；
(3)
＝2××4×4＝16，
故答案为：16；
(4)
∵＝＝8＝，
∴AD•OF＝8，
∴OF＝4，
又∵点F在y轴上，
∴点F（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
【点睛】
本题考查了坐标系中对称点的坐标确定，图形的面积计算，正确理解坐标的意义，适当分割图形是解题的关键．
22．（1）画图见解析，（2）画图见解析
【解析】
【分析】
（1）分别确定向右平移4个单位后的对应点，再连接即可；
（2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点，再连接即可.
【详解】
解：（1）如图，线段即为所求作的线段，
（2）如图，线段即为所求作的线段，
【点睛】
本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键.
23．(1)①作图见解析，②作图见解析
(2)作图见解析
【解析】
【分析】
（1）①如图1，根据中心对称图形的性质可知、、的点坐标，在坐标系中描点，然后依次连接即可；
②如图1，根据旋转的性质，为旋转中心，作图即可；
（2）如图2，根据矩形的性质，连接对角线，根据等腰三角形三线合一的性质，连接与矩形对角线的交点即可．
(1)
解：①如图1中，△A1B1C1即为所求作．
②如图1中，△AB2C2即为所求作．
(2)
解：如图2，射线OK即为所求作．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的性质与作图，旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．