高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.5 三角函数模型的简单应用一课一练

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.5 三角函数模型的简单应用一课一练，共12页。
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A. eq \f(1,50) B．50 C． eq \f(1,100) D．100
2．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A.10 000元 B．9 500元
C.9 000元 D．8 500元
3．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A.2 s B．1 s
C. eq \f(1,2) s D． eq \f(1,4) s
4．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋A sin (ωx＋φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A.y＝12＋3sin eq \f(π,6)t，t∈[0，24]
B.y＝12＋3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋π))，t∈[0，24]
C.y＝12＋3sin eq \f(π,12)t，t∈[0，24]
D.y＝12＋3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,2)))，t∈[0，24]
5．改善农村人居环境，建设美丽宜居乡村，是实施乡村振兴战略的一项重要任务．某地计划将一处废弃的水库改造成水上公园，并绕水库修建一条游览道路．平面示意图如图所示，道路OC长度为8(单位：百米)，OA是函数y＝lga(x＋b)图象的一部分，ABC是函数y＝M sin (ωx＋φ)(M＞0，ω＞0，|φ|＜ eq \f(π,2)，x∈[4，8])的图象，最高点为B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(4\r(3),3)))，则道路OABC所对应函数的解析式为( )
6.
(多选)为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点P(x，y).若初始位置为点P0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，秒针从P0(规定此时t＝0)开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为( )
A.y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,3)))
B.y＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,60)t－\f(π,3)))
C.y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,3)))
D.y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,6)))
7．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ))＋B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(φ))0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(φ))0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
14．如下图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于水平位置．风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片的端点P离地面距离为________米；风车翼片的端点离地面距离h(米)与启动时间t(分钟)之间的函数关系式为____________________．
15．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下d则为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K(A＞0，ω＞0，－ eq \f(π,2)＜φ＜ eq \f(π,2)).
(1)求A，ω，φ，K的值；
(2)求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
(3)某时刻t0(单位：分钟)时，盛水筒W在过点O的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 eq \f(π,6)分钟后，盛水筒W是否在水中？
[培优生]
16．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式；
(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
课时作业(五十) 三角函数模型的简单应用
1．解析：T＝ eq \f(2π,100π)＝ eq \f(1,50).故选A.
答案：A
2．解析：因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin （2ω＋φ）＝0，,sin （ω＋φ）＝1，))
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ω＋φ＝mπ，m∈Z，,ω＋φ＝\f(π,2)＋2nπ，n∈Z.))易得3ω＋φ＝－ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.
又当x＝3时，y＝500sin (3ω＋φ)＋9 500，所以y＝9 000.
故选C.
答案：C
3．解析：由题意，知周期T＝ eq \f(2π,2π)＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为 eq \f(1,2) s．故选C.
答案：C
4．解析：由表知周期T＝15－3＝12，排除C、D，
又t＝3时，y＝15，排除B.故选A.
答案：A
5．解析：由三角函数的图象知M＝ eq \f(4\r(3),3)，
eq \f(T,4)＝8－5＝3，即T＝12，则 eq \f(2π,ω)＝12，得ω＝ eq \f(π,6)，
则y＝ eq \f(4\r(3),3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))，
由函数过B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(4\r(3),3)))，
得 eq \f(4\r(3),3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×5＋φ))＝ eq \f(4\r(3),3)，得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋φ))＝1，
即 eq \f(5π,6)＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，得φ＝2kπ－ eq \f(π,3)，k∈Z
∵|φ|＜ eq \f(π,2)，∴当k＝0时，φ＝－ eq \f(π,3)，
则y＝ eq \f(4\r(3),3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))，(4≤x≤8)，排除B，D，
当x＝4时，y＝ eq \f(4\r(3),3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4－\f(π,3)))＝ eq \f(4\r(3),3)sin eq \f(π,3)＝ eq \f(4\r(3),3)× eq \f(\r(3),2)＝2，
即A(4，2)，
y＝lga(x＋b)过(0，0)，则lgab＝0，则b＝1，
则y＝lga(4＋1)＝lga5＝2，得a＝ eq \r(5)，
则y＝lg eq \r(5)(x＋1)，(0≤x＜4)，排除A，
故选C.
答案：C
6．解析：∵函数的周期为T＝60，∴ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(π,30)，
设函数解析式为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋φ))(顺时针转动为负方向)
∵初始位置为P0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴t＝0时，y＝ eq \f(\r(3),2)，
∴sin φ＝ eq \f(\r(3),2)，∴φ可取 eq \f(π,3)，
∴函数解析式为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,3))).
由诱导公式可得函数解析式为y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,6))).
故选CD.
答案：CD
7．解析：由最高价和最低价可求得：A＝ eq \f(9 000－5 000,2)＝2 000，∴B＝9 000－2 000＝7 000
又T＝ eq \f(2π,ω)＝2×(9－3)，∴ω＝ eq \f(π,6)
由f(3)＝2 000sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×3＋φ))＋7 000＝9 000得：φ＝0
∴f(x)＝2 000sin eq \f(πx,6)＋7 000，∴f(7)＝2 000sin eq \f(7π,6)＋7 000＝6 000
答案： 6 000
8．解析：根据题意得28＝a＋A，18＝a＋A cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)（12－6）))＝a－A，
解得a＝23，A＝5，
所以y＝23＋5cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)（x－6）))，
令x＝10，得y＝23＋5cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)（10－6）))＝23＋5cs eq \f(2π,3)＝20.5.
答案：20.5
9．解析：(1)令t＝0，得h＝3sin eq \f(π,4)＝ eq \f(3\r(2),2)，所以开始振动的位置为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3\r(2),2))).
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为 eq \f(π,8)，即所求最高点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，3))；当h＝－3时，t的最小值为 eq \f(5π,8)，即所求最低点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)，－3)).
10．解析：(1)由图象得这一天的最高温度是－2 ℃，最低温度是－12 ℃，
所以这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃).
(2)由(1)得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋b＝－2，,－A＋b＝－12，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝5，,b＝－7)).
由图象得函数的周期T＝2×(14－6)＝16，则 eq \f(2π,ω)＝16，解得ω＝ eq \f(π,8).
所以y＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋φ))－7.
由图象知点(6，－12)在函数的图象上，
则－12＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)×6＋φ))－7，整理得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝－1，
所以 eq \f(3π,4)＋φ＝ eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，即φ＝ eq \f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，则可取φ＝ eq \f(3π,4).
所以这段曲线的函数解析式是y＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))－7(6≤x≤14).
11．解析：由2kπ－ eq \f(π,2)≤ eq \f(t,2)≤2kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，由于0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10，15]内是增加的．
答案：C
12．解析：由题意，R＝ eq \r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)))2)＝6，T＝120＝ eq \f(2π,ω)，∴ω＝ eq \f(π,60)，当t＝0时，y＝f(t)＝－3 eq \r(3)，
代入可得－3 eq \r(3)＝6sin φ，∵ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(φ))< eq \f(π,2)，∴φ＝－ eq \f(π,3).故A正确；
所以f(t)＝6sin ( eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3))，当t∈[0，60]时， eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以函数y＝f(t)在[0，60]不是单调递增的，故B不正确；
因为 eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y))max＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6))＝6，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当t＝100时， eq \f(π,60)t－ eq \f(π,3)＝ eq \f(4π,3)，此时y＝－3 eq \r(3)，点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－3\r(3)))，|PA|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))))＝6，故D正确，
故选AD.
答案：AD
13．解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωπt＋\f(π,4)))＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，
此时150ωπ＋ eq \f(π,4)＝2kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋ eq \f(π,4)＝2π－ eq \f(π,2)，解得ω＝ eq \f(1,120).
故ω的最小值为 eq \f(1,120).
答案： eq \f(1,120)
14．解析：由题意，T＝12，∴ω＝ eq \f(π,6)，设f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A＞0)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋B＝18，,－A＋B＝2，))
∴A＝8，B＝10，∵当t＝0时，f(t)＝10，∴φ＝0，
∴f(t)＝8sin eq \f(π,6)t＋10，当t＝17时，f(17)＝14.
答案：14 h＝8sin eq \f(π,6)t＋10(t≥0)
15．解析：(1)由题意，d＝A sin (ωt＋φ)＋K，
由图可知d的最大值为6，最小值为－2，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋K＝6,－A＋K＝－2))，解得A＝4，K＝2，
∵每π分钟转1圈，
∴函数的周期为T＝ eq \f(2π,ω)＝π，可得ω＝2，可得d＝4sin (2t＋φ)＋2，
∵依题意，可知当t＝0时，d＝0，即0＝4sin φ＋2，可得sin φ＝－ eq \f(1,2)，
由－ eq \f(π,2)＜φ＜ eq \f(π,2)，可得φ＝－ eq \f(π,6).
(2)由(1)可得d＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(π,6)))＋2，
令6＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(π,6)))＋2，得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(π,6)))＝1，取2t－ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,2)，解得t＝ eq \f(π,3)，
故经过 eq \f(π,3)分钟后盛水筒W出水后就可到达最高点．
(3)由题意，5＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t0－\f(π,6)))＋2，
可得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t0－\f(π,6)))＝ eq \f(3,4)，可得cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t0－\f(π,6)))＝－ eq \f(\r(7),4)，或 eq \f(\r(7),4)(舍去)，
所以sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（t0＋\f(π,6)）－\f(π,6)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t0－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝ eq \f(3,4)× eq \f(1,2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),4)))× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3－\r(21),8)，
所以再经过 eq \f(π,6)分钟，可得d＝4× eq \f(3－\r(21),8)＋2＝ eq \f(7－\r(21),2)＞0，
故盛水筒不在水中．
16．解析：(1)因为函数为y＝f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，
由①，得周期T＝ eq \f(2π,ω)＝12，所以ω＝ eq \f(π,6).
由②，得f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故A＝200.
由③，得f(x)在[2，8]上递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(－A＋b＝100，,A＋b＝500，)))
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(A＝200，,b＝300.)))
因为f(2)最小，f(8)最大，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×2＋φ))＝－1，,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×8＋φ))＝1.)))
由于0＜|φ|＜π，因此φ＝－ eq \f(5π,6)，
所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为
y＝f(x)＝200sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300(x∈N*，且1≤x≤12).
(2)由条件可知200sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，
化简得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))≥ eq \f(1,2)，
所以2kπ＋ eq \f(π,6)≤ eq \f(π,6)x－ eq \f(5π,6)≤2kπ＋ eq \f(5π,6)(k∈Z).
解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z).
因为x∈N*，且1≤x≤12，
所以x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的食物．x
1
2
y
10 000
9 500
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1