初中数学湘教版九年级上册第1章 反比例函数1.1 反比例函数精品教学设计及反思

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1.下列函数关系式中属于反比例函数的是( )
A.y＝3x B. C. D.x＋y＝5
【答案】B
【解析】A、是正比例函数，故此选项错误；
B、是反比例函数，故此选项正确；
C、.是正比例函数，故此选项错误；
D、是一次函数，故此选项错误
故选：B．
2..如果反比例函数的图象经过点（-4，-5），那么这个函数的解析式为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、不是同类二次根式，不能合并，故此项不符合题意；
B、，故此项不符合题意；
C、，符合题意；
D、,故此项不符合题意.
故选:C.
3.已知反比例函数，下列结论错误的是( )
A．图象经过点(1，1)
B．图象在第一、三象限
C．当x>1时，0D．当x<0时，y随着x的增大而增大
【答案】D
【解析】A、⸪当x=1时,y=1,⸫图象经过点（1，1)，正确；
B、⸪k=1>0，.⸫图象在第一、三象限，正确；
C、⸪k=1>0，⸫图象在第一象限内y随x的增大而减小，⸫当x>1时，0D、应为当x<0时，y随着x的增大而减小，错误.
故选D.
4.已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围为( )
A.k≥3 B.k>3 C.k≤3 D.k<3
【答案】D
【解析】⸪反比例函数的图象在第二、四象限, ⸫k-3<0,即k<3.
故选：D.
5.函数y＝－x与y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象无交点，且y＝eq \f(k,x)的图象过点A(1，y1)，B(2，y2)，则( )
A．y1y2 D．y1，y2的大小无法确定
【答案】C
【解析】⸪函数y=-x图象经过二、四象限，函数y=-x与(k≠0)的图象无交点，
⸫y=-x与(k≠0)的图象在一、三象限，
⸫k>0，
根据反比例函数的性质，可知y1>y2；
故选：C.
6.已知一次函数y＝kx＋b的图象如图，那么正比例函数y＝kx和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是( )
【答案】C
【解析】如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，⸫k>0，b<0⸫正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限.
故选:C.
7.如图，△ABC的边BC=y，BC边上的高AD=x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图象大致是( )

【答案】A
【解析】⸪∆ABC的面积为3，
⸫，
⸫
⸫BC的长y是BC边上的高x的反比例函数，
⸫函数图象是双曲线；
又⸪x>0，y>0，
⸫该反比例函数的图象位于第一象限.
故选：A．
8.如图，直线y=mx与双曲线交于点A,B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连结BM．若S∆ABM=2，则k的值是( )
A．2 B．m-2
C．4 D．m
【答案】A
【解析】设A（x，y），
⸪直线y=mx，与双曲线交于A、B两点，⸫B(-x，-y），⸫,
⸫S∆BOM=S∆AOM, ⸫S∆ABM=S∆AOM+S∆BOM=2S∆AOM=2, ⸫S∆AOM==1,则k=.
又⸪反比例函数位于一三象限，⸫k>0，故k=2.
故选A.
9.如图，直线与双曲线交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1y2+x2y1的值为( )
A．－8 B．－4 C．4 D．0
【答案】B
【解析】把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入双曲线中可得x1﹒y1=x2﹒y2=2，
⸪直线与双曲线都关于原点对称
⸫A、B两点也关于原点对称
⸫x1=-x2，y1=-y2
⸫x1y2+x2y1=-x2y2-x2y2=-2x2y2=－4
故选：B．
10.某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图所示的曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次有效的时间为( )
A．15eq \f(7,8)小时 B．15eq \f(15,16)小时
C．16小时 D．17小时
【答案】B
【解析】由图易知：y1=4t(0≤t≤4),(t>4),当y=0.25时，由y1=4t得t=；由得：t=16,
⸫服药一次有效的时间为:16-=.
故选:B.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填在题中的横线上）
11.一个函数具有下列性质： = 1 \* GB3 ①它的图像经过点（-2，1）； = 2 \* GB3 ②它的图像在二、四象限内； = 3 \* GB3 ③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.则这个函数的解析式可以为 .
【答案】
【解析】设符合条件的函数解析式为，
⸪它的图象经过点（-2，1），把此点坐标代入关系式得k=.-2，
⸫这个函数的解析式为.
12.已知双曲线位于第二、四象限内，则m的值为 .
【答案】1
【解析】由题意得：且m+1≠0
⸫m=1.
13.已知点A(1，y1)，B(7，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数(m为常数)的图象上，则y1、y2、y3按从小到大的顺序排列为 .
【答案】y1【解析】∵，∴的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而增大，∵，∴，故.
14.在平面直角坐标系xy中，直线y=-x向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数的图象的一个交点为A(a,3)，则k的值等于 ．
【答案】-6.
【解析】由题意得直线l：y=-x+1，把A(a,3)代入直线l：y=-x+1中得：3=-a+1， ⸫a=-2， ⸫A(-2,3)
把A(-2,3)代入中可得：k=-6.
15. 如右图在反比例函数的图象上有三点P1、P2、P3， 它们的横坐标依次为1、2、3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂线， 设图中阴影部分面积依次为S1、S2、S3， 则S1+S2+S3=_______．
【答案】4
【解析】(方法一）当x=1时，y=-4;
当x=2时，y=-2;
当x=3时，y=;
⸫P1（1,-4），P2（2，-2），P3(3，)
⸫
⸫
(方法二）利用平移知识易知：图中阴影部分面积之和就等于过点P1向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积，故S1+S2+S3=.
16.如图，过原点的直线l与反比例函数的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是_______．
【答案】
【解析】由题意可设点M的坐标为（x，），
⸫
由双曲线的对称性可知ON=OM，故MN的最小值为.
17. 如图，直线AB交双曲线于A，B两点，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连接OA.若OM＝2MC，S△OAC＝12.则k的值为 .

【答案】8.
【解析】如图，过A作AN⊥OC于N ， ⸪BM⊥OC， ⸫AN//BM
⸪点B为AC中点， ⸫MN=MC，
⸪OM=2MC, ⸫ON=MN=MC，
⸪点A在双曲线上， ⸫设A(a>0)
⸫OC=3a,AN=，
⸪ S∆OAC=12, ⸫，即k=8.
18.如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C，D两点在反比例函数的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是 .
【答案】2.
【解析】连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=|k1|=k1，S△COE=S△DOF=|k2|=﹣k2，
∵S△AOC=S△AOE+S△COE，
∴AC•OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）﹒﹒﹒①，
∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，
∴BD•OF=×（EF﹣OE）=×（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）﹒﹒﹒②，
由①②两式解得OE=1，
则k1﹣k2=2．
三、解答题（本大题共7小题，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题9分，第23、24题每小题10分，第25题每小题12分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（8分）已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求当x＝4时，y的值．
【答案】（1）y＝eq \f(12,x)；（2）3.
【解析】(1)设y＝eq \f(k,x)，将x＝2，y＝6代入得k＝12，∴y＝eq \f(12,x).
(2)当x＝4时，y==3
20.（8分）已知反比例函数，当x的值由4增加到6时，y的值就减少3，求这个反比例函数的表达式．
【答案】.
【解析】∵当x＝4时，，当x＝6时，，∴＝3，解得k＝36.
∴此反比例函数的表达式是.
21.（9分）已知函数.
(1)如果y是x的正比例函数，求m的值，并写出此时y与x的函数关系式；
(2)如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)由题意得：，解得：
⸫
由题意得：，解得：m=2
⸫
22.（9分）在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．
(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
(2)M，N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m，n的代数式表示)．
【答案】（1）不一定，利用见解析；（2）y＝－x＋m＋n.
【解析】(1)不一定，设这一对“互换点”的坐标为(a，b)和(b，a)．
①当ab＝0时，它们不可能在反比例函数的图象上，
②当ab≠0时，由b＝eq \f(k,a)或得a＝eq \f(k,b)，即(b，a)都在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上．
(2)由M(m，n)得N(n，m)，设直线MN的表达式为y＝cx＋d(c≠0)．
则有，解得，∴直线MN的表达式为y＝－x＋m＋n.
23.（10分）已知反比例函数(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)当－3＜x<－1时，求y的取值范围．
【答案】(1)；(2)这点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上；（3）－6【解析】(1)∵反比例函数的图象经过点A(2，3)，把点A的坐标(2，3)代入表达式，
得，解得k＝6.
∴这个函数的表达式为
（2）当x=-6时,， ∴点B不在这个函数的图象上；
当x=3时,， ∴点C在这个函数的图象上．
∵当x＝－3时，y＝－2；当x＝－1时，y＝－6.又由k>0知，在x<0时，y随x的增大而减小，
⸫当－324.（10分）水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的日销售量y（千克）与销售价格x(元/千克）之间的关系.现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x(元/千克）之间都满足这一关系.
（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
（2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出?
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务?
【答案】（1）；补全表格为：200,80；（2）20；（3）60
【解析】（1）反比例函数的解析式为；补全表格为：200,80；
（2）2104-（30+40+48+50+60+80+96+100）=1600（千克），
即试销8天后，余下的海产品还有1600千克.
当x=150时，y=80.
⸪1600÷80=20(天），
⸫余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出.
（3）1600-80×15=400（千克），400÷2=200（千克/天），
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克.
当y=200时，x==60
所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务.
25.（12分）已知一次函数y1＝kx+n（n <0）和反比例函数（m>0, x>0）,
（1）如图1，若n＝－2，且函数y1、y2的图像都经过点A（3，4）.
①求m、k的值;
②直接写出当y1>y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图像相交于点B,与反比例函数（x>0）的图像相交于点C.
①若k＝2, 直线l与函数y1的图像相交于点D,当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，
求m－n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图像相交与点E，当m－n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值，求此时k的值及定值d.
图1
图2

【答案】（1）①m＝12；k＝2. ②x>3； （2）①m﹣n＝1 或 m﹣n＝4；②k＝1，d＝1.
【解析】（1）①∵双曲线y2＝过点A（3，4）.
∴4＝即m＝12.
又∵点A （3，4）在y1＝kx+n的图象上，且n＝－2，
∴4＝3k－2，
∴k＝2.
②由图像可知当x>3时，y1>y2.
（2）①∵直线l过点P（1，0），
∴D（1，2+ n），B（1，m），C（1， n），
又∵点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等，
∴BD＝BC, 或 BD＝DC;
∴2+ n﹣m＝m﹣n; 或 m﹣（2+ n）＝2+ n﹣n;
∴m﹣n＝1 或 m﹣n＝4.
②由题意可知，B（1，m），C（1， n），
当y1＝m时，kx+n＝m，
∴x＝
即点E为（，0）
∴d＝BC+BE＝ ＝
∵m－n的值取不大于1的任意实数时， d始终是一个定值，
∴＝0
∴k＝1，从而d＝1.