2021-2022学年黑龙江省大庆市萨尔图区东风中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年黑龙江省大庆市萨尔图区东风中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本题共10小题，共50分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C. 或 D.

2. 下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. “”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 从，，，，，，，，中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的数是偶数”，事件为“第二次取到的数是奇数”，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 给出下列说法中错误的是(    )

A. 回归直线恒过样本点的中心
B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近
C. 某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的方差不变
D. 在回归直线方程中，当变量增加一个单位时，平均减少个单位

6. 在的展开式中，若第项为二项式系数最大的项，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某班将名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加劳动锻炼，每个社区至少分配一名同学，则甲社区恰好分配名同学的方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 二项式展开式中，有理项共有项．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 设是定义在上的奇函数，且当时，，不等式的解集为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本题共2小题，共10分）

11. 已知是奇函数，则下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知函数，则下列选项正确的是(    )

A. ，，为增函数
B. ，对，为偶函数
C. ，对，有最大值
D. ，对，有最大值

三、填空题（本题共4小题，共20分）

13. 在，，三地爆发了流感，这三个地区分别为，，的人患了流感．设这三个地区人口数的比为：：，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是______．
14. 若，，且，则的最小值是______．
15. 已知某批零件的长度误差单位：毫米服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为______．
    附：若随机变量服从正态分布，则，
16. 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为          ，实数的取值范围为          ．

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17. 已知二次函数，且满足，．
    求函数的解析式；
    当时，求函数的最小值用表示．
18. 下表所示是我国年至年生活垃圾无害化处理量单位：亿吨．

由数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
建立关于的回归方程系数精确到，并预测年我国生活垃圾无害化处理量．
附：，，，．
相关系数；
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

19. 甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“局胜制”即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为．
    若，比赛结束时，设甲获胜局数为，求其分布列和期望；
    若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为，求的最大值．
20. 培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质已知向水中每投放个单位的物质，则小时后，水中含有物质的浓度增加，与的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质的浓度不低于时，物质才能有效发挥作用．
    若在水中首次投放个单位的物质，计算物质能持续有效发挥作用的时长；
    若时在水中首次投放个单位的物质，时再投放个单位的物质，试判断当时，水中含有物质的浓度是否始终不超过，并说明理由．
21. 年北京冬奥组委发布的北京年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告显示北京冬奥会已签约家赞助企业，冬奥会赞助成为一项时间跨度较长的营销方式．为了解这家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对这家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于小时的企业有家，余下的企业中，每天的销售额不足万元的企业占，统计后得到如下列联表：

请完成上面的列联表，在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取家企业，求抽取的销售额不少于万元和销售额不足万元的企业数；
(ⅱ)在(ⅰ)条件下，抽取销售额不足万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于小时的企业数是，求的分布列及期望值．
附：

参考公式：，其中．

22. 月，全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮，在相同的条件下，每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．
    经过轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
    若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．
    求，，；
    规定，经过计算机计算可估计得，请根据中，，的值分别写出，关于的表达式，并由此求出数列的通项公式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
或，．
故选：．
直接进行补集和交集的运算即可．
本题考查了列举法和描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于，是奇函数，在上单调递减，故A错；
对于，是偶函数，在上不单调，故A对；
对于，是偶函数，在上单调递减，故C错；
对于，是非奇非偶函数，在上单调递增，故D错．
故选：．
根据函数奇偶性和单调性逐一判断即可．
本题考查函数奇偶性和单调性，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：或，
当时，成立，
当时，不一定成立，
“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
先化简得或，然后根据充分必要条件的定义加以判断即可．
本题主要考查充分必要条件的判断，注意运用定义，也可以运用集合的包含关系判断，是一道基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：回归直线恒过样本点的中心，故A正确；
根据相关系数的意义，两个变量相关性越强，则相关系数就越接近，故B正确；
根据平均数的计算公式可得：，根据方差的计算公式，故C错误；
根据回归系数的含义，可得在回归直线方程，当变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，故D正确．
故选：．
根据回归直线方程的特征判断；根据相关系数的意义判断；根据平均数和方差的计算公式判断；根据回归系数的含义判断．
本题考查统计知识的相关概念及判定、回归直线方程、相关系数的意义等，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：若只有第项的二项式系数最大，则，
若只有第项与第项的二项式系数最大，则，
若只有第项与第项的二项式系数最大，则，
故选：．
根据二项式系数的性质讨论只有第项或者只有第，项或者只有第，项的二项式系数最大，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步分析：
先人中选出人，安排到甲社区，有种方法，
将剩下人分成组，安排到乙、丙社区，有种方法，
则有种安排方法；
故选：．
根据题意，分步分析：先人中选出人，安排到甲社区，将剩下人分成组，安排到乙、丙社区，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，且，，，，，
则，，，，，，，
所以展开式的有理项共有项，
故选：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为整数，根据的取值范围即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，当时，，易得在上为增函数，
又由是定义在上的奇函数，则在上也是增函数，
又由，则，则有，
故原不等式等价于，则有，解可得或，即不等式的解集为；
故选：．
根据题意，先分析函数的单调性，结合函数的解析式，原不等式等价于，结合函数的单调性可得，解可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，
因为关于的不等式的解集为，
所以的根为，，
所以，
故．
故选：．
由题意得，的根为，，然后结合方程根的关系可求．
本题主要考查了二次不等式及二次方程的相互转化关系的应用属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数为奇函数，即其图象向左平移一个单位，向下平移一个单位可得的图象，
则的图象关于点对称，
则有，
故选：．
根据题意，分析可得的图象关于点对称，由此分析可得答案．
本题考查函数的对称性，涉及函数的图象变换规律，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
对于：设，，且，
则，
令，，
所以，
因为，所以．
要使为增函数，只需恒成立，
所以，
即，
而，所以矛盾，故A错误；
对于：要使对，为偶函数，按偶函数的定义，只需，
即，解得：，
即，对，为偶函数．故B正确；
对于：定义域为，
所以关于的方程有解，
当时，有有解，
当时，只需，
即，
而，
所以关于的一元二次不等式有解，故CD正确；
故选：．
对于：利用单调性的定义，要使为增函数，进行运算，产生矛盾，即可判断；
对于：利用偶函数的定义进行判断；
对于、：用判别式法求值域即可判断；
本题考查了函数的单调性，奇偶性以及最值问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由全概率公式可得：现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为：．
故答案为：．
根据全概率公式进行求解即可．
本题主要考查全概率公式，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当且仅当时，取得最小值．
故答案为：
运用均值不等式将换成，进行计算即可
此题是均值不等式的运用，学生要熟练掌握的用法，然后将进行反用，是均值运用的常用方法
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

由正态分布曲线特征及概率求解．
考查正态分布的概率，属基础题．

【解答】

解：设长度误差为随机变量，则由题意得：，
，，，
，
，
故答案为：

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次不等式与方程根之间关系的应用，解题的关键是掌握一元二次不等式求解步骤，属于中档题．
利用一元二次不等式的解法求解不等式，然后判断不等式解集的两个端点的大小并确定之间的整数，然后列出不等关系求解即可．

【解答】

解：不等式，
令，
则，
所以方程有两个不相等的实数根
，，
因为，所以，，
故不等式的解集为，
由题意可知，不等式有且只有两个整数解，
所以这两个整数解为和，
则，解得，
又，所以，
故这两个整数解之和为；实数的取值范围为．
故答案为：；．

17.【答案】解因为二次函数满足，
，
所以，，，
故，，，．
因为是图象的对称轴为直线，且开口向上，
当时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，
则；
当，即时，，
故． 

【解析】把已知代入可建立关系，，的方程，解出，，即可求解函数解析式；
结合已知区间与对称轴的位置关系进行分类讨论可求．
本题主要考查了待定系数法求解函数解析式及二次函数闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：由表中数据和附注中数据可得：，，
则，
与的相关系数近似为，说明与的线性相关相当高，
可以用线性回归模型拟合与的关系．
由得，，
关于的回归方程为：，
将代入回归方程得：，
预测年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨． 

【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法，求出回归方程，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可知，随机变量的可能取值为、、、，
则，
，
随机变量的分布列如下：

则；
甲队只胜一场的概率为，
则，
故当时，，递增，
当时，，递减，
则． 

【解析】解：根据题意，随机变量的可能取值为、、、，求出各自对应的概率，即可求解；甲队只胜一场的概率为，对其求导后根据单调性即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，由题得，解之得；
当时，由题得，解之得；
所以．
所以物质能持续有效发挥作用的时长为小时．
解：当时，水中含有物质的浓度为，
则
．
当且仅当时等号成立．
所以当时，水中含有物质的浓度的最大值为．
所以当时，水中含有物质的浓度始终不超过． 

【解析】本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
对分两种情况讨论解不等式即得解；
求出，再利用基本不等式判断求解．
 

21.【答案】解：签约企业共家，线上销售时间不少于小时的企业有家，
则线上销售时间少于小时的企业有家，每天的销售额不足万元的企业占，即，
列联表如下：

，
在犯错误的概率不超过的前提下，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
由题意我看着，销售额不少于万元有家，销售额不足万元有家，
按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取家企业，抽样比为，
故抽取的销售额不少于万元的企业数为，
销售额不足万元的企业数为．
(ⅱ)由题意可得，每天的销售额不足万元，每天线上销售时间不少于小时的企业有家，
线上销售时间少于小时的企业有家，
由可知，从销售额不足万元的企业抽取甲，
故所有可能的值为，，，
，
，
，
故的分布列为：

故 E． 

【解析】根据已知条件，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
(ⅱ)由已知条件可得，所有可能的值为，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望和独立性检验公式，属于中档题．
 

22.【答案】解：的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：

由知，
经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：
一是两轮甲各得分，二是两轮中有一轮甲得分，有一轮甲得分，
．
经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：
一是三轮甲各得分，二是三轮中有两轮甲各得分，一轮得分，三是三轮中有一轮甲得分，两轮各得分，四是两轮各得分，轮得分，
．
，，
，
将代入，解得，，
，
，，
，
，是首项与公比都是的等比数列，
，
． 

【解析】本题考查概率、离散型随机变量的分布列的求法，考查数列的通项公式的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得分，二是两轮中有一轮甲得分，有一轮甲得分，由此能求出经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得分，二是三轮中有两轮甲各得分，一轮得分，三是三轮中有一轮甲得分，两轮各得分，四是两轮各得分，轮得分，由此能求出．
推导出，将代入得，，，从而，推导出是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．