2021-2022学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高一（下）期末数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从只“冰墩墩”，只“雪容融”和个北京年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了只，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和为的概率(    )

A.  B.  C.  D.

4. 从一批产品其中正品、次品都多于件中任取件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是(    )
   恰好有件次品和恰好有两件次品；至少有件次品和全是次品；
   至少有件正品和至少有件次品；至少件次品和全是正品．

A.  B.  C.  D.

5. 演讲比赛共有位评委分别给出某选手的原始评分评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分，个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差

6. 中，点为上的点，且，若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”现有一“阳马”，平面，，的面积为，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断错误的是(    )

A. 若，，，则直线与可能相交或异面
B. 若，，，则直线与一定平行
C. 若，，，则直线与一定垂直
D. 若，，，则直线与一定平行

10. 如图，甲船从出发以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，下面正确的是(    )

A. 乙船的行驶速度与甲船相同
B. 乙船的行驶速度是海里小时
C. 甲乙两船相遇时，甲行驶了小时
D. 甲乙两船不可能相遇

11. 将一组数据从小到大排列为：，，，，中位数和平均数均为，方差为，从中去掉第项，从小到大排列为：，，，，方差为，则下列说法中正确的是(    )

A.  B. ，，，的中位数为
C. ，，，的平均数为 D.

12. 在正方体中，点在线段上运动，则下列判断正确的是(    )

A. 面面
B. 面
C. 异面直线与所成角范围是
D. 三棱锥的体积是定值
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在第______象限．
14. 某学习兴趣小组学生一次测验成绩如下：
    ，，，，，，，，，，则这个兴趣小组学生的测验成绩的第百分位数是______．
15. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生到之间取整数值的随机数，用，，，表示下雨，用，，，，，表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下组随机数：
                      
                      
    据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为______．
16. 已知向量和的夹角为，且，，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知复数．
    若复数为纯虚数，求实数的值；
    若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    根据研究成果，年前中国男性的平均身高为厘米，女性为厘米，为了了解年来中国女性身高长高了多少，年，特地针对各地中国女性进行调查，我们了解到个成年妇女的身高，如表所示：

计算上述样本的平均身高，据此估计年来中国女性身高长高了多少？
估计年中国女性身高的第百分位数与众数；
通过互联网调查年中国女性身高，中国女性身高是否随着时代的发展而逐渐长高？请尝试解释说明．

19. 本小题分
    如图，在直角梯形中，，，，，．
    若，求；
    若，求在上的投影向量的模长．

20. 本小题分
    某市从年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩均为整数分成六组，，，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
    求分数在内的频数；
    用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至少有人在分数段内的概率．

21. 本小题分
    四棱锥，，，，底面，，为的中点．
    Ⅰ证明：；
    Ⅱ求三棱锥的体积．

22. 本小题分
    在中，角，，所对的边分别是，，，已知．
    求角的大小；
    在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若，，点是边上的一点，且______，求线段的长．
    是的中线；
    是的角平分线；
    ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据分层抽样的定义可得：，
解得．
故选：．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数，
向上点数之和为包含的基本事件有：
，，，，，共个，
向上点数之和为的概率．
故选：．
基本事件总数，利用列举法求出向上点数之和为包含的基本事件有个，由此能求出向上点数之和为的概率．
本题考查概率的求法，古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：从一批产品中任取件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于件，
恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，
至少有一件次品和全是正品是互斥的，
是互斥事件，
故选：．
由题意知恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，这两种说法里所包含的事件是不能同时发生的
本题考查互斥事件和对立事件，互斥事件是不能同时发生的事件，分析是否是互斥事件时，要观察清楚所叙述的事件中包含什么事件，列出了进行比较．
 

5.【答案】 

【解析】解：个有效评分与个原始评分相比，平均数、极差、方差都有可能变化，
个原始评分的中位数是从小到大排序后的第个数，个有效评分的中位数是从小到大排序后的第个数，
是同一个数，
故选：．
个原始评分的中位数是从小到大排序后的第个数，个有效评分的中位数是从小到大排序后的第个数，是同一个数．
本题考查了数字特征的性质，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，由，得，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以．
故选：．
由题意可知，从而，进一步根据可得，从而比较系数即可求出与的值．
本题考查平面向量基本定理，考查学生直观想象与数形结合的能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为平面，，的面积为，
如图，将四棱锥补成长方体，
则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同，
因为长方体外接球的半径，
所以该“阳马”外接球的表面积为：
，
当且仅当时，等号成立，
所以该“阳马”外接球的表面积的最小值为，
故选：．
将“阳马“补成长方体，利用长方体的外接球半径与长方体棱长之间的关系、球的表面积公式及基本不等式即可求解．
本题考查了球的表面积公式及基本不等式，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
且，
，
即，即，
则．
故选：．
利用余弦定理表示出，并利用完全平方公式变形，将已知等式及的值代入求出的值，再由的值，利用三角形面积公式即可求出三角形面积．
此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：若，，，则直线与可能相交或异面，故A正确；
若，，，则直线与平行、相交或异面，故B错误；
若，，则或，又，则直线与平行、相交或异面，相交或异面时也不一定垂直，故C错误；
若，，，则直线与平行、相交或异面，故D错误．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示；

由，且，
是等边三角形，
，
在中，由余弦定理得 
，
解得；
因此乙船的速度大小为海里小时；
若能在点相遇，则显然；
因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．
故选：．
根据题意连接，判断是等边三角形，利用余弦定理求得的值，再求乙船的速度大小可判断，，由甲、乙两船的航速相等，结合题意得出两船不能相遇可判断，．
本题考查了解三角形的应用问题，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，，中位数和平均数均为，
，，故A正确；
，，，的中位数为，
不一定等于，，，，的中位数不一定为，故B错误；
，，，，的平均数为，故C正确；
，，
，
，
，故D错误．
故选：．
由中位数的定义即可判断，；由平均数定义判断；由方差定义判断．
本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，正方体中，平面，平面，，
，，平面，
平面，又平面，面面，故A正确；
对于，正方体中，由与平行且相等得平行四边形，
，平面，平面，平面，
同理，平面，
，，平面，
平面平面，平面，平面，故B正确；
对于，与证明平面同理得平面，
当是中点时，为中点，平面，，
异面直线与所成角为，故C错误；
对于，，由知到平面的距离为两平行平面间的距离，是定值，
三棱锥的体积是定值，故D正确．
故选：．
证明平面后得到面面垂直判断；证明平面平面，得线面平行判断；证明平面后由特殊的点位置得异面直线所成角为，从而判断；利用选项C中面面垂直得点到平面的距离相等结合棱锥体积公式判断．
本题考查命题真假的判断，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、面面平行的性质、异面直线所成角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】三 

【解析】解：，
，
复数在复平面内对应的点在第三象限．
故答案为：三．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：将个数据从小到大排成一列：，，，，，，，，，，
其中，所以测验成绩的第百分位数是．
故答案为：．
将个测试成绩从小到大排成一列，根据百分位数的定义，即可求解．
本题考查百分位数，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，
在组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：、、、、、，共组随机数，
所求概率为．
故答案为：．
由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共组随机数，根据概率公式，得到结果．
本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的数量积的运算，属于基础题．
根据向量的数量积公式计算即可．

【解答】

解：向量和的夹角为，且，，
．
故答案为：．

17.【答案】解：复数为纯虚数，
且，解得；
复数在复平面内对应的点在第四象限，
，解得；
故实数的取值范围． 

【解析】由复数为纯虚数得且，然后求出即可；
由题意得，然后求出即可．
本题考查了复数的几何意义的应用和纯虚数的概念，属于基础题．
 

18.【答案】解：根据表格中的数据，
样本的平均身高为，
估计年来中国女性身高长高了；
，
，
从小到大排列第与第个数据都是，
估计年中国女性身高的第百分位数为，
由表格中的数据可得身高为，的人数出现的次数最多，
中国女性身高的众数为，；
是，
经调查发现年中国女性身高的平均数，众数，中位数都有大幅度的增长，
经济增长，人民生活水平的提高，对身高的增长起到了至关重要的作用． 

【解析】根据平均数的定义计算即可；
根据中位数的定义求出第百分位数，结合表格求出众数即可；
结合所求，所给数据判断即可．
本题考查了频数分布表，考查平均数，众数，中位数的定义，是基础题．
 

19.【答案】解：分别以的方向为轴，轴的正方向，点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
所以，
又，
所以，
则，
因为，
所以，
即，
得，
即，，
则，
即；
若，
则，
则，，
即在上投影向量的模长． 

【解析】由平面向量数量积的坐标运算，结合向量垂直的坐标运算求解即可；
由平面向量数量积的坐标运算，结合投影向量及向量模的运算求解即可．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，重点考查了投影向量及向量模的运算，属基础题．
 

20.【答案】解：分数在内的频率为：，
故频数为．
由题意，分数段的人数为人；分数段的人数为人，
用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，
所以需在分数段内抽取人，分别记为，，在分数段内抽取人，分别记为，，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间：，共包含个样本点，
事件：“从样本中任取人，人都不在分数段内”只有个样本点，
所以，
所以至少有人在分数段内的概率为． 

【解析】概率频率分布直方图中各个小矩形面积之和为求解．
先根据频率分布直方图求出分数段的人数和分数段的人数，由分层抽样可知需在分数段内抽取人，在分数段内抽取人，列出所有基本事件，再利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

21.【答案】证明：Ⅰ因为平面，平面，
所以，
又，所以，
，平面，，
所以平面，又平面，
所以，
因为，为的中点，
所以，，平面，，
所以平面，平面，
所以；
解：Ⅱ由Ⅰ平面，
所以，
又，又，
所以，
所以． 

【解析】Ⅰ先由线面垂直判定定理平面，再证明；Ⅱ由锥体体积公式可得三棱锥的体积等于三棱锥的体积的一半，再由体积公式求体积即可．
本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
 

22.【答案】或或 

【解析】解：由，得，
由余弦定理知，，
因为，所以．
选，因为是的中线，
所以，
所以，
所以．
选，因为，
所以，
即，
解得．
选，因为，
所以，
所以
，
故．
将已知条件整理成，并由余弦定理，即可得解；
选，由，将其两边平方，并结合平面向量的数量积运算法则，即可得解；
选，由，利用三角形的面积公式，代入数据，运算得解；
选，根据平面向量的线性运算可得，将其两边平方，并结合平面向量的数量积运算法则，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式，平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．