初中16.2 线段的垂直平分教学设计

16.2线段的垂直平分线（1）

教学目标

【知识与能力】

1.理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理.

2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.

【过程与方法】

通过经历线段的垂直平分线的性质定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.

【情感态度价值观】

通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识.

教学重难点

【教学重点】

1.线段的垂直平分线的性质定理.

2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.

【教学难点】  

灵活运用线段的垂直平分线的性质定理解题.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使世界更加美丽,那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?

生:如果一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

师:什么是线段的垂直平分线呢?

学生思考抢答.

师:很好,这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.

[设计意图]　通过简单的复习导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.

导入二:

【课件1】　如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?

1.用平面图将上述问题进行转化,已知线段AB及AB的垂直平分线l,在l上取P1,P2,P3,…,连接AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3……

2.作好图后,用直尺量出AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3……讨论发现什么样的规律.

[设计意图]　通过学生对图形的抽象、观察、测量发现线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一结论,从而为下面的进一步探究做好铺垫.

二、新知构建：

　　[过渡语]　线段是最简单的轴对称图形,它的中垂线就是它的对称轴,本节我们将探究线段垂直平分线的重要性质和应用.

活动一:一起探究——线段垂直平分线的性质

思路一

【课件2】　如图所示,已知线段AB和它的中垂线l,O为垂足.

在直线上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想说明理由.

学生猜想得出:事实上,因为线段AB是轴对称图形,垂直平分线l是它的对称轴,所以线段AB沿对称轴l对折后,点A和点B重合,线段PA和线段PB重合,从而PA=PB.

思路二

教师指导学生画线段AB,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上确定几个点,让学生测量,思考有什么发现?

【课件3】

如图所示,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现?

由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范.

命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,还得在理论上证明是正确的才能作为定理,我们来证明这个命题的正确性.

请同学们先根据这个命题画出图形(如图所示),写出已知、求证.

已知:如图所示,线段AB和它的垂直平分线l,垂足为O,点P为直线l上任意一点,连接PA,PB.

求证PA=PB.

引导学生利用SAS证明ΔPAO≌ΔPBO,从而得到PA=PB.

证明:在ΔPAO和ΔPBO中,

∵

∴ΔPAO≌ΔPBO(SAS),

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).

教师说明:经过刚才的证明我们得到这个命题是正确的.

因为点P是线段的垂直平分线上一点,所以我们就得到了线段垂直平分线的性质定理:

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

师:分析定理的条件和结论.

点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB.

　　　(条件) 　(结论)

[知识拓展]　(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.

(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.

(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.

说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.

[设计意图]　通过观察、猜想、证明让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度,进一步体会线段垂直平分线的性质定理.

活动二:例题讲解

　　[过渡语]　了解了线段垂直平分线的性质定理,应用线段垂直平分线的性质定理可以解决一些问题.

【课件4】

　已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.

解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短.

引导学生分析,证明.

【提出问题】

(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?

学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l的对称点,对称点与另一点的连线与直线l的交点,即为点P.

(2)在直线l上任取一个异于点P的点P',怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.

学生小组内交流,教师指一名学生板演.

解:∵点A和点A'关于直线l对称,

∴AP=A'P.

∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换),

如图所示,在直线l上任取一个异于点P的点P',连接AP',BP',A'P',则A'P'+BP'>A'B(两点之间线段最短).

即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.

∴AP+BP最短.

【课件5】　已知:如图所示,D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E.

求证AC=AB.

分析:引导学生根据线段的垂直平分线的性质加以证明.

证明:连接BC,因为点D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB,BE⊥AC,所以CD,BE分别是AB,AC的垂直平分线,所以AC=BC,AB=CB,所以AC=AB.

[设计意图]　让学生明白,线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据,以后证明两条线段相等,又多了一个好办法——线段垂直平分线的性质定理,且比用三角形全等更简便.

三、课堂小结：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.

(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.

(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.