【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件章末复习提升

章末复习提升

要点一　排列与组合的应用

在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.

解决排列组合应用题的常用方法：

(1)合理分类，准确分步；

(2)特殊优先，一般在后；

(3)先取后排，间接排除；

(4)相邻捆绑，间隔插空；

(5)抽象问题，构造模型；

(6)均分除序，定序除序.

例1 6个女学生(其中有1个领唱)和2个男学生分成两排表演.

(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？

(2)领唱站在前排，男学生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？

解　(1)要完成这件事分三步.

第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有CC种不同的排法；

第二步，前排4人进行全排列，有A种不同的排法；

第三步，后排4人进行全排列，有A种不同的排法.

由分步乘法计数原理知，有CCAA＝40 320(种)不同的排法.

(2)思路与(1)同，有CAA＝5 760(种)不同的排法.

训练1 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？

(1)两个女生必须相邻而站；

(2)4名男生互不相邻；

(3)老师不站中间，女生甲不站左端.

解　(1)∵两个女生必须相邻而站，

∴把两个女生看作一个元素，

则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列，共有AA＝1 440(种)站法.

(2)∵4名男生互不相邻，

∴应用插空法，

对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有AA＝144(种)站法.

(3)当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，共有A＝720(种)站法；

当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有A×5×5＝3 000(种)站法.

根据分类加法计数原理知共有720＋3 000＝3 720(种)站法.

要点二　二项式定理的应用

对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题.

例2 若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　)

A.－1   B.0 

C.1   D.2

答案　C

解析　在(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，

令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4；

令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.

两式相乘，得

(2＋)4·(－2＋)4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4).

所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.

训练2 已知的展开式中倒数第三项的系数为45.

(1)求含有x3的项；

(2)求系数最大的项.

解　(1)已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，得n2－n＝90，解得n＝－9(不合题意，舍去)或n＝10.

故通项Tr＋1＝C(x－)10－r(x)r

＝Cx－＋(0≤r≤10，r∈N)，

令－＋＝3，解得r＝6.

故含有x3的项是第7项，为T7＝Cx3＝210x3.

(2)∵的展开式中共有11项，且其二项式系数与项的系数相同，

∴系数最大的项是第6项，

为T6＝C(x－)5(x)5＝252x.

要点三　分类讨论思想

当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般采取分类讨论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进行分类，然后针对每一类分别研究和求解.分类的原则是不重复、不遗漏.

例3 (1)从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为(　　)

A.236   B.328 

C.462   D.2 640

(2)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法种数是(　　)

A.120   B.72 

C.60   D.36

答案　(1)A　(2)C

解析　(1)以取出的编号为奇数的球的个数进行分类.

第一类，取出的5个球的编号中只有1个奇数，有CC＝30(种)取法；

第二类，取出的5个球的编号中有3个奇数，有CC＝200(种)取法；

第三类，取出的5个球的编号全是奇数，有C＝6(种)取法.

根据分类加法计数原理，共有30＋200＋6＝236(种)取法.

(2)共有4个盒子5个球，所以必有1个盒子中放入2个球，且甲必须在第1个盒子中，所以应以第1个盒子中的球的个数进行分类.

第一类，第1个盒子中只有甲球，把剩余的4个球分成个数分别为1，1，2的三堆，再分配给剩余的3个盒子，共有方法CA种；

第二类，第1个盒子中有2个球，此时相当于把除甲球外的4个球放入4个盒子中，方法有A种.

根据分类加法计数原理，满足题意的方法种数为CA＋A＝60.

训练3 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A.36种   B.42种

C.48种   D.54种

答案　B

解析　分两类，

第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；

第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，第三、四、五位有A种排法，故有CA种排法.

依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案.

要点四　正难则反思想

正难则反既是一种手段，又是一种策略.有许多计数问题，应用正难则反思想求解，常能事半功倍.在解题时，当正向思维受阻时，不妨改变思维方向，从结论或条件的反面进行思考，从而使问题得到解决.

例4 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　)

A.484   B.472 

C.252   D.232

答案　B

解析　设(x，y，z)表示取x张红色卡片、y张黄色卡片、z张蓝色卡片.

若从正面考虑，需考虑当不取绿色卡片时，有(2，1，0)，(2，0，1)，(1，2，0)，(0，2，1)，(1，0，2)，(0，1，2)，(1，1，1)，共7类；

当取1张绿色卡片时，有(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，共6类，

分类较多，而其对立面为3张卡片同一颜色或2张绿色卡片，第三张从非绿色卡片中任取，其包含的情况较少，因此用正难则反思想求解.

根据题意，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取2张绿色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(种).

训练4 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种.

答案　11

解析　把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，

第一步：排g和d，共有A种排法；

第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12.

其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种).