【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练7　双曲线

午练7　双曲线

1.已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是(　　)

A.椭圆  B.双曲线

C.双曲线的左支  D.双曲线的右支

答案　D

解析　－＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差等于2，2<F1F2＝4，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支.故选D.

2.方程＋＝1(其中θ∈R)所表示的曲线是(　　)

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线

D.焦点在y轴上的双曲线

答案　D

解析　因为θ∈R，所以sin θ－3<0，2＋cos θ>0，方程可化为－＝1，故其表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.故选D.

3.若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(c>0，d>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则PF1·PF2的值是(　　)

A.m－c  B.(m－c)

C.m2－c2  D.－

答案　A

解析　设PF1＝s，PF2＝t，

则

两式平方相减，得4st＝4(m－c)，

所以PF1·PF2＝st＝m－c，故选A.

4.(多选)已知方程＋＝1表示的曲线为C，给出以下判断，其中正确的是(　　)

A.当1<t<4时，曲线C表示椭圆

B.当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4

答案　BCD

解析　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；

B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，所以t<1或t>4；

C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，所以1<t<；

D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则所以t>4.故选BCD.

5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则C的离心率为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by－ax＝0，又圆心坐标为(2，1)，

则＝1，得3a＝4b，

所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝，

又e>1，故e＝.

6.若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________.

答案　(0，1)

解析　依题意应有k(k－1)<0，解得0<k<1.

7.下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上).

①x2－y2＝1；②＋＝1(a<0)；③y2－2x2＝1；④x2cos α＋y2sin α＝1.

答案　②③④

解析　根据双曲线的标准方程形式，方程表示焦点在y轴上的双曲线的有②③④.

8.若双曲线－y2＝1和椭圆＋＝1的一个交点为M，且F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则MF1·MF2＝________.

答案　17

解析　由题意知，双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，则由双曲线的定义，有MF1－MF2＝±4　①，

由椭圆的定义，有MF1＋MF2＝10，　②

由②2－①2得4MF1·MF2＝68，

所以MF1·MF2＝17.

9.已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且2AB＝AF2＋BF2，则双曲线的实轴长为________；AB＝________.

答案　4　8

解析　由题意可知2b＝4，e＝＝，又c2＝a2＋b2，于是a＝2，2a＝4.因为2AB＝AF2＋BF2，所以AB＋AF1＋BF1＝AF2＋BF2，得AB＝AF2－AF1＋BF2－BF1＝4a＝8.

10.已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求该双曲线的渐近线方程.

解　由题意知F2(c，0)，则设P(c，y0).

则－＝1，解得y0＝±，

所以PF2＝.

在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，

所以F1F2＝PF2，即2c＝·.①

将c2＝a2＋b2代入①式，

解得b2＝2a2或b2＝－a2(舍去)，故＝，

所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.