【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练9　圆锥曲线的综合问题

午练9　圆锥曲线的综合问题

1.直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　由得x2＋2(x＋1)2－4＝0，即3x2＋4x－2＝0，

则弦的中点的横坐标为×＝－，

纵坐标为－＋1＝，即，故选B.

2.方程＋＝1所表示的曲线是(　　)

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线

D.焦点在y轴上的双曲线

答案　D

解析　∵sin θ－1<0，2sin θ＋3>0，

∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.

3.已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，

所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＜0，

即3y－1＜0，解得－＜y0＜.

4.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线y＝x2＋与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1  B.－＝1

C.x2－＝1  D.－y2＝1

答案　D

解析　由题意可得c＝，即a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程和抛物线方程y＝x2＋联立，可得x2±x＋＝0.由抛物线与双曲线C的渐近线相切，可得Δ＝－4××＝0，即a2＝4b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.

5.(多选)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值可能是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　ABC

解析　依题意，知b＝2，kc＝2.

设圆心到直线l的距离为d，

则L＝2≥，

解得d2≤.又因为d＝，

所以≤，

于是e2＝＝＝，

所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故选ABC.

6.已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为________.

答案　

解析　由P在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点F(0，1)，准线为y＝－1，

∴FM＝2，PQ＝1＋＝，MQ＝1，

则直角梯形PQMF的面积为××1＝.

7.椭圆＋＝1上一点P到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________，此时积的最大值为________.

答案　(±3，0)　25

解析　由椭圆的定义可知

PF1＋PF2＝2a＝10，

所以PF1·PF2≤＝＝25，

当且仅当PF1＝PF2时取等号.

由

解得PF1＝PF2＝5＝a，

此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，

即所求点的坐标为(±3，0).

8.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________.

答案　

解析　如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，

∴4＝AF＋BF＝AF′＋AF＝2a，

∴a＝2.

取M(0，b)，∵点M到直线l的距离不小于，

∴≥，解得b≥1.

∴e＝＝≤＝.

∴椭圆E的离心率的取值范围是.

9.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.

答案　3

解析　如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则＝(m2，m)，＝(n2，n)，·＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.

∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，

∴设AB与x轴交于点C，

则C(2，0).

S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2·m＋×2·(－n)＝m－n，

S△AOF＝×·m＝m，

则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立.

故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.

10.已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.

(1)求证：直线AB必过一定点；

(2)求△AOB面积的最小值.

(1)证明　设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x.

由得A，

由得B(2k2，－2k).

∴直线AB所在直线方程为

(y＋2k)＝(x－2k2)，化简得x－y－2＝0，

∴直线过定点P(2，0).

(2)解　由于直线AB过定点P(2，0)，所以可设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由得y2－2my－4＝0.

∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4，

∴|y1－y2|＝

＝＝.

∴S△AOB＝|y1|·OP＋|y2|·OP＝OP·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥4(当且仅当m＝0时取“＝”).

∴当m＝0时，△AOB面积的最小值为4.