【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练6(范围4.1～4.2)

进阶训练6(范围4.1～4.2)

一、基础达标

1.若等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，则这个数列的通项公式为(　　)

A.an＝2n－5  B.an＝2n－3

C.an＝2n－1  D.an＝2n＋1

答案　B

解析　∵等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，

∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.

设数列{an}的公差为d，

∴a1＝－1，d＝2，an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3.故选B.

2.(多选)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列.若81是该数列中的一项，则公差可能是(　　)

A.2  B.3 

C.4  D.5

答案　ACD

解析　∵数列{an}是首项为1，公差为

d(d∈N*)的等差数列，

∴an＝1＋(n－1)d.

∵81是该数列中的一项，

∴81＝1＋(n－1)d，

∴n＝＋1.

∵d，n∈N*，

∴d是80的因数，故d可能是2，4，5，不可能是3.故选ACD.

3.等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)

A.无实根

B.有两个相等实根

C.有两个不等实根

D.不能确定有无实根

答案　A

解析　∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，

∴a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0.

∵Δ＝62－4×10＝－4<0，

∴方程无实根.

4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的比前一天多7人.”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　)

A.9  B.16 

C.18  D.20

答案　B

解析　根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，则该数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列.设该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程，故选B.

5.若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列.已知数列为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝(　　)

A.10  B.20 

C.30  D.40

答案　B

解析　依题意，－＝xn＋1－xn＝d，

∴{xn}是等差数列.

又x1＋x2＋…＋x20＝＝200，

∴x1＋x20＝20，从而x5＋x16＝x1＋x20＝20.

6.设数列{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b1＝7，a5＋b5＝21，则a9＋b9＝________.

答案　35

解析　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也是等差数列.故由等差数列的性质，得(a9＋b9)＋(a1＋b1)＝2(a5＋b5)，即a9＋b9＋7＝2×21，解得a9＋b9＝35.

7.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是a1＝________，d＝________.

答案　　

解析　S偶－S奇＝5d＝15－＝，

∴d＝.

由10a1＋×＝15＋＝，

得a1＝.

8.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16，则当n＝________时，Sn取得最大值________.

答案　9　117

解析　设等差数列{an}的公差为d.

∵a1＝25，a4＝16，

∴由a4＝a1＋3d，得16＝25＋3d，

解得d＝－3.∴an＝a1＋(n－1)d＝25－3(n－1)＝28－3n.

由an<0，得28－3n<0，解得n>.

∴a1>a2>…>a9>0>a10>a11>….

故当n＝9时，(Sn)max＝9×25＋×(－3)＝117.

9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a5＝3，S3＝.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若Sm＝27，求m.

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，

则

解得a1＝1，d＝，

所以an＝1＋(n－1)＝(n＋1).

(2)由(1)得Sm＝＝＝27，整理得m2＋3m－108＝0，由m∈N*，解得m＝9.

10.已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn.

(1)若Sk＝2 550，求a和k的值；

(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.

解　(1)由已知得4×2＝a－1＋2a，

解得a＝3，

∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.

由Sk＝ka1＋d，

得2k＋×2＝2 550，

即k2＋k－2 550＝0，

解得k＝50或k＝－51(舍去)，

∴a＝3，k＝50.

(2)由(1)得Sn＝2n＋×2＝n2＋n，

∴bn＝＝n＋1.

∴b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项，

∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n.

二、能力提升

11.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织迄，问织几何.”其大意为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺？则该女子三十天共织布(　　)

A.30尺  B.90尺

C.150尺  D.180尺

答案　B

解析　由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，

∴S30＝＝90，即该女子三十天共织布90尺.

12.已知数列{an}中，a1＝－1，且an＋1＝an＋3n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.

答案　

解析　由题意得，数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋3n－1，所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝－1＋[2＋5＋8＋…＋(3n－4)]＝－1＋＝；当n＝1时，a1＝－1也满足an＝，故数列的通项公式为an＝.

13.已知数列{an}满足a2－a1＝1，其前n项和为Sn，当n≥2时，Sn－1－1，Sn，Sn＋1成等差数列.

(1)求证：{an}为等差数列；

(2)若Sn＝0，Sn＋1＝4，求n.

(1)证明　当n≥2时，由Sn－1－1，Sn，Sn＋1成等差数列得，2Sn＝Sn－1－1＋Sn＋1，即Sn－Sn－1＝－1＋Sn＋1－Sn，

即an＝－1＋an＋1(n≥2)，

则an＋1－an＝1(n≥2).

又a2－a1＝1，故{an}是公差为1的等差数列.

(2)解　由(1)知数列{an}的公差为1，由Sn＝0，Sn＋1＝4及Sn＋1－Sn＝an＋1得an＋1＝4，即a1＋n＝4.

由Sn＝0得na1＋＝0，

即a1＋＝0，与a1＋n＝4联立解得n＝7.

三、创新拓展

14.已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，则{an}的通项公式an＝________；若数列{bn}满足bn＝an－30，其前n项和为Tn，则Tn的最小值为________.

答案　4n－2　－225

解析　∵2an＋1＝an＋an＋2，

∴an＋1－an＝an＋2－an＋1，

故数列{an}为等差数列.

设数列{an}的公差为d.

由a3＝10，S6＝72，

得

解得

∴an＝4n－2，

∴bn＝an－30＝2n－31.

令

即

解得≤n≤.

∵n∈N*，∴n＝15，

∴数列{bn}的前15项均为负值且以后各项均为正值，

∴T15最小.

∵数列{bn}的首项为－29，公差为2，

∴T15＝＝－225，

∴数列{bn}的前n项和Tn的最小值为－225.