【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练8　抛物线

午练8　抛物线

1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)

A.2  B.1 

C.  D.

答案　A

解析　曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，

其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，

又抛物线的准线方程为x＝－，

∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.

2.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A.  B.1

C.  D.

答案　C

解析　抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，由抛物线定义，知AF＋BF＝xA＋xB＋＝3，

∴xA＋xB＝.

∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.

3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于(　　)

A.45°  B.90°

C.60°  D.120°

答案　B

解析　如图，由抛物线定义知AA1＝AF，BB1＝BF，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，

∴∠AFA1＝∠A1FO，

同理∠BFB1＝∠B1FO，

于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.

4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则实数m的值为(　　)

A.4  B.－2

C.4或－4  D.2或－2

答案　C

解析　由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由点P到焦点的距离为4，得＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P(m，－2)代入x2＝－8y，得m＝±4.

5.(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，设l与x轴的交点为K，点P为C上异于O的任意一点，点P在l上的射影为点E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF于点M，过Q作QN⊥PE，交线段EP的延长线于点N，则(　　)

A.PE＝PF  B.PF＝QF

C.PN＝MF  D.PN＝KF

答案　ABD

解析　由抛物线的定义知A正确；

∵∠FQP＝∠QPN＝∠QPF，

∴PF＝QF，B正确；

由题意，可得PM＝PN，又PM与MF不一定相等，

∴PN与MF不一定相等，C错误；

由题意知四边形QKEN为矩形，

∴PN＝NE－PE＝QK－QF＝KF，D正确.

6.已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点A(4，4)，则准线方程为________，点A到焦点的距离为________.

答案　x＝－1　5

解析　由抛物线y2＝2px经过点A(4，4)，可得42＝8p，解得p＝2，

所以抛物线的标准方程为y2＝4x，

则准线方程为x＝－1，点A到焦点的距离为4－(－1)＝5.

7.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________.

答案　48

解析　由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以AP＝10，BQ＝2或BQ＝10，AP＝2，PQ＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48.

8.设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于P，Q两点.若PQ＝，且PF>QF，则＝________.

答案　3

解析　因为PQ＝，

所以PF＝－QF.

由抛物线的标准方程可知p＝4，因为直线l过抛物线y2＝8x的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知＋＝＝，将PF＝－QF代入得＋＝，

解得QF＝或8.

因为PF>QF，所以QF＝，PF＝8.

所以＝3.

9.已知直线y＝kx＋1与抛物线x2＝4y相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若AF＝3，则△AOF与△BOF的面积之比为________.

答案　2

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，

由x2＝4y，得抛物线的准线方程为y＝－1，

又AF＝3，∴y1＋1＝3，∴y1＝2，

∴x1＝2，则点A(2，2).

又点A在直线y＝kx＋1上，∴2＝2k＋1，

则k＝＝，∴直线方程为y＝x＋1.

联立消y，得x2－x－4＝0，

∴x1x2＝－4，∴x2＝－，

则＝＝2.

10.已知点A(2，8)在抛物线y2＝2px(p>0)上，直线l和抛物线交于B，C两点，焦点F是△ABC的重心，M是BC的中点(不在x轴上).

(1)求点M的坐标；

(2)求直线l的方程.

解　(1)由点A(2，8)在抛物线y2＝2px(p>0)上，有82＝2p·2，解得p＝16.所以抛物线方程为y2＝32x，焦点F的坐标为(8，0).设点M的坐标为(x0，y0)，

则＝，

则(6，－8)＝(x0－2，y0－8)，

所以x0＝11，y0＝－4.

所以点M的坐标为(11，－4).

(2)由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为y＋4＝k(x－11)(k≠0).

由消去x得ky2－32y－32(11k＋4)＝0，

设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以y1＋y2＝.由M为BC中点得＝－4，解得k＝－4.

因此直线l的方程为4x＋y－40＝0.