【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练5　直线与圆、圆与圆的位置关系

午练5　直线与圆、圆与圆的位置关系

1.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线l：x－y－5＝0所得的弦长等于(　　)

A.  B. 

C.1  D.5

答案　A

解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心(2，－2)到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆截得的弦长为2＝2＝.

2.若点P(4，2)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　)

A.2x＋y－10＝0  B.x－2y－8＝0

C.x＋2y－8＝0  D.2x－y－6＝0

答案　C

解析　∵x2＋y2－6x＝0的圆心坐标为(3，0)，

∴所求直线的斜率k＝－＝－，

∴弦MN所在直线的方程为y－2＝－(x－4)，

即x＋2y－8＝0，故选C.

3.已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a>0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为(　　)

A.1  B.

C.2  D.2

答案　D

解析　由题意，知＝2＋1，a>0，

∴a＝2，∴圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，

∴直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为2＝2，故选D.

4.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　)

A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9

B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9

C.(x－2)2＋(y－2)2＝25

D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49

答案　BCD

解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1，2)，半径r＝2.

A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.

∵C1C＝∈(r1－r，r1＋r)，

∴两圆相交；

B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，

∵C2C＝5＝r＋r2，

∴两圆外切；

C项，圆心C3(2，2)，半径r3＝5，

∵C3C＝3＝r3－r，∴两圆内切；

D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，

∵C4C＝5＝r4－r，∴两圆内切.

5.在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，

故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，

而距离的最小值为圆心到直线的距离减半径，即－＝，

故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.

6.过点P(－2，4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离为________.

答案　

解析　由题意，知直线l1的斜率k＝－，则设直线l的方程为y－4＝－(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0.由l与圆C相切，得＝5，解得a＝－4，所以l的方程为4x－3y＋20＝0，l1的方程为4x－3y＋8＝0，则两直线间的距离为＝.

7.已知两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________.

答案　3

解析　由题意，可知AB的中点在直线x－y＋c＝0上，

∴－1＋c＝0，

∴m＋2c＝1.

又直线AB与直线x－y＋c＝0垂直，

∴－1＝，

∴m＝5，

∴c＝－2，

∴m＋c＝3.

8.若圆O1：x2＋y2－2x＋10y＋1＝0与圆O2：x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则实数m的取值范围是________.

答案　(－1，79)

解析　两圆的方程可分别化为(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2(m>－2)，两圆的圆心距d＝4.由题意可知|5－|<4<5＋，解得－1<m<79.

9.已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________；动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________.

答案　0或2　2

解析　因为直线mx－y＝1与直线

x＋m(m－1)y＝2垂直，

所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0.解得m＝0或m＝2.

动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1，0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为＝，所以动直线l被圆C截得的最短弦长为

2＝2.

10.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.

(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；

(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.

解　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0，0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C1(0，0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.

(2)设过圆C1与圆C2的交点的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，即＋＝，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得＝，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.