【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练4　圆的方程

午练4　圆的方程

1.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　)

A.圆内  B.圆外

C.圆上  D.圆上或圆外

答案　B

解析　由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)，则原点与圆心的距离为.∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外.

2.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)∪ B.

C.(－2，0) D.

答案　D

解析　由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，

解得－2<a<.

3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是(　　)

A.x＋y－3＝0  B.x－y－3＝0

C.2x－y－6＝0  D.2x＋y－6＝0

答案　B

解析　过点M的最长弦所在的直线应为过点M的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为＝，即x－y－3＝0.

4.(多选)若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则实数a的值为(　　)

A.2  B.0 

C.  D.－2

答案　AB

解析　易得圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为(1，2)，圆心到直线的距离为d＝＝，解得a＝2或0，故选AB.

5.(多选)若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是(　　)

A.x2＋y2＝5

B.(x－1)2＋y2＝5

C.x2＋(y＋1)2＝5

D.(x－1)2＋(y＋1)2＝5

答案　AD

解析　∵圆上的点A(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在这个圆上，

∴圆心在直线x＋y＝0上.

设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1，

∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5.故选AD.

6.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

答案　(－2，－4)　5

解析　∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，

∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；

当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，

此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×＝－5<0，方程不表示圆.

综上，圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.

7.已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　因为点A(a，2)在圆外，

所以

所以即2<a<，

所以a的取值范围是.

8.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的轨迹方程是________.

答案　(x－1)2＋y2＝2

解析　设P(x，y)，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，则PA2＋1＝PB2，

所以(x－1)2＋y2＝2.

9.若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________.

答案　2

解析　根据题意，得

解得

∴a＋b＋c＝2.

10.已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的圆的弦的中点P的轨迹.

解　设动点P的坐标为(x，y).

当AP垂直于x轴或点A与点P重合时，点P的坐标分别为(1，0)，(1，2)，符合题意，此时x＝1；

当点P在原点或AP垂直于y轴时，即当点P的坐标为(0，0)或(0，2)时，也符合题意，此时x＝0；

当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1.

因为kAP＝，kOP＝，

所以·＝－1，

即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1).

经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式.

综上所述，点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆.