苏教版 (2019)1.3 两条直线的平行与垂直示范课ppt课件

1.2　直线的方程

1.2.1　直线的点斜式方程

课标要求　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.3.了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系.

素养要求　通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.

一、直线的点斜式方程

1.思考　(1)给定一个点P1(x1，y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x，y)满足的关系表达出来？

提示　k＝.

(2)对直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)也可写成k＝，对吗？

提示　不对.前者含点(x1，y1)，后者不含点(x1，y1).

2.填空　(1)过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程.

(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的直线方程为x＝x1.

温馨提醒　(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在.若斜率不存在，则不能应用此式.

(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1，特别地，x轴的方程是y＝0.

3.做一做　已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)

A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1

B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1

C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1

D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1

答案　D

解析　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以该直线过定点(－1，－2)，斜率为－1.

二、直线的斜截式方程

1.思考　(1)直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.

提示　y＝kx＋b.

(2)对于y＝kx＋b，当k＝0时，y＝b是一次函数吗？

提示　y＝b不是一次函数，但一次函数的图象必是一条直线.

2.填空　已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，则直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.称b为直线l在y轴上的截距.方程由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定，这个方程也叫作直线的斜截式方程.

温馨提醒　(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.

(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零.

3.做一做　已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　)

A.9  B.－9 

C.  D.－

答案　B

解析　由y＋＝(x－1)，得y＝x－9.

∴l在y轴上的截距为－9.

题型一　求直线的点斜式方程

例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：

(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；

(2)过点B(－1，4)，倾斜角为135°；

(3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；

(4)经过点D(1，1)，且与x轴垂直.

解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)].

(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].

(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1，该直线没有点斜式方程.

(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程.

思维升华　求直线的点斜式方程的思路

特别提醒　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.

训练1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：

(1)经过点A(2，5)，斜率是4；

(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；

(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.

解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；

(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，

∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；

(3)y＋1＝0.

题型二　求直线的斜截式方程

例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

解　(1)由直线方程的斜截式可知，

所求直线方程为y＝2x＋5.

(2)∵倾斜角α＝150°，

∴斜率k＝tan 150°＝－.

由斜截式可得方程为y＝－x－2.

(3)∵直线的倾斜角为60°，

∴其斜率k＝tan 60°＝.

∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，

∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.

∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.

思维升华　直线的斜截式方程的求解策略：

(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和直线在y轴上的截距，代入斜截式方程即可.

(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和直线在y轴上的截距，再写出直线的斜截式方程.

训练2 写出下列直线的斜截式方程：

(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；

(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；

(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.

解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3.

(2)∵k＝tan 60°＝，∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋5.

(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，

∴直线过点(4，0)和(0，－2).

∴k＝＝，

∴所求直线的斜截式方程为y＝x－2.

题型三　点斜式、斜截式方程的综合应用

例3 已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程.

解　由题意设所求直线的点斜式方程为

y－1＝k(x－4)(k<0)，

当x＝0时，y＝1－4k>0；

当y＝0时，x＝4－>0.

由题意，得×(1－4k)·(4－)＝8，

解得k＝－.

所以直线l的点斜式方程为

y－1＝－(x－4).

思维升华　在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论.

训练3 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程.

解　设直线l的方程为y＝x＋b，

则x＝0时，y＝b；

y＝0时，x＝－6b.

由已知可得·|b|·|－6b|＝3，

即6|b|2＝6，

∴b＝±1.

故所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－1.

[课堂小结]

1.牢记2个直线方程

(1)点斜式方程.

(2)斜截式方程.

2.掌握3种规律方法

(1)求点斜式方程的方法步骤.

(2)斜截式方程的求解策略.

(3)含参数方程问题的求解.

3.注意1个易错点

本节的易错点是利用斜截式方程求参数时易漏掉斜率不存在的情况.

一、基础达标

1.经过点P(0，2)且斜率为2的直线方程为(　　)

A.y＝－2x－2  B.y＝2x－2

C.y＝2x＋2  D.y＝－2x＋2

答案　C

解析　由点斜式可得：y－2＝2(x－0)，化为y＝2x＋2.故选C.

2.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　)

A.y＝x＋1  B.y＝x－1

C.y＝－x＋1  D.y＝－x－1

答案　B

解析　∵直线的倾斜角为45°，

∴直线的斜率为1，

又∵直线过点(0，－1)，

∴直线l的方程为y＋1＝x，

整理可得y＝x－1，故选B.

3.(多选)给出下列四个结论，正确的是(　　)

A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线

B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1

C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1

D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程

答案　BC

解析　A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；

B正确，C正确，D只有斜率k存在时成立.

4.(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是(　　)

答案　BC

解析　①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，B成立；

②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立；

③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0，C成立.

5.已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)

A.(1，3)  B.(－1，－3)

C.(3，1)  D.(－3，－1)

答案　C

解析　直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).

6.直线y＝2x－5在y轴上的截距是________.

答案　－5

解析　令x＝0，则y＝－5，

∴直线y＝2x－5在y轴上的截距是－5.

7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________.

答案　y＝x－6或y＝－x－6

解析　与y轴相交成30°角的直线的斜率为

k＝tan 60°＝，或k＝tan 120°＝－，

∴在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是y＝x－6或y＝－x－6.

8.直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________.

答案　(－∞，0]

解析　当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；

当k>0时，直线过第三象限；当k<0时，直线不过第三象限.综上，k≤0.

9.写出下列直线的斜截式方程：

(1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距是2；

(2)直线过点A(3，1)且在y轴上的截距是－1.

解　(1)斜率k＝tan 45°＝1，可得斜截式方程为y＝x＋2.

(2)由题意知直线过点(3，1)，(0，－1)，

∴斜率k＝＝，

可得斜截式方程为y＝x－1.

10.直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的点斜式方程.

解　直线l1的方程是

y－2＝－(x＋1).

∵k1＝－＝tan α1，

又0°≤α1<180°，

∴α1＝150°.

如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，

∴k2＝tan 120°＝－，

∴直线l2的方程为y－2＝－(x＋1).

二、能力提升

11.(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是(　　)

A.－2  B.－

C.  D.2

答案　CD

解析　令x＝0，得y＝.

由已知得＝1，

解得m＝2或，符合题意.

12.斜率为，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________.

答案　y＝x±3

解析　设所求直线方程为y＝x＋b，

令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.

由题意得：|b|＋＋＝12，

即|b|＋|b|＋|b|＝12，即4|b|＝12，

∴b＝±3，

∴所求直线方程为y＝x±3.

13.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.

(1)求证：直线l恒过一个定点；

(2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，

得y－1＝k(x＋2).

由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).

(2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，

若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，

需满足即

解得－≤k≤1.

所以实数k的取值范围是.

三、创新拓展

14.已知直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R).

(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.

解　(1)直线l的方程可化为y＝kx＋2＋4k，则直线在y轴上的截距为4k＋2，

要使直线l不经过第四象限，需满足解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞).

(2)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为4k＋2，且k>0，

所以A，B(0，4k＋2)，

故S＝|OA|·|OB|＝

＝2≥2×(4＋4)＝16，

当且仅当4k＝，即k＝时取等号，故S的最小值为16，此时直线l的方程为

y＝x＋4.