高中数学1.3 两条直线的平行与垂直当堂达标检测题

1.3两条直线的平行与垂直  苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知直线和直线，下列说法不正确的是(    )

A. 始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则或 D. 当时，始终不过第三象限

2. 已知双曲线的右焦点为，圆为双曲线的半焦距与双曲线的一条渐近线交于，两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，若直线的方程为，则(    )

A. ，且与圆相离 B. ，且与圆相交
C. 与重合，且与圆相离 D. ，与圆相离

4. 已知，若两直线，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知直线，，，若且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知双曲线：的右焦点为，圆为双曲线的半焦距与双曲线的一条渐近线交于，两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知双曲线：的右焦点为，圆为双曲线的半焦距与双曲线的一条渐近线交于，两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知直线的倾斜角为，直线经过点，，且，直线：与直线平行，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列结论中正确的有(    )

A. 过点且与直线平行的直线的方程为
B. 过点且与直线垂直的直线的方程为
C. 若直线：与直线：平行，则的值为或
D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

10. 已知直线，则下列结论正确的是(    )

A. 直线的倾斜角是
B. 若直线，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行直线是

11. 已知直线：，则下列结论正确的是(    )

A. 直线的倾斜角是
B. 若直线：，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是

12. 已知直线，，，则下列结论正确的是(    )

A. 存在实数，使得直线与直线垂直
B. 存在实数，使得直线与直线平行
C. 存在实数，使得点到直线的距离为
D. 存在实数，使得以线段为直径的圆上的点到直线的最大距离为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
    
    ；
    与所成的角为；
    与是异面直线；
    ．
    以上四个命题中，正确命题的序号是______．
14. 已知双曲线的两条渐近线为，，过右焦点作且交于点，过点作且交于点，若轴，则双曲线的离心率为______．
15. 已知，，，点满足，且，则点的坐标为          ．
16. 在直角梯形中，已知点，，，是腰且垂直两底，则顶点的坐标为__________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

当为何值时，直线与直线平行

当为何值时，直线与直线垂直

18. 本小题分

已知四边形的顶点，，，，求和的值，使四边形为直角梯形．

19. 本小题分

求当为何值时，直线与

相交
平行

重合．

20. 本小题分

已知菱形的一边的所在直线方程为，一条对角线的两个端点分别为和．

求对角线所在直线的方程

求菱形的边所在直线的方程．

21. 本小题分

已知点，__________从条件、条件、条件中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．

求直线的方程

求直线关于直线的对称直线的方程．

条件点关于直线的对称点的坐标为

条件点的坐标为，直线过点且与直线垂直

条件点的坐标为，直线过点且与直线平行．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为．
     

求边所在直线的方程结果写成一般式；

证明平行四边形为矩形，并求其面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两直线位置关系的判定，以及直线恒过定点的问题，属于中档题．

对于选项，提出让其前面的系数为，即可验证A正确对于选项，当则与重合，故B错误利用两直线垂直，即可得到，得到C正确把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证D正确．

【解答】

解：，，
即始终过定点，故A正确．
若，当则与重合，故B错误．
或，故C正确．
当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D正确．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的标准方程和性质，考查直线与双曲线的位置关系以及两直线垂直与平行的判定，属于中档题．
由题意得到，即，，两式结合求出即可求解．

【解答】

解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
代入圆，得，
则，
所以，
易知点在圆上，
所以，
可得，
即，
因为线段的中点落在另一条渐近线上，且，
所以与该渐近线垂直，
所以该渐近线与平行，
得，
解可得，，
故双曲线的方程是．
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用直线是以为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线的方程可判断出两直线平行；表示圆心到直线的距离，根据点在圆内即可求解．

【解答】

解：直线是以为中点的弦所在的直线，  
直线，的斜率为，
直线的斜率为，且直线不过点，
，
圆心到直线的距离为，
在圆内，，
，直线与圆相离，
故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
由题意利用两条直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式求得的最小值．

【解答】

解：，，
两直线，，且，
，即，
，得，
当且仅当时取等号，
则的最小值为，
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线平行和垂直的条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由且，可得，，解得，即可得出．
【解答】
解：且，
且，，
解得，，
则．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的标准方程和性质，考查直线与双曲线的位置关系以及两直线垂直与平行的判定，属于中档题．
由题意得到，即，，两式结合求出即可求解．

【解答】

解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
代入圆，得，
则，
所以，
易知点在圆上，
所以，
可得，
即，
因为线段的中点落在另一条渐近线上，且，
所以与该渐近线垂直，
所以该渐近线与平行，
得，
解可得，，
故双曲线的方程是．
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的标准方程和性质，考查直线与双曲线的位置关系以及两直线垂直与平行的判定，属于中档题．
由题意得到，即，又，两式结合求出即可求解．
【解答】
解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
代入圆，得，
则，
所以，
易知点在圆上，
所以，
可得，
即，
因为线段的中点落在另一条渐近线上，且，
所以与该渐近线垂直，
所以该渐近线与平行，
得，
解可得，，
故双曲线的方程是．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查两直线平行、垂直的性质，斜率公式的应用，属于中档题．
先求出的斜率，利用垂直关系可得的斜率，由斜率公式求出的值，由  得，，解得值，可得结果．
【解答】 
解：的斜率为，则  的斜率为， 
    ， 
，
 由   得，  ，得， 
所以，．
   故选B  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两直线的平行和垂直的位置关系，直线的点斜式和截距式方程，属于中档题．
根据两直线的平行和垂直得到斜率关系，进而通过点斜式得到直线方程，并化为一般式，可判定，根据直线：与直线：平行，求出的值，可判定当截距都为时，求得直线方程为，可判定．

【解答】

解：直线的斜率为，
则过点且与直线平行的直线的方程为，
即，故 A正确；
B.直线的斜率为，
则过点且与直线垂直的直线的方程为，
即，故B正确；
C.直线：的斜率为，
因为直线与直线平行，则直线的斜率存在，且，
解得或，
当时，两直线重合，当，两直线平行，故C错误
D.因为过点，且在两坐标轴上的截距相等，
当截距都为时，直线方程为，故D错误；
故选AB．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线的一般方程，直线垂直的判定，点到直线的距离公式等知识，属于基础题，难度一般．
利用相关知识逐个判断即可．
【解答】
解：对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误；
对于，直线的斜率为，，则，B正确；
对于，点到直线的距离为，C错误；
对于，设与直线平行的直线方程为，
因为它过，
所以
过与直线平行的直线方程是，D正确，
故选BD．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线的倾斜角与斜率，两条直线垂直的判定，点到直线距离公式，直线方程的求法，考了基本的运用能力，属于基础题．
根据直线的斜率，可得直线的倾斜角是 ，即可排除；根据直线的斜率，可得，即可排除；运用点到直线距离公式即可判断；根据直线斜率以及点，运用点斜式写出直线方程即可判断．

【解答】

解：由题意，直线：的斜率，则直线的倾斜角是，故A错误；
直线：的斜率，则，故B错误；
点到直线的距离，故C正确；
易知过与直线平行的直线的斜率为，即所求直线方程为，即，故D正确．
故选CD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两直线平行与垂直的判定，点到直线的距离，直线过定点问题，属于中档题．
求出直线与直线的斜率，根据两直线垂直、平行与斜率的关系即可判断，；用点到直线距离公式写出，求出的范围，即可判断；求出直线的定点坐标，求出圆心到定点距离，即为圆心到直线距离的最大值，加上半径，即可求得圆上的点到直线距离的最大值．

【解答】

解：由题，，直线的方程为，直线的斜率为．
对于，当时，，直线与直线垂直，A正确；
对于，当时，直线：，
则，且直线与直线不重合，即直线与直线平行，B正确；
对于，点到直线的距离为，
所以点到直线的距离不可能为，C错误；
对于，的中点坐标为，且．
又直线过定点，易知点在圆外，
所以圆心到直线距离的最大值为，
故圆上的点到直线的最大距离为：，D正确．
综上，正确的是．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了异面直线及其所成的角，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定，属于中档题．
先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可．
【解答】
解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，

正方体中，
所以四边形是平行四边形，
所以，即和所成角为
又正方体中，
所以
同理可证明
显然与为异面直线，
所以只有正确．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，直线平行和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
设双曲线的方程为，渐近线方程为：，：，由代入的方程可得的坐标；由两直线平行的条件可得直线的方程，联立直线的方程可得的坐标，再由，运用直线的斜率公式和垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式计算即可得到所求值．

【解答】

解：设双曲线的方程为，
渐近线方程为：，：，
由题意可设，由轴，
令，代入的方程可得，
即有，
过右焦点作且交于点，
由的方程，联立直线：，
解得，
再由，可得，
即有，
化为，由，可得：
，由可得．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两条直线平行、垂直与斜率的关系，属于中档题．
设点的坐标为，根据题意可得，，联立即可求解．

【解答】

解：设点的坐标为，由已知得，直线的斜率，
因为，所以的斜率存在，且，
直线的斜率，
因为，所以的斜率存在，且，
得，解得，所以的坐标为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两直线垂直和平行的判定．
由题意得到，，利用两直线垂直和平行的判定列出方程组求解即可．

【解答】

解：设点，
由条件可知：，，
所以，
，
故，．
故顶点的坐标为．
故答案为．

17.【答案】解析由题意可知，， ，

，解得．

故当时，直线与直线平行．

由题意可知，，，，

，解得．

故当时，直线与直线垂直．

【解析】本题考查直线平行或垂直的判定，是中档题
 

18.【答案】解：如图，当时，

四边形为直角梯形， 且．，，．
如图，当时，

四边形为直角梯形，，且，，．解得，综上所述，，或，．

【解析】本题考查直线方程的综合问题，属于中档题，
 

19.【答案】由题意得， ，，，，．

若与相交，则 ，即， 故当时，直线与相交．

若，则有即  当时，与平行．

若与重合，则有由知不成立， 直线与不重合综上所述，当时，两直线相交，当时，两直线平行，不论为何值两直线不会重合．

【解析】本题主要考查两条直线位置关系的判定及两条直线平行的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为和，
所以设的方程为，
则，解得 ，
所以直线方程为，
即，
设中点坐标为，
因为为菱形，
所以直线与直线垂直，且平分线段，
垂直平分线的斜率 ，
所以的直线方程为，
即 ；
因为
所以的斜率的斜率
又因为
所以：：即 

【解析】本题考查直线方程的求解，涉及中点坐标公式与两直线的交点坐标求解，属于中档题．
设出的直线方程将，两点代入求出的直线方程即可，由四边形为菱形，可得与垂直且相互平分，得出的斜率，求出的中点，利用点斜式方程得出直线的方程；
由和平行可得的斜率，又坐标已知，利用点斜式即可求出方程．
 

21.【答案】选择条件，

因为点关于直线的对称点的坐标为，

所以是线段的垂直平分线．

因为，所以直线的斜率为，

又线段的中点坐标为，

所以直线的方程为，即．

与的交点坐标为，

因为在直线上，关于对称的点为，

直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，

所以关于直线的对称直线的方程为．

选择条件，

因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，

又直线过点，所以直线的方程为，即．

同．

选择条件，

因为，直线与直线平行，

所以直线的斜率为，

又直线过点，所以直线的方程为，即．

同．

【解析】解题通法  一般将“关于直线对称的两条直线的问题”转化为“关于直线对称的两点的问题”加以解决．

若已知直线与对称轴平行，则直线关于对称轴对称的直线与直线平行，可以利用直线与对称轴间的距离等于直线与对称轴间的距离进行求解．

若已知直线与对称轴相交，则交点必在与直线对称的直线上，然后求出直线上任意一点除交点外关于对称轴对称的点，由两点式写出直线的方程．

22.【答案】解：由于平行四边形的三个顶点坐标：．
则，，
由于，则直线的方程为：，
即边所在直线的方程为：；
由于，，
则直线与的斜率之积为，即，
故平行四边形为矩形，
又由，，
则矩形的面积． 

【解析】本题考查了直线的方程，以及两点间的距离公式，属于中档题．
由于平行四边形的对边平行，故求边所在直线的方程即为求过与平行的直线；
由于的斜率与的斜率之积为，故平行四边形为为矩形，再由两点间的距离公式即可求其面积．